精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

重庆八中2024-2025学年度（下）期末考试初一年级 数学试题 A卷（共100分） 一、选择题：（本题共10小题，其中第10题是多项选择题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请选出正确答案并将答题卡上对应答案的代号涂黑. 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 明天将下雨 C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 D. 明天太阳从东方升起 5. 已知整数m满足，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为，转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的外角大于该三角形的任一内角 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 全等三角形对应边相等，对应角相等 9. 如图，曲线表示无人机在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 无人机最初的高度为 B. 时高度和时高度相同 C. 时无人机达到最高高度为 D. 到之间，无人机飞行高度h持续上升 10. 如图，在中，，点E是边上一点，点F在边右侧，连接，，，若，，点B，E，F共线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 12. 用科学记数法可表示为______． 13. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 14. 已知多项式是一个关于x的完全平方式，则m的值是______． 15. 如图，在与中，已知，，，若，，则______． 三、解答题（本题共3小题，16题24分，17-18题每小题8分，共40分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上. 16 计算 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 17. 化简求值：，其中． 18. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：∵在中，， ∴____________， ∵平分，平分， ∴______，， ∴， ∴____________， 和中， ， ∴， ∴． B卷（共50分） 四、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 19. 若的结果不含项，则a的值为_________． 20. 若是的三边长，则化简的结果是_______． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为______． 22. 如图，在中，，，，，则______． 23. 如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，值为______． 五、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 24. 某学校有两块空地，如图1，图2： （1）图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪： 请用两种方式表示草坪的面积：____________，____________， 由此可以验证的公式为____________； （2）图2是一块多边形空地，该校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的面积和； （3）解决问题：若，求的值． 25. 如图1，四边形中，，，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的路径匀速运动，到达D点后停止；如图2是点P运动t秒后，的面积S随时间变化的图象，由以上信息回答下列问题： （1）______，______； （2）当t为何值时，面积为6； （3）在点P的整个运动过程中，请直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 26. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中2024-2025学年度（下）期末考试初一年级 数学试题 A卷（共100分） 一、选择题：（本题共10小题，其中第10题是多项选择题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请选出正确答案并将答题卡上对应答案的代号涂黑. 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据各个图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：用小篆书写的“志存高远”四个字， 其中可以看作是轴对称图形的是 故选：C． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义以及化简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先化简结合选项即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式的运算法则逐一判断即可． 【详解】A．和不能合并，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 明天将下雨 C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 D. 明天太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 根据各选项描述的事件性质，判断其是否必然发生． 【详解】A． 交通信号灯有红、黄、绿三种状态，遇到红灯是随机事件，不一定发生； B． 明天下雨受天气变化影响，属于随机事件，无法确定必然发生； C． 书的页码奇偶各占一半，随意翻到奇数页是随机事件； D． 太阳从东方升起是自然规律，无论条件如何均必然发生，属于必然事件． 故选：D． 5. 已知整数m满足，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数估算，根据夹逼法求出相应的取值范围即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数m的值为5． 故选：D． 6. 如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为，转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率的计算，涉及圆周角知识，熟练掌握几何概率公式（概率 = 对应区域圆心角与圆周角的比值 ）是解题关键．先根据圆周角为求出白色扇形圆心角，再依据概率公式（某区域概率 = 该区域圆心角÷圆周角）计算指针落在白色区域的概率 ． 【详解】解：∵ 圆周角为，灰色扇形圆心角为 ∴ 白色扇形圆心角为 ∵ 指针落在白色区域的概率 = 白色扇形圆心角÷圆周角 ∴ 概率为 故选：C ． 7. 如图，在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用等腰三角形等边对等角的性质，先由求出，进而得到，再结合求出，最后根据三角形内角和求出 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∵ 三角形内角和为 ∴ 故选：C． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的外角大于该三角形的任一内角 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 全等三角形对应边相等，对应角相等 【答案】A 【解析】 【分析】依据三角形外角定理、三边关系、角平分线性质、全等三角形定义，逐一判断选项正误 ．本题主要考查三角形外角定理、三边关系、角平分线性质及全等三角形定义，熟练掌握这些知识内容是解题的关键． 【详解】选项A：错误．根据三角形外角定理，外角等于不相邻两内角之和，因此外角大于不相邻的任一内角，但未必大于相邻的内角．例如，若三角形有一内角为钝角（如），其相邻外角为，此时外角小于该钝角内角． 选项B：正确．三角形任意两边之和大于第三边是三角形存在的基本条件． 选项C：正确．三角形三条角平分线交于一点（内心），此为角平分线性质定理． 选项D：正确．全等三角形的定义即为对应边和对应角完全相等． 综上，错误的说法是A． 故选：A ． 9. 如图，曲线表示无人机在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 无人机最初的高度为 B. 时高度和时高度相同 C. 时无人机达到最高高度为 D. 到之间，无人机飞行高度h持续上升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的读取与分析，涉及对变量（时间与高度）对应关系及变化趋势的理解，熟练掌握从函数图象中提取关键信息（特殊点的横、纵坐标含义 ）是解题关键．通过观察函数图象（横轴为时间，纵轴为高度 ），对每个选项涉及的时间点对应的高度及高度变化趋势进行分析判断 ． 【详解】解：选项A：∵ 当时， ∴ 无人机最初高度为，A正确．不符合题意； 选项B：∵ 和时，对应的值相同 ∴ 时高度和时高度相同，B正确．不符合题意； 选项C：∵ 时，达到最大值 ∴ 时无人机达到最高高度为，C正确．不符合题意； 选项D：∵ 到，上升；到，下降 ∴ 到之间，高度不是持续上升，D错误．符合题意； 故选：D ． 10. 如图，在中，，点E是边上一点，点F在边右侧，连接，，，若，，点B，E，F共线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，故A选项正确，符合题意； ∴，，故B选项正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 根据题意得：， ∵， ∴， 根据题干无法得到与的大小， ∴无法判断与的大小，故D选项错误，不符合题意； 故选：ABC 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．直接计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意和的确定方法．根据科学记数法的表示形式直接求解即可． 【详解】解：． 故答案为： 13. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 14. 已知多项式是一个关于x的完全平方式，则m的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式得出，进而可求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：9． 15. 如图，在与中，已知，，，若，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行线的性质可得，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 三、解答题（本题共3小题，16题24分，17-18题每小题8分，共40分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上. 16. 计算 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算． （1）直接计算单项式的乘法即可； （2）先根据完全平方公式计算，再计算减法即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可； （5）先化简二次根式，计算立方根，再计算加减即可； （6）先计算二次根式的除法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ； 【小问6详解】 解：原式 ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及求整体代入法求代数式的值，先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， ∴原式． 18. 如图，中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：∵在中，， ∴____________， ∵平分，平分， ∴______，， ∴， ∴____________， 在和中， ， ∴， ∴． 【答案】（1）见解析； （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据角平分线的作法作答即可； （2）根据已知条件补充过程即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：；；；． B卷（共50分） 四、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 19. 若的结果不含项，则a的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题先根据多项式乘以多项式展开，然后再根据题意可进行求解． 【详解】解：， ∵若的结果不含项， ∴， ∴； 故答案为2． 20. 若是的三边长，则化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，先根据三角形三边的关系得到，据此化简绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】∵a，b，c为三角形三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 22. 如图，在中，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 五、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 24. 某学校有两块空地，如图1，图2： （1）图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪： 请用两种方式表示草坪的面积：____________，____________， 由此可以验证的公式为____________； （2）图2是一块多边形空地，该校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的面积和； （3）解决问题：若，求的值． 【答案】（1），， （2）种草区域面积和为108 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）根据题意列式即可； （2）由题可得：，，得到，根据完全平方公式计算即可； （3）令，，则有，，根据完全平方公式计算得到即可求出的值． 【小问1详解】 解：两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题可得：，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：种草区域面积和为108； 【小问3详解】 解：令，， 则有，， ∴， ∴． 25. 如图1，四边形中，，，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的路径匀速运动，到达D点后停止；如图2是点P运动t秒后，的面积S随时间变化的图象，由以上信息回答下列问题： （1）______，______； （2）当t为何值时，的面积为6； （3）在点P的整个运动过程中，请直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1）4，14 （2）当或时，的面积为6 （3）当，6，7，8时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，与三角形的高有关的计算，等腰三角形的定义，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点，根据路程等于速度乘以时间，结合线段之间的和差关系，以及三角形的面积公式进行求解即可； （2）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在上，上两种情况，再根据等腰三角形的定义，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点， ∵点移动的速度为每秒2个单位长度， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴， ∴当点运动到点时，， 故答案为：4，14； 【小问2详解】 ①当点在上时，， ∴，解得：， ②当点在上时，， ∴， 解得：； 小问3详解】 当点在上时： ∵， ∴只能是，则：，解得：； 当点上时： 当时，当时， ∵，， ∴，（平行线间的距离处处相等），满足题意， 同理，，则：，解得：； 当与点重合时，即时，，满足题意； ②当时，作，则：， ∴， ∴，解得：； 综上：，6，7，8． 26. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，在判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． 【小问2详解】 证明：在上截取，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，过点A作且使得，连接，， 为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， ， 为等腰直角三角形，因此最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$