重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

秘密★启用前【考试时间：7月3日15：00一17：00】 重庆一中高2027届高一下期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的 1复数z满足2-1=，则2=( A.-1+2i B.-1-2i C.2-i D.-2+i 2.已知向量d,6满足1al,li=2,<a,6>-至，a1(@+,则实数2=( 3 1 A.-1 B.1 D- 2 3.已知直线l:(a-1)x+y-1=0,12:(3a-)x+(a-1)y-2=0,则4∥l2的充要条件的 是() A.a=2 B.a=3 C.a=2或3 D.a=4 4.若方程C:x2+y2-2ax+2y+2a2-1=0表示圆，且圆心位于第四象限，则实数a的取 值范围是（) A.-√2，V2] B.(N2,+o) c.(0,2) D.(0,√2] 5印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自秦汉玺印至明清篆刻， 方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝如图是·个金属印章，除 去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四 棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为 2w5 5 则该几何体的体积是(， B 64 28 A.32 C.64 D. 6.若圆C:(x-1)2+(y-3)2=13上有两点关于直线：mx+y=1对称，则m2+2n的最小 值为() A号 c.1 4 1 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a(cosB-cosC)=(b+c)cosA, 若sinB=J 则名=《) a B.42 3 D.2 8已知椭圆C:女+ +京=1(a>b>0)的左右焦点分别为R,B,右项点为P.过点F的直 线1与椭圆C的交点为4，与y轴的交点为B.若B=+丙，且 IAF|-|AF3HOP|-|FFI,则椭圆C的离心案为() B5-1 p2-1 2 2 2 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知直线1：y=x+2k-3,则下列说法正确的是 A.直线/恒过定点(-2，-3) B若直线I在x轴上的酸距为1，则k=I C.若直线1与直线2x+y-1=0垂直，则片=- 2 D.若≥5，则直线I的倾斜角a的取值范围为5，) 10如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，点E,F,G,H分别为棱A,B,BC,CD, D B,C,的中点，则下列结论正确的是() A异面直线EF与A,C所成角的正弦值为 哈 3 B.EF∥平面AAC,C C直线AE与CH是异面直线 D过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-AB,C,D,所得的截面形状为菱形 11.己知直线1：(x+1)cos8+(y-2)sin8=2,其中0∈[0，π]，点P(a,b)是直线1上的一 个动点.圆G:x2+y2+2x-4元y+2=0,其中1∈R,点2(m,n)是圆C上的一个动点. 则下列说法中正确的是() 2 A当cos0=3 1=-1时，圆心C到直线1的距离为4 B当cos9=子，无-1时，0地坐标原点，则1OP1+12P1的最小值为25-2 C当1=2时，不存在0∈[0，π]，使圆C与直线1相离 D.存在入∈R,使对任意的B∈[0，π]，圆C与直线/均相切 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=22,c=√3， 则∠C= 13.已知椭图 .y2 =1的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,经过点A,F的圆 a2-1 C与y轴相切于点P(O,√3)，则|BF= 14.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小 球的半径最大时，小球的表面积为 四、解答题本题共5个小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)如图，SAB为圆锥SO的轴截面，AB为底面圆O的座径，SA=AB=2, C为底面圆周上一点，且AC=BC,D为SA的中点. (1)求证：BS∥平面OCD: (2)求直线BC与平面SAC所成角的正弦值. D 16休满分15分尼知搭圆C:苔+茶=6b>0的左右焦直分别为、B,青心 常e=),过E的直线/与椭圆C交于AB两点，且△？AB的周长为8 (1)求椭圆C的方程： (2)在△FFA中，求cos∠FAF的最小值. 3 17.(体题满分15分)已知梯形ABCD中，AB∥DC,4B⊥AD,AB=AD=DC=2. 如图1格△MBD沿BD折起到△PBD,得到三棱锥P-BCD,如图2，E、F分别为梭 BD、CD的中点. (1)若BC⊥PD,求证：平面PBC⊥平面PBD: (2)若∠PEF=90°，求二面角D-PF一E的正弦值： (3)是否存在点P,使得点B到平面PCD的距离为√互？若存在，确定点P的位里： 若不存在，请说明理由。 B 图1 图2 18.(体题满分17.分)在平面直角坐标系中，定义dP,2)=max杯1-xy-y2}为两点 Px,y)Q(x2,y2)的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名切比雪夫距离”）。 直线l:y=:+1. (1)己知圆C:x2+-a}=4(a.s),圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心分 别为C,C,且d(C,C)=2,判断圆C与圆C,的位置关系： (2)若直线1与(1)问结论中的圆C自上而下交于A,B两点，直线I与y轴、x轴分别 交于P、Q两点：若(1)问结论中的圆C与y轴自上而下交于G,H两点。 ①设⑨A=mPA,QB=nPB,求m+n的值： ②求证：直线AH、BG交点R在定直线上 19.(本题满分17分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, (1)若△MBC的面积为1， ①BACA=1,求anA的值： ②求口2 的最小值 sin A 1-cosA (2)若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径R=6,是否存在实数入，使得 abc≤a2+b2+3c2)恒成立，若存在，求出1的最小值：若不存在，说明理由. 4 重庆一中高2027届高一下期期末数学考试参考答案 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的， 1 4 J 6 7 P D A A c D B A B 1解，：=2=2-2计1放选：D 2 -1 2解：~a1(a+元，：.ar(d+aia+2ab=0, 1+元x1x2x】=0,元=-1故选：A 2 3.解：11%2，∴(a-1)2=3a-5,a2-5a+6=0,a=2或3， 当a=2时，1：x+y-1=0,12:x+y-2=0,则1∥12， 当a=3时，1：2x+y-1=0,:2x+y-1=0,则L与4重合， ∴a=2故选：A 4.解：由题可知：圆心坐标为(a,-1), -20+2-42a2->0了5<a<5 ae(0,)故选：C a>0 a>0 5.解：：正四棱锥的高为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为 25 侧棱长为 4 W5 =2√5，底面的对角线长的一半为V(2√5)2-42=2， 5 ∴.底面的对角线长为4，∴底面边长为2、2 ·该几何体的体积为×(2V②)×4+(2W2y×4=128 故选：D 3 6解：圆C上有两点关于直线1对称，∴圆心C1,3)在直线1上，∴+31=1， m2+2n=Q-3m2+2=9m-4n+1,当n=2时，m+2m的最小值为故选：B. 7.解：在△4BC中，a(cosB-cosC)=(b+c)cosA, 由正弦定理得：sinA(cosB-cosC)=cosA(sinB+sinC) .sin A cos B-sin AcosC cos Asin B+cos AsinC, .sin A cos B-cos Asin B=sin A cosC+cos Asin C sin(A-B)=sin(A+C) .in(-=-B=BA-2B,+B sin B=I 3...cosB= 2w2 b sin B sin B 1-3W2 3，· a sin A 2sin Bcos B 2cos B 8 故选：A 8解：乃B=西云+R列.B为A5的中点，即B5=AB, BE=BE·∴BE=AB=BF, ∴.△4FF,是直角三角形且∠AEF=90°， 1 1AEI-|AF,曰OP|-|EE卡a-2c,lAE|+|AF卡2a, a卡3a-c4Fa+c, 在△MFF,中，AE2HAP+|EE2, (a-0-(a+e+C 化简得：2c2+2ac-d2=0,2(9)2+2C-1=0 a 解得9=-2士23-1±V5 ,e=C0e=5-1,故选：B a 4 2 a 2 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB ABD ACD 9.解：直线：y=k(x+2)-3,∴.恒过定点(-2，-3)，选项A正确 若直线1在x轴上的截距为1，则k×1+2k-3=0,∴.k=1,选项B正确 1 若若直线I与直线2x+y-1=0垂直，则k=一，选项C错误 苦之V3,则a∈行，选项D错误 故选：AB 10.解：设正方体的棱长为2a,连接EH,HF,易证HF⊥EH, E,H分别是ABC的中点，HWAC,EH=与AG=V2a, ∴.∠HEF即为异面直线EF与AC所成的角， 在△EHF中，∠EHF=90°，HF=2a,.EF=VEH2+HF2=√6a D sn∠HEF= HF 2a 6 FV6后3，选项A正确 取AC的中点T,连接AT,FT, ~Z,F分别是4C,BC的中点，TF∥4AB,TF=AB, 、E是4B的中点，∴4E∥AB,AE=)AB, .AE∥TF,AE=TF,∴.四边形ATFE是平行四边形， .EF∥AT 一EF∥平面ACC,A,选项B正确 ·ATc平面ACCA,EFg平面ACCA 可证明EH∥AC,,∴AE与CH是共面直线，选项C错误 连接EC,GC,易证EC∥AG,GC1∥AE, ∴平面AECG即为正方体ABCD-AB,CD,过A,E,G三点的截面， 易证EC,=AG=GC=AE,∴四边形AECG为菱形，选项D正确. 故选：ABD 3 1解：当cos0=写=-1时，直线1：3x+4y-15=0,圆C:(x-少+0+2y=4, 此时圆心C坐标为1，-2)，半径r=2, 圆心C到直线1的距离为： |3-8-15=4,选项A正确， V32+4 作点0关于直线1的对称点08,2斗， 5’5 1OP1+|QPH0P|+|opplogkloc1-r=√53-2， OP|+QP|的最小值为√53-2，选项B错误 当元=2时，圆C:(x+2)2+y-4)2=16,.C(-2,4),r=4, 点C到直线1的距离d=上cas9+28im9-2-co0s0+28m6-2儿， √cos2e+sin28 -cos0+2im0=V5sin0-m),其中inp=5 00,小，8-peg,开小，(0-例ef5见 -cos6+2sin0-2∈[-3，V5-2],÷d-cos0+2sim0-2le[0,3J, .8e[0,x],d<r,∴.当元=2时，任意的日∈[0，π]，圆C与直线1相交，选项C正确 当元=1时，圆C:(x+1)2+(0y-2)2=4,圆心C的坐标为(-1,2)，半径r=2, 圆心C到直线I的距离d= 1-21 =2=r, cos20+sin20 ∴.当元=1时，对任意的6∈[0，π]，圆C与直线I均相切，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分： 12 13 14 3π 3 (48-322)π 4 12.解：在△4BC中，a=1,b=2√2，c=V13, 由余弦定理得：cosC-+b-c_P+(2W2-(W3)V5 2ab 2×1×2W2 2 ∠Ce0,）,∠C=3 4 13.解：由题可知c2=a2-b2=d2-(a2-1)=1,∴c=1,F点的坐标为1,0)， A(a,0),且经过点A,F的圆C与y轴相切于点P(0,V3), 圆心C的坐标可设为（同，ACPHCFI, 2 .a=3,.BF=√b2+c2=a=3 14.解：如图作出截面， 小球最大半径r满足：（√2+1）r=2,解得：r=2√2-2， “小球的表面积S=4m2=(48-32√2)π 四、解容题本题共5个小题，共77分解容应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)D、O分别为S4、AB的中点，.BS∥DO,BS丈平面OCD, DOC平面OCD,.BS∥平面OCD.…5分 (2)易知OC,OB,OS两两互相垂直，分别以OC,OB,OS为 x、八、轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xz ~CB=（11,0),设平面S4C的一个法向量n=(xy,z) 4c=1,0),4玉=0,15)，由：4C=0有x+=0 份示-0有y+5:=0 令=-V5y=3,x=-3,…n=（3,3,-5 CB.n 3+3 6 sin0=cosa= √42 c同 V1+1√9+9+3 √2×√2i7 ÷直线BC与平面S4C所成角的正弦值为√42 …13分 16解：1)由定义及△，AB的周长为8知4a=8,a=2,又离心率e= ’c=1, 方三V,所以椭圆C的方程为子+6分 (2)由椭圆定义AF+AF=2a=4,在△EFA中， Cos∠FAF,= AFI+F-4c (4FI+4E-24R4F-4c 24F4F 24FAF 4a-24FAF:|-4c*4b2-24FAF 2b2 6 24FAF 24F4F FFFI-FAEI 6 2 AF+4F ,=OA-A引=2取得，六c0e∠FAR,的最小值为 -2 2 …】5分 17.解：(1)'AB⊥AD,AB=AD=2,.BD=2√2，又DC=4,易知BC=2√2 .BC⊥BD,BC⊥PD,BD∩PD=D,.BC⊥平面PBD,又BCC平面PBC, .平面PBC⊥平面PBD.… …4分 (2) 由条件知ED、EF、EP两两互相垂直，以ED、EF、EP分别为x、八2轴的正方向， 建立空间直角坐标系E-.则E(0,0,0),DW2,00,武√2,0,0小C√2,22,0， F0,2,0,PE=√2，P0,0,√2)，平面PEF的一个法向量2=1,00)，设平面 PDF的-个法向量，=(x%小，DF=（√2，√2,0小，DP=（√2,0，√)，由 2DF=0有2x+2y=0-X二y,令x=y=:=1,∴m=)设二面 有 n2·Dp=0-√2x+V2z=0x=z 角D-PF-E的平面角为Y,cos小= 1.3=3，∴.siny=V6 …9分 (3) D 易证DE⊥平面PEF,分别以ED、EF为x、y轴的正方向，二轴在平面PEF内且以向 上的方向为正方向，建立空间直角坐标系E-z.则E0,00),DV2,0,0,B√2,0,0 C√2,22,0，F0,2,0: 法-：设P0,y,）,PE=V2,y,2+zo2=2,DB=（22,00 DC=（22,2W2,0小，DP=（√2，y,)设平面CDP的-个法向量n=(k,%a) 倍器822.1后k- n.DP=0 令：=5-y0x=0y=5n=(65,V2-%) DB.m d 上22 V,2+o2+2-月 =5,22=（5-y月 %2+=24-2y2=(5-月.即3y,2-22y-2=0=-5或5， 3 3 。24 所以存在点0，号号 使得点B到平面PCD的距离为√2.…15分 法二：设∠PEF=e0<6<π)，则P0,V2cos日，V2in8,DB=（22,00, DC=（2W2,2√2,0，DP=√2，V2cos0,√2sim8,设平面CDP的-个法向量 n=(ky动由份=0有 :DP=0 ∫-22x+2W2y=0 x=y {-2x+2c0s0-y+5im0:=0960s9y=m0: =1-cos0,y=sin0=x,..n=(sin0,sin0.1-cos0). DB.n -2v2 sin 0 d= =√2(0<0<π)，.3sim20=-2cos8+2, √sin20-2cos0+2 ·300s26-2c080-1=0,∴c0s8=1或c080=- 3 0<8<元co88e1hcos6=3,“m0=23√2 1 3,P0, 2W24 33 所以存在点P0, 24 33 使得点B到平面PCD的距离为√万 18解：(1)C0,aC,L,2),dC,C)=max1a-2=2,∴a-2=2→a=4或0， a≤1，a=0,∴C0,0,C,1,2),⊙C:x2+y2=4,⊙C:(x-12+0y-2}=1, r=2,1=1,-=1<CC=V5<3=r+,.⊙C与⊙C,相交…4分 (2)①直线1：y=k+1,0C:x2+y2=4,设A,B,小由x+y=4 y=+1 -2k x+x2= 消去y得：(k2+1x2+2-3=0,由韦达定理 ,o叭e -3 x×=k2+1 由O=m有+是y=mk,-一m=1+,同理O丽=nP防有 n=1+1 (*): -2k 将韦达定理代入(*)=2+ 1x+x 2+ k2+1 8 8 …10分 -3 ，.+n= 3 k2+1 ②证明：G0,2,H0,-2》,则直线AH:y+2=+2x,直线BG:y-2=2x,联立两直 线方程消x得，+名-怎+张+3+3(，由韦达定理有+=5， y-2(y2-2)x1(2-10x1,-x 3 26+) 即=红十2，代入得+2+3.2 2 y-2为3-x 3,解得 2+3x) y=4.故直线AH、BG交点R在定直线y=4.…17分 另法：（韦达定理部分整体代换） -3k +3x2 y+2y+2:-+3北_红+3北=产+(*)，由韦达定理有 y-2y2-2x(x2-1kx2-x -3k +15