精品解析：山东省青岛市 崂山区实验初级中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

2024-2025学年第二学期七年级数学学科期中检测 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：） 1. 如图，下列选项中与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据爆料，华为下一代旗舰处理器命名为Kirin麒麟9010，采用制程工艺，此外，华为也在寻求芯片产业链的纯国产化，这表明华为对于麒麟9010芯片的研发不仅仅局限于技术层面，还涉及到产业链的自主可控．（1纳米0.000001毫米）数据“3纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命，宜进行全面调查 B. 了解应聘人员的工作简历，宜进行抽样调查 C. 骑车到十字路口恰遇红灯，是随机事件 D. “守株待兔”是不可能事件 6. 如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（ ） A. B. C. D. 8. 下列正方形分割方案中，可以验证的是（　　） A. B. C. D. 9. 一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度． A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 计算：______． 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 13. 如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有______（填写序号） 14. 如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为________． 15. 若与是对顶角，且，则的补角是________． 16. 若，，则的值是________． 17. 如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为______． 18. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有______． 三、作图题：（本大题满分9分，请用直尺、圆规等工具作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 19. 在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）点到线段的距离即线段 的长； （4）线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 20. 尺规作图：如图，已知三角形，延长到．过点在上方作射线，使（保留作图痕迹）． 四、解答题：（本大题共6个小题，共57分．） 21. 计算： （1）用简便方法计算：； （2）． （3）已知，求的值； （4）先化简，再求值，其中，． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出1个球是白球的概率； （3）能否通过只改变盒子中黑球数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，，平分．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分 （理由： ） （理由： ） 24 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求度数． 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是_____． A． B． C． （2）已知，，则______． （3）应用所得的公式计算：． （4）应用所得的公式计算：． 26. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期七年级数学学科期中检测 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：） 1. 如图，下列选项中与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义的运用．能够熟记同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义是解此题的关键，注意：数形结合思想的运用．根据内错角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是同内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，故本选项符合题意； D、和是是同旁内角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．利用幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法逐项计算判断即可． 【详解】A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 根据爆料，华为下一代旗舰处理器命名为Kirin麒麟9010，采用制程工艺，此外，华为也在寻求芯片产业链的纯国产化，这表明华为对于麒麟9010芯片的研发不仅仅局限于技术层面，还涉及到产业链的自主可控．（1纳米0.000001毫米）数据“3纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：3纳米毫米． 故选：C． 4. 如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是（    ） A. 两点确定一条直线 B 两点之间，线段最短 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短． 由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批灯泡的使用寿命，宜进行全面调查 B. 了解应聘人员的工作简历，宜进行抽样调查 C. 骑车到十字路口恰遇红灯，是随机事件 D. “守株待兔”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、事件的分类，根据抽样调查与全面调查以及事件的分类的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，宜进行抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、了解应聘人员的工作简历，宜进行全面调查，故原说法错误，不符合题意； C、骑车到十字路口恰遇红灯，是随机事件，故原说法正确，符合题意； D、“守株待兔”是随机事件，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．数形结合是解题的关键；根据垂直的定义求得，进而根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7. 对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 8. 下列正方形分割方案中，可以验证的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．用代数式分别表示各个选项中图形的面积，再根据各个图形中面积之间的关系得到等式即可． 【详解】解：A、选项A中的左图面积为，拼成的右图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，因此选项A不符合题意； B、从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成整体的4部分的面积和为，所以有，因此选项B不符合题意； C、选项C中大正方形的面积为，拼成大正方形的4部分的面积和为，所以有，因此选项C不符合题意； D、选项D中大正方形的面积为，拼成大正方形4个部分的面积和为，所以有，因此选项D符合题意． 故选：D． 9. 一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和平行线的性质． 由折叠可得，由平行线的性质可得，结合平角计算即可． 【详解】解：由题意可知，如图，四边形是长方形， ∴， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， 同理， ， …… ， 度， 度． 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】02 【解析】 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查了频率与概率，理解当频数增加时，频率稳定在某个值，这个值可以作为事件发生的概率，这是解题的关键． 13. 如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有______（填写序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 14. 如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用阴影部分的小三角形的个数除以正方形的小三角形的个数即可得． 【详解】∵正方形中所有的小三角形都全等， ∴阴影部分的小三角形的个数为12个，正方形的小三角形的个数为32个， ∴它停在阴影部分的概率为． 故答案：． 【点睛】本题主要考查几何概率．解题的关键是熟练掌握几概率的公式．用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 15. 若与是对顶角，且，则的补角是________． 【答案】110 【解析】 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 16. 若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值和多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．先计算，再代入求值即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，最大的长方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得最大的长方形的长和宽分别为， ∴最大的长方形面积为， 又∵最大的长方形面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积， ∴， 故答案为：． 18. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 与不平行， 故不成立； 如下图所示，， ， 又， ， ， 故正确； 故答案为： ． 三、作图题：（本大题满分9分，请用直尺、圆规等工具作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 19. 在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）点到线段的距离即线段 的长； （4）线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） （4），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查过直线外一点作已知线段的平行线和垂线，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是正确理解题意，灵活应用所学的知识解决实际问题． （1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据点到直线的距离，写出正确答案即可； （4）根据垂线段最短，写出正确答案即可． 【小问1详解】 解：如图，直线为所求． 【小问2详解】 解：如图，直线为所求． 【小问3详解】 解：∵于点， ∴点到线段的距离即为线段的长， 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵于点， ∴线段、的大小关系是， 理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 20. 尺规作图：如图，已知三角形，延长到．过点在上方作射线，使（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握作图方法． 作即可． 【详解】解：如图即为所求． 四、解答题：（本大题共6个小题，共57分．） 21. 计算： （1）用简便方法计算：； （2）． （3）已知，求的值； （4）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂相乘，多项式乘单项式，多项式除以单项式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据数的特征，用平方差公式计算即可； （2）用平方差公式和完全平方公式求解即可； （3）根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，对式子进行等价变形，整体代入计算即可； （4）用完全平方公式，多项式乘法，平方差公式对原式进行化简，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ 答：的值为． 【小问4详解】 解： ， ∵，， ∴原式． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出1个球是白球的概率； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）可以在盒子中放入6个黑球 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【小问1详解】 由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； 【小问2详解】 P（任意摸出1个球是白球）； 【小问3详解】 能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 23. 如图，，平分．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分 （理由： ） （理由： ） 【答案】；角平线的定义；；；；同角的余角相等； 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的计算，结合角平分线的定义和同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：平分 ．（理由：角平线的定义） （理由：同角的余角相等） 24. 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 解：证明：， ， ． 【小问2详解】 ， ． 又， ， ， ． 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是_____． A． B． C． （2）已知，，则______． （3）应用所得的公式计算：． （4）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）B （2）4 （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果； （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【小问1详解】 解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． 【小问2详解】 解：， ， 又， ， 故答案为：4． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 26. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $