精品解析：广东省惠州市惠城区综合高级中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2024——2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 观察四个选项，的值可以是2， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、，所以C选项符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选：B． 4. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，3， C. 4，7，5 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵22+()2=32，∴能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵12+=，∴能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 5. 下面各项不能判断是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C 6. 下列关于菱形的说法中不正确的是（　　） A. 菱形四条边相等 B. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质与判定，逐一判断解题． 【详解】解：A. 菱形的四条边相等，故A正确； B. 菱形的面积等于对角线乘积的一半，故B正确； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，故C错误； D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质与判定，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理可得，由可得，进而得到，即可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，再证明，结合勾股定理即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知x，y，则代数式x2﹣2xy+y2的值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵x，y， ∴x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2=（）2=（2）2=20． 故答案为：20. 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确运用完全平方公式是解题的关键． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、15，则正方形B的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示，设中间正方形为， 由题意得，， ∵， ∴，解得， 故答案为：5 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点；②过点作直线，交于点．如果的周长为26，那么的周长是___________． 【答案】52 【解析】 【分析】由图知是线段中垂线，据此可得，结合，利用平行四边形的性质可得答案．本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键. 平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分． 【详解】解：由图知是线段的中垂线， ∴， ∵的周长为26， ∴， 则的周长， 故答案为． 15. 如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ， ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：4． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式性质，完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． （1）根据二次根式性质，二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式，二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 17. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】此题已知AO=BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF即可． 【详解】解：∵AC∥DB， ∴∠CAB＝∠DBA， 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD(ASA)， ∴CO＝DO， ∵E，F分别为OC，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AFBE 是平行四边形． 18. 一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【解析】 【分析】（1）应用勾股定理求出的高度； （2）利用勾股定理求出的距离即可解答． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以：（米)． （2）由，得 （米)． （米)． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 19. 已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 （1）判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． （2）化简：． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且． （1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由数轴得：，且， ，，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ． 20. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F. （1）求证：△AFEC≌△CDE；（2）若AB=3，BC=6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）S△AFC=. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到EF=DF，根据勾股定理得到AF=，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，∠B=∠D=90°. 由折叠，得AB=AE，∠B=∠E, 所以AE=CE，∠D=∠E, 因为∠ACF=∠ACB, ∠CAF=∠ACB, 又因为∠AFE=∠CFD， 所以△AFE≌△CFD（AAS）. (2)由折叠得AE=AB=3.因为△AFE≌△CFD，所以EF=FD. 设AF=x，则FD=6-x，EF=6-x. 在Rt△AEF中，由勾股定理得AF2=AE2+EF2.所以32+(6-x)2=x2. 解得x=，即AF=. 所以S△AFC=AF·AB=××3=. 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上以每秒个单位长度的速度由点向点运动． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，写出点的坐标（请直接写出答案，不必写过程）． 【答案】（1） （2）存在，， （3），，， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值； （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值和点的坐标； （3）当或或或时分别作于，于，于，利用勾股定理求得，，，的值，就可以求出的坐标． 【小问1详解】 解：如图： 四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：存在一点，使得四边形为菱形，如图， 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 点坐标为：； 【小问3详解】 解：如图，由题意得， 当时，由勾股定理可以求得， ∴； 当时，作， ，四边形是矩形， 故， ∴； 当时，作， 则四边形是矩形，， 由勾股定理，得， ； ∴； 当时，作， 则四边形是矩形， 故， 由勾股定理，得， ， ∴． 综上，，，，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用． 23. 阅读思考并完成下列各个问题：学完勾股定理后，数学李老师把教材上的这道题作为思考题布置给同学们：如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．求证： （1）小辉同学看到题目后，马上想到在等腰直角中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段、和转化到一个直角三角形中，便连接了BD，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_____； （2）小辉同学做完此题后，又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点和点．求证：； 小晖同学找到小萌同学研讨此题，她们商讨仍然要通过全等将线段AD、BE、DE转化到一个直角三角形中，于是小萌同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小萌同学辅助线的作法并给出完整的证明! ； （3）小健同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在轴上，，，，求点D的坐标． 小健同学找到了小辉和小萌共同研讨，三个人根据（2）中的结论继续进行了探索．你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）能，，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，，，进而求得，利用即可证明； （2）过作，使，连，，证明，进而证明，即可得解； （3）过作，使，连，，过作于，先证明，进而求证，进而求出的长以及点坐标，进而得出线段的长，即可得解． 【小问1详解】 解： 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 又，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示，过作，使，连，， ， 证明：， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 即， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过作，使，连，，过作于， ， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在x正半轴上， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 4. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，3， C. 4，7，5 D. 1，， 5. 下面各项不能判断是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 6. 下列关于菱形的说法中不正确的是（　　） A. 菱形的四条边相等 B. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 C. 菱形对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 9. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 12. 已知x，y，则代数式x2﹣2xy+y2值是________． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、15，则正方形B的面积为______． 14. 如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点；②过点作直线，交于点．如果的周长为26，那么的周长是___________． 15. 如图，矩形中，，点E、F分别边上点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 18. 一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 19. 已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 （1）判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． （2）化简：． 20. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F. （1）求证：△AFEC≌△CDE；（2）若AB=3，BC=6，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上以每秒个单位长度的速度由点向点运动． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，写出点坐标（请直接写出答案，不必写过程）． 23. 阅读思考并完成下列各个问题：学完勾股定理后，数学李老师把教材上的这道题作为思考题布置给同学们：如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．求证： （1）小辉同学看到题目后，马上想到在等腰直角中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段、和转化到一个直角三角形中，便连接了BD，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_____； （2）小辉同学做完此题后，又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点和点．求证：； 小晖同学找到小萌同学研讨此题，她们商讨仍然要通过全等将线段AD、BE、DE转化到一个直角三角形中，于是小萌同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小萌同学辅助线的作法并给出完整的证明! ； （3）小健同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在轴上，，，，求点D的坐标． 小健同学找到了小辉和小萌共同研讨，三个人根据（2）中的结论继续进行了探索．你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $