陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 4. 给出以下命题（其中，，是空间中不同的直线，，，是空间中不同的平面）：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中正确的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于 A. B. C. D. 7. 已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 若点为点在平面上的正投影，则记．如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），．给出下列三个结论，其中正确的是（ ） A. 线段长度的取值范围是 B. 存在点P，使得平面 C. 存在点使得 D. 存在点使得点，重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 14. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数a的值； （2）若是方程的根，求实数b，c的值. 16. 已知函数． （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 17. 已知向量，，设函数． （1）求在区间上的单调递增区间； （2）在锐角中，若，求的取值范围． 18. 甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 （1）用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； （2）用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 19. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为的等边三角形，求的最小值． 20. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）和 （2） 【18题答案】 【答案】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由：产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②的最小值为，截面面积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $