精品解析： 江苏省扬州市邗江区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知是实数，若，且，则可能是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，结合已知条件分析c的符号即可． 【分析】解：∵，且， ∴， 只有C为负数， 故选C． 3. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟悉掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法是假设结论不成立，反面成立进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若，则”， 反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设， 故选：D． 4. 如图，一个正方形的边长是，若将其一组邻边长度分别增加2和减少2，所得长方形的面积与原正方形的面积相比（ ） A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先分别求出长方形的面积与原正方形的面积，再比较即可． 【详解】解：长方形的面积，原正方形的面积， ， 即长方形的面积与原正方形的面积相比减少， 故选：C． 5. 如图，将沿方向平移到的位置，量得，则间的距离是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移．根据题意可得，，先求出，再计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到的位置， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，边与交于点，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，三角形的外角的性质． 根据旋转的性质得到，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，， ∴，， ∴ 故选：A． 7. 课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设甲将数字3抄成了数字a，根据不等式组无解，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：设甲将数字3抄成了数字a， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵此不等式组无解， ∴， 解得：， ∴甲将数字3可能抄成了数字5， 故选：D． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的值，正确的计算出不等式组的解集，是解题的关键． 8. 如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用整体的思想，将待求解方程变形，让新方程组中方程各项系数与已知方程组一致，从而求解． 【详解】解：把方程组变形可得， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 10. ，，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，把，代入即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：12． 11. 命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用可判断命题“如果，那么”是假命题． 【详解】解：命题“若，则”是假命题； 故答案为：假． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和以及内角和，任何多边形的外角和是度，即这个多边形的内角和是度．边形的内角和是，列方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 则这个多边形的边数是， 故答案为：． 13. 已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，且被对称中线平分； 【详解】解：如图所示： 故答案为： 15. 当时，代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 16. 如图，已知，则________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和和四边形内角和，解题关键在于转换角直角的关系； 根据三角形内角和和对顶角相等原理可得，再利用四边形内角和为，可求得结果. 【详解】解：如图；连接，由三角形角和得： ∴四边形中， ∵， ∴ 故答案为：. 17. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了推理和论证，掌握数学推理能力是解题的关键，根据数学推理与论证的关系求解即可； 【详解】解：因为如果语文老师说的正确， 所以地理老师和政治老师的话也都正确， 又只有两个两个老师得话正确， 所以语文老师的话是错误的； 又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的； 故冠军一定是丙， 故答案为：丙 18. 长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据折叠的性质得到相关线段和角的关系，得到四边形是平行四边形，进而可知用表示出四边形的面积，再用 表示出，根据函数取值关系求出最值即可； 【详解】解： 由折叠可知， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 由题和折叠可知：， 即， 化简为： 要想最大值，那么取最小值，即最小 ∵两平行线之间的垂直距离最短， ∴最小值为5， ∴的最大值为， 故答案：25. 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含负指数幂的混合运算和整式的混合运算，根据运算顺序和相关法则或者公式一一计算即可得到结果，解题的关键是要注意计算的正确性； （1）先根据乘方、零指数幂及负指数幂性质计算，再相加即可； （2）按顺序先算乘方、乘除，再合并即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 20. 用乘法公式计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）将化为，再由完全平方公式求解； （2）将化为，再由平方差公式求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握相关运算方法和步骤，是解题的关键： （1）代入消元法解方程组即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得：，解得：； 把代入②，得：； ∴； 【小问2详解】 解：由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为． 22. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键． 将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值． 【详解】解：将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将向右平移8个单位长度后的 （2）画出将以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 （3）与是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）是成轴对称，图见详解 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，两图形成轴对称定义； （1）按要求作图，即可求解； （2）按要求作图，即可求解； （3）按两图形成轴对称定义判断，作出对称轴，即可求解； 理解两图形成轴对称定义，掌握作法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图, 为所求画的三角形； 【小问2详解】 解：如图， 为所求画的三角形； 【小问3详解】 解：成轴对称，如图， 直线为所求画的对称轴． 24. 如图，在中，是边上的点，是边上的点，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键．先判定，再结合垂线的定义，得到，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 25. 江苏省首届城市足球联赛爆火，被网民热捧为“苏超联赛”．为积极响应足球热潮，学校决定为体育组购买一批足球．已知10个 种品牌的足球和5个种品牌的足球共需950元，已知6个 种品牌的足球和4个种品牌的足球共需660元． （1）求两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要学校决定再购进两种品牌的足球50个，某商店“优惠促销”活动， 种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次购买两种品牌足球的总费用不超过2820元，至少需要购买 种品牌足球多少个？ 【答案】（1）A种品牌足球单价为50元， B种品牌足球单价为90元； （2）至少需要购买A种品牌足球30个. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种品牌足球单价为x元， B种品牌足球单价为y元，根据“购买10个 种品牌的足球和5个种品牌的足球共需950元，已知6个 种品牌的足球和4个种品牌的足球共需660元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种品牌足球购进m个，则购买个种品牌的足球，根据“此次学校购买两种品牌足球的总费用不超过2820元”，可得出关于m的一元一次不等式，计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球单价为x元， B种品牌足球单价为y元； 解得： 答：A种品牌足球单价为50元， B种品牌足球单价为90元； 【小问2详解】 设A种品牌足球购进m个 ，则： 答： 至少需要购买A种品牌足球30个． 26. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式________． （2）利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若，则________； 【类比应用】②若满足，求的值． 【知识迁移】 （3）已知和均为等腰直角三角形，分别是上的点，其中的面积是，求梯形的面积． 【答案】（1）；（2）①20；②1；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，以及灵活变形的应用，解决此题的关键是熟练掌握变形； （1）根据题意用两种方式表达空白部分的面积，即可得到恒等式； （2）①根据（1）得到的恒等式直接代入求值即可； ②次小问题需要先运用整体思想，把看着一个整体，得到完全平方公式变形的形式即可求解； （3）此小问是对公式变形应用，需要自己根据题意得到各个部分的值，最后根据变形求出答案即可； 【详解】解：（1）由题意和图可知，整个正方形的面积为，阴影部分的面积为，所以空白部分的面积为，空白部分的面积还可以表示为，则恒等式为， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：20； ②令， 由题意可知， ， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：1 （3）设， 由题意可知， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴梯形的面积为：， 答：梯形的面积为8． 27. “回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． （1）下列数是“回文数”的有________；（请填写序号） ①55 ②132 ③5656 ④2332 （2）我们容易发现任意两位数的“回文数”都是11的倍数，小明发现任意四位数的“回文数”都是11的倍数，请你证明小明的发现是正确的； （3）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称这个回文数为“平方回文数”．若t是一个千位数字为3的四位数的“回文数”，是一个“平方回文数”，求t的值． 【答案】（1）①④ （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，正确理解定义是解题的关键． （1）根据回文数的定义解答即可． （2）设任意四位数的“回文数”，表示为，整理解答即可； （3）设符合题意t的“回文数”为，则 ，计算，根据，结合平方数性质，解答即可． 【小问1详解】 解：根据回文数定义，发现55 ，2332是回文数， 故答案为：①④． 【小问2详解】 解：设任意四位数的“回文数”， 则这个四位数表示为， 故四位的回文数是11 的倍数． 【小问3详解】 解：设符合题意t的“回文数”为，则 ， 则， 由，是“平方回文数” 故或或， 故或或， 又是“平方回文数”， 故， 故这个回文数为3993． 28. 综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， （1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 【答案】【初步感知】；垂直； 【深入探究】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【解析】 【分析】（1）根据等腰的对称性，则是等腰的“三线合一”，即可求证； （2）①根据题意是等腰的对称轴，，可求证；②根据，，设，可得，然后可证，最后可求证； （3）通过直线与射线相交于点的位置不同，分类讨论即可. 【详解】解：【初步感知】∵将沿着直线翻折，使点与点重合，其中 ∴是等腰的对称轴，是等腰的“三线合一” ∴，且 【深入探究】（1）∵，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， ∴是等腰的对称轴， ∵ ∴ ∵ ∴ （2）∵，，设， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 【拓展延伸】（1）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，， ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴ （2）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，， ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴ ∴ 如图；当的的边与射线垂直时，过点作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵等腰，， ∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即 ∴ （4）如图；当的的边与垂直时，过点作， ∴与重合时， ∵ ∴ ∴ ∵等腰，， ∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即 ∴ 综上所述：的度数为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期七年级期末数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是实数，若，且，则可能是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A B. C. D. 4. 如图，一个正方形的边长是，若将其一组邻边长度分别增加2和减少2，所得长方形的面积与原正方形的面积相比（ ） A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 增加 5. 如图，将沿方向平移到的位置，量得，则间的距离是（） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，边与交于点，，则度数（ ） A. B. C. D. 7. 课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为________米． 10. ，，则的值为________． 11. 命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 已知关于二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 14. 如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 15. 当时，代数式的值为________． 16. 如图，已知，则________． 17. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 18. 长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用乘法公式计算： （1） ； （2）． 21. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 22. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将向右平移8个单位长度后的 （2）画出将以点O为旋转中心、顺时针旋转后 （3）与是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 24. 如图，在中，是边上的点，是边上的点，连接，过点作交于点，求证：． 25. 江苏省首届城市足球联赛爆火，被网民热捧为“苏超联赛”．为积极响应足球热潮，学校决定为体育组购买一批足球．已知10个 种品牌的足球和5个种品牌的足球共需950元，已知6个 种品牌的足球和4个种品牌的足球共需660元． （1）求两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要学校决定再购进两种品牌的足球50个，某商店“优惠促销”活动， 种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次购买两种品牌足球的总费用不超过2820元，至少需要购买 种品牌足球多少个？ 26. 通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式________． （2）利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若，则________； 【类比应用】②若满足，求的值． 【知识迁移】 （3）已知和均为等腰直角三角形，分别是上的点，其中的面积是，求梯形的面积． 27. “回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． （1）下列数是“回文数”的有________；（请填写序号） ①55 ②132 ③5656 ④2332 （2）我们容易发现任意两位数的“回文数”都是11的倍数，小明发现任意四位数的“回文数”都是11的倍数，请你证明小明的发现是正确的； （3）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称这个回文数为“平方回文数”．若t是一个千位数字为3的四位数的“回文数”，是一个“平方回文数”，求t的值． 28. 综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为， （1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$