精品解析：河南省洛阳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

洛阳市2024—2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．被开方数是小数，不是最简二次根式； B．被开方数是分数，不是最简二次根式； C．被开方数含能开的尽的因数9，不是最简二次根式； D．是最简二次根式． 故选：D． 2. 如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，化为最简二次根式，根据勾股定理得，再进一步计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵B，C的面积都为4， ∴正方形A的面积为， ∴正方形A的边长为， 故选：C． 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形是矩形逐一判断即可． 【详解】解： A、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意； B、，能判定为矩形，本选项符合题意； C、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定为矩形，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 对于两组数据：①5，6，6，7，8；②4，6，6，7，9，下列说法错误的是（ ） A. 众数相同 B. 平均数相同 C. 中位数相同 D. 方差相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数、平均数、中位数和方差，分别求出两组数据的众数、平均数、中位数和方差即可得到答案． 【详解】解：第①组数据中，6出现的次数最多，众数为6，中位数为6，平均数为， 方差为， 第②组数据中，6出现的次数最多，众数为6，中位数为6，平均数为， 方差为， ∴两组数据的平均数，中位数和众数都相同，方差不相同， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，解答本题的关键是明确二次根式加减运算法则． 根据二次根式的加减法计算出各个选项中正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，不能合并，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：D． 6. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 7. 现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的稳定性判断和平均数作决策，从统计结果可以看出甲和丁在不同的试验田产量不稳定，丙的平均产量高于乙，即可作出判断． 【详解】解：从统计结果可以看出甲和丁稳定性不好，丙的平均产量高于乙，故丙的稳定性和产量是最好的， 故选∶C 8. 关于函数有下列结论，其中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 若，在图象上，则 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象向下平移个单位长度后的解析式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，涉及函数图像上的点验证、函数值比较、图像所经象限的判断以及平移后的解析式求解． 【详解】解：选项A：将代入，得，故点不在图像上，故A选项错误，不符合题意； 选项B：函数的比例系数，故随增大而减小，因为，对应，，故，故B选项错误，不符合题意； 选项C：函数，，所以直线与轴交点在轴正半轴，且故随增大而减小，所以图像经过第一、二、四象限，而非第二、三、四象限，故C选项错误，不符合题意； 选项D：图像向下平移个单位，解析式为，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，作角平分线，作线段的垂直平分线，菱形的判定，根据菱形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案. 【详解】解：如图，根据作图过程可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故A不符合题意． 如图，由作图可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故B不符合题意． 如图， 由对折可得：，， 同理可得：， ∴， ∴四边形为菱形，故D不符合题意． 无法证明C选项中的四边形为菱形，故C符合题意； 故选：C 10. 春耕期间，市农资公司连续10天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第6天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量S（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，下列结论：①进货期间每天调进化肥6吨；②销售期间每天销售化肥4吨；③第11天时公司的化肥存量为12吨；④该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，其中正确结论的序号有（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了从函数图象获取信息．解题的关键是注意调入化肥需6天，但6天后到第10天调入化肥和销售化肥同时进行．通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥20吨所花的时间，再逐一判断即可． 【详解】解：进货期间每天调进化肥吨，故①符合题意； 当在第6天时，库存物资应该有36吨，在第10天时库存20吨， ∴销售化肥的速度是（吨/天），故②不符合题意； 第11天时公司的化肥存量为吨；故③不符合题意； ∴剩余的20吨完全调出需要（天）， 该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，故④符合题意． 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，数轴上点A表示的数为，过原点O作的垂线并截取，以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点C，则点C表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点C表示的实数是， 故答案为：． 13. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 【详解】解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 14. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从八年级的200名同学中随机选出20名同学统计了各自家庭一个月的节水情况，统计结果见下表： 节水量/ 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数/个 2 4 7 5 2 这20名同学的家庭一个月节约用水的平均数是______．（结果保留两位小数） 【答案】0.33 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据题意，运用加权平均数的计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 15. 在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了矩形折叠问题，勾股定理，等边三角形性质和判定等知识，根据题意分两种情况讨论，如图，当点落在上时，得到，由折叠得到，，然后根据勾股定理求解即可；如图，当点落在上时，证明出是等边三角形，得到，然后得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】分两种情况：①如图，点M，N分别是，的中点，当点落在上时， 则直线是矩形的对称轴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∵将沿着折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴； ②如图，点H，Q分别是，的中点，当点落在上时，连接， 则直线是矩形的对称轴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴ 由折叠得， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题． 【答案】绳索的长度为14.5尺． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，勾股定理的实际应用，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 将题中条件转化为数学符号语言，证明四边形为矩形，推出， 再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】由题意知：，，，． 四边形为矩形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 18. 某校九年级学生进行了一次体育模拟考试（满分：分），从男、女生中各抽取了名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 名女生的测试成绩统计如图所示： 名男生的测试成绩整理为五组：；；；；，并分析绘制成扇形图；其中，组具体成绩如下：； 抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 女生 男生 （1）根据以上信息可以求出：______，______，_____； （2）你认为该校九年级男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）． 【答案】（1） （2）九年级女生的体育成绩好，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据扇形统计图可求出的值，再根据中位数和众数的定义求出的值即可； （）根据平均数、中位数和众数的意义判断即可； 本题考查了扇形统计图和折线统计图，平均数、中位数和众数，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由扇形统计图得，， ∴， ∴名男生的测试成绩在组的人数为名， ∵男生的测试成绩由低到高排列，中位数为第和第名成绩的平均数， ∴， 由折线统计图可知，名女生的测试成绩中的人数最多， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：九年级女生的体育成绩好，理由如下： 男生和女生的平均数相同，但女生的中位数和众数都高于男生，所以九年级女生的体育成绩好． 19. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线，其中点E在上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）根据角平分线以及条件得到，再根据平行线的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求： 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ． ． ， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，直线l是一次函数的图象． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出的解集． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，再根据计算求解即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入到中得， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可得的解集为． 21. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．请你尝试证明．证明的方法很多，下面是其中一种方法．请结合图2，补全求证及完成证明． 已知：在中，点D，E分别是的中点． 求证： ． 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的证明，解题关键是构造全等三角形．延长至F，使，证明得到，，进一步证明四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】解：求证：． 证明：延长至F，使，连接， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又因为点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A，B两种型号模型的单价； （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是200元，B型机器人模型单价120元； （2）购买A型机器人模型5台，B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2240元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型单价是x元，则A型机器人模型单价是元，因为用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，所以列出方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先列式，解得，再整理得，运用一次函数的性质，进行分析，当时W值最小，，即可作答． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价是x元，则A型机器人模型单价是元， 根据题意，得． 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）． 答：A型机器人模型单价是200元，B型机器人模型单价120元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型台， 根据题意，得， 解得， 设花费W元， 则， ， ∴W随a的减小而减小， ， ∴当时W值最小，， ∴（台）， 答：购买A型机器人模型5台，B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2240元． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洛阳市2024—2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于两组数据：①5，6，6，7，8；②4，6，6，7，9，下列说法错误的是（ ） A. 众数相同 B. 平均数相同 C. 中位数相同 D. 方差相同 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 关于函数有下列结论，其中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 若，在图象上，则 C 图象经过第二、三、四象限 D. 图象向下平移个单位长度后的解析式为 9. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 春耕期间，市农资公司连续10天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第6天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量S（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，下列结论：①进货期间每天调进化肥6吨；②销售期间每天销售化肥4吨；③第11天时公司的化肥存量为12吨；④该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，其中正确结论的序号有（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个即可）． 12. 如图，数轴上点A表示的数为，过原点O作的垂线并截取，以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点C，则点C表示的实数是______． 13. 如图，正比例函数图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是______． 14. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从八年级的200名同学中随机选出20名同学统计了各自家庭一个月的节水情况，统计结果见下表： 节水量/ 0.2 0.25 0.3 0.4 05 家庭数/个 2 4 7 5 2 这20名同学的家庭一个月节约用水的平均数是______．（结果保留两位小数） 15. 在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题． 18. 某校九年级学生进行了一次体育模拟考试（满分：分），从男、女生中各抽取了名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 名女生的测试成绩统计如图所示： 名男生的测试成绩整理为五组：；；；；，并分析绘制成扇形图；其中，组具体成绩如下：； 抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 女生 男生 （1）根据以上信息可以求出：______，______，_____； （2）你认为该校九年级男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）． 19. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线，其中点E在上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，直线l是一次函数的图象． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出的解集． 21. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．请你尝试证明．证明的方法很多，下面是其中一种方法．请结合图2，补全求证及完成证明． 已知：在中，点D，E分别是的中点． 求证： ． 证明： 22. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A，B两种型号模型单价； （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$