精品解析：山东省泰安市宁阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1． 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分． 2． 数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3． 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 4. 估算式子值应在下面哪两个相邻整数之间（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6. 如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ） A s或3s B. 3s C. s D. s或3s 7. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 或4 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，分别交于点P、Q，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若；则；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 式子有意义，则实数a取值范围是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是_____． 15. 定义新运算：规定，例如，若，则x的值为______． 16. 如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，，则的长为______． 17. 如图，，，，，F为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为______． 18. 如图，正方形的边长为1，正方形边长为2，正方形边长为4，…依此规律继续作正方形，其中点A，，，，…在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，…，若记的面积为，的面积为，…，的面积为，则______． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算下列各小题． （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 22. 如图，点F、H在菱形的对角线上，，点E、G分别在菱形的边上，且，． （1）求证：四边形矩形． （2）若E为中点，，求菱形的周长． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． 24. 近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． （1）求该款汉服销售量的年平均增长率； （2）若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 25. 如图（1），已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形： ②推断：的值为_____________； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点H． ①求证：． ②若，，则_________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1． 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分． 2． 数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3． 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，化简二次根式，熟练掌握知识点是解答本题的关键．先把每一个选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； C、与是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意； D、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的性质、二次根式的乘除运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘除运算，以及合并同类二次根式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 3. 已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，化简二次根式，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，据此化简二次根式后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵点是平面直角坐标系中第二象限的点， ∴， ∴， 故选：A． 4. 估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，先对各式进行化简，再运用算术平方根知识进行估算． 【详解】， ， ， 式子的值应在8和9两个相邻整数之间， 故选：D． 5. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，连接BF， 在菱形ABCD中，∵∠BAD=80°， ∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD， ∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°． ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°． ∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°． ∵在△BCF和△DCF中，BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF， ∴△BCF≌△DCF（SAS）． ∴∠CDF=∠CBF=60°． 故选B． 6. 如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ） A. s或3s B. 3s C. s D. s或3s 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据由于没有明确相似的对应顶点，而进行分类讨论是解题关键． 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故选：D． 7. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先由根与系数的关系得到，，再由已知条件得到，解方程得到m的值，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，分别交于点P、Q，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据平行四边形的性质得到，，，再证明得到，进一步证明即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，则可证明，根据相似三角形的性质结合已知条件推出，则；过点A作于F，则，由勾股定理得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点A作于F，则， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作的平分线交于点，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明． 12. 如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若；则；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明得再证明得，由可判断①正确；证明，得到；再由，得到，则，再根据，可判断②正确；过点作，可得再证明可得则有故③正确；由设得过点E作于点G，求得，可求，再证明，可得，故④错误；证明，得到，故⑤正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴．①的结论正确； ②∵， ∴， ∴， ∴； 在正方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②的结论正确； ③过点O作，交于点H，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴．③的结论正确； ④∵， ∴设，则， ∴， ∴． 过点E作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴，故④的结论不正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤的结论正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 式子有意义，则实数a的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得：且， 故答案：且． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，即可求解． 【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 15. 定义新运算：规定，例如，若，则x的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 16. 如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，，，，，F为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证，是的中点，可得，当时，最短，所以此时最短，求出最短值即可求出的最小值． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最短，此时最小， ， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了线段最小值问题，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及相似三角形的判定及性质，勾股定理等，再根据“垂线段最短”，作出辅助线，进行正确求解是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为1，正方形边长为2，正方形边长为4，…依此规律继续作正方形，其中点A，，，，…在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，…，若记的面积为，的面积为，…，的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、图形类的规律探索，先由正方形的性质可得，则可证明，进而得到，则，同理求出…然后归纳规律并应用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19 计算下列各小题． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，二次根式的混合计算： （1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可； （2）先去括号，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先去括号，然后移项合并同类项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 22. 如图，点F、H在菱形的对角线上，，点E、G分别在菱形的边上，且，． （1）求证：四边形为矩形． （2）若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）先由菱形的性质推出，，进而证明得到，进一步证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （2）如图所示，连接，先证明四边形是平行四边形，得到，再由矩形的性质得到，则，据此根据菱形的周长计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵E为中点 ∴， 由（1）可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， . ∴菱形的周长． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． 【答案】略 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°； （2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论． 试题解析：（1）∵AC2=CE•CB， ∴． 又∵∠ACB=∠ECA=90° ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC=∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠CAD ∵∠CAD+∠ABC=90°， ∴∠ACD+∠EAC=90° ∴∠AFC=90°， ∴AE⊥CD （2）∵AE⊥CD， ∴∠EFC=90°， ∴∠ACE=∠EFC 又∵∠AEC=∠CEF， ∴△ECF∽△EAC ∴ ∵点E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴ ∵∠BEF=∠AEB， ∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF=∠EAB． 【考点】相似三角形的判定与性质． 24. 近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． （1）求该款汉服销售量的年平均增长率； （2）若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该款汉服销售量的年平均增长率为 （2）该款汉服的实际售价应定为140元 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款汉服销售量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款汉服的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款汉服的实际售价应定为140元． 25. 如图（1），已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形： ②推断：的值为_____________； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图（2）所示，试探究线段与之间数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点H． ①求证：． ②若，，则_________________． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得； （3）①根据题意可求出∠BEC=135°．再根据△ACG∽△BCE，即得出∠AGC=∠BEC=135°，从而可求出∠AGH=∠CAH=45°．即证明△AHG∽△CHA；②由△AHG∽△CHA得，设BC=CD=AD=a，则，由得：，从而可求出，DH=，，再由得：，解出a即可． 【小问1详解】 ①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°， ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC， ∴四边形CEGF是正方形； ②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴，， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 如图，连接CG， 由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中，， ∴， ∴△ACG∽△BCE， ∴， ∴线段AG与BE之间的数量关系为； 【小问3详解】 ①∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°． ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°． ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA； ②∵△AHG∽△CHA， ∴， 设BC=CD=AD=a，则， 则由得： ， ∴， ∴DH=AD-AH=， ∴， ∴由得：， 解得：，即BC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$