精品解析：山东省武城县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题

武城县2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （满分：150分时间：120分钟）注意事项： 1．答卷前：考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 3，6，9 3. 如图，是的中线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线y＝－2x＋k的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，按以下步骤作图，如图1~图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点， （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点 （3）分别连接，． 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 6. 若三个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 7. 若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A. 5 B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 9. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是_______．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 14. 新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为_____． 15. 观察下列等式： …… 则的值为________． 三．解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 （1）本次调查的学生人数为________； （2） ________； （3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； （4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 18. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， （1）求AP的长？ （2）试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 19. 如图，矩形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 20. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）设边上的高为，边上的高为，求的值． 21. 6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 22. 学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． （1）【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是 B．时，值随值的增大而增大 C．当或时， D．当时， （2）【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 23. 在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，且A（10，0）、C（0，8） （1）如图1，在矩形OABC的边AB上取一点E，连接OE，将△AOE沿OE折叠，使点A恰好落在BC边上的F处，求AE的长； （2）将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN（其它边保持不变），M、N分别在边OA、CB上且满足CN＝OM＝OC＝MN．如图2，P、Q分别为OM、MN上一点．若∠PCQ＝45°，求证：PQ＝OP+NQ； （3）如图3，S、G、R、H分别为OC、OM、MN、NC上一点，SR、HG交于点D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武城县2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （满分：150分时间：120分钟）注意事项： 1．答卷前：考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数（如平方数），且分母不含根号．逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A：，故不是最简二次根式； B：，故不是最简二次根式； C：，故不是最简二次根式； D：无法进一步化简，故是最简二次根式； 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 3，6，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项是否满足条件，同时注意是否能构成三角形． 【详解】解：A．，而，，不满足勾股定理； B．，而，，不满足勾股定理； C．，而，满足勾股定理，能构成直角三角形； D．，无法构成三角形； 故选：C． 3. 如图，是的中线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边．上的中线性质得出，从而得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质可得，代入数据即可得出答案．． 【详解】解：∵是的中线，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质和等腰三角形的性质等知识点，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．理解和掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 4. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线y＝－2x＋k的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可得k﹤0，再根据一次函数的图象与性质即可做出选择． 【详解】解：∵正比例函数，且y随x的增大而减少， ∴k﹤0， ∵在中，-2﹤0，k﹤0， ∴直线经过第二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与性质是解答的关键． 5. 已知，按以下步骤作图，如图1~图3． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点， （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点 （3）分别连接，． 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图作线段．根据作图可知，即可解答． 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形， 故选：D． 6. 若三个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数和算术平均数，根据平均数和中位数的定义计算即可. 【详解】解：∵个正数的平均数是， ， 的平均数为， 把数据从大到小排列为， ∴中位数为 故选： B. 7. 若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可． 【详解】解：由三角形三边关系可知：， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 9. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 10. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判断和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，利用正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴由勾股定理得，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值4，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则满足：， 解得：； 故答案为：． 12. 甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是_______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵平均值相同，且， 故采集到更稳定心率数据的手环是甲； 故答案为：甲． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 14. 新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离． 根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 即， 解得：， ∵点E是边上的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 观察下列等式： …… 则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握运算法则及性质是解题的关键； （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加法，最后计算除法即可求解； （2）利用二次根式的性质与分母有理化化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 （1）本次调查的学生人数为________； （2） ________； （3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； （4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】（1）36 （2）14 （3）300 （4）6 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为： （人）； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； 【小问4详解】 解：∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 18. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， （1）求AP的长？ （2）试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 【答案】（1）AP的长为200m （2）此车超过了80/的限制速度 【解析】 【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， 在中， ， ∴， ∴， ， ∴此车超过的限制速度． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 19. 如图，矩形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， 又． 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，且， ． 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由的中点为，且，得四边形是平行四边形．再由矩形的性质得，从而得平行四边形是菱形． （2）由菱形的性质得，，由三角形中位线定理得；再由勾股定理求得，即可求得矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ． 又是中点，是中点， 是的中位线， ． 在矩形中，， 在中，斜边，， 根据勾股定理得． 矩形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，熟练运用这些知识是解题的关键． 20. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）设边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了“海伦—秦九韶公式”； （1）将，，代入公式计算，即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； 理解公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由(1)知，的面积为； ， ， ，， ∴ ． 21. 6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 【答案】（1）A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元 （2）购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元 【解析】 【分析】（1）设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得出m的取值范围，求出总利润关于购买B种纪念品m件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时m的值，从而得出结论． 【小问1详解】 解：设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值：， （件）， 故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键． 22. 学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． （1）【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是 B．时，值随值的增大而增大 C．当或时， D．当时， （2）【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）②如图所示（实线部分），即为所求； ③ABC （2），且 【解析】 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：②略 ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． 【小问2详解】 解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 23. 在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，且A（10，0）、C（0，8） （1）如图1，在矩形OABC的边AB上取一点E，连接OE，将△AOE沿OE折叠，使点A恰好落在BC边上的F处，求AE的长； （2）将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN（其它边保持不变），M、N分别在边OA、CB上且满足CN＝OM＝OC＝MN．如图2，P、Q分别为OM、MN上一点．若∠PCQ＝45°，求证：PQ＝OP+NQ； （3）如图3，S、G、R、H分别为OC、OM、MN、NC上一点，SR、HG交于点D．若∠SDG＝135°，HG＝4，求RS的长． 【答案】（1）AE＝5； （2）证明：如图2，在PO的延长线上取一点E'，使， ∵，， ∴四边形OMNC是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，在中，根据勾股定理列方程解出即可； （2）作辅助线，构建两个三角形全等，证明和，由，得出结论； （3）作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得和，则，，证明和，得，设，在中，根据勾股定理列方程求出EN的长，再利用勾股定理求CE，则SR与CE相等，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，由题意得：，， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：， ∴； （2）略 （3）如图3，过C作，在x轴负半轴上取一点E′，使，得， 且，则， 过C作交OM于F，连接FE，得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则，， 则， 解得：， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了三角形全等的证明以及平行四边形的判定与性质，还涉及勾股定理得运用，解题的关键的能够熟练地掌握三角形全等的证明方法以及平行四边形的性质的运用，根据边的等量关系在直角三角形中设未知数运用勾股定理求边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $