精品解析：广东省深圳市宝安区海旺学校2024-2025 学年下学期九年级数学期中考前模拟练习

20242025学年下海旺学校九年级数学期中模拟练习 命题人：汪东 审题人：匡钰辉 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（ ） A. 极差是13 B. 众数是8 C. 中位数是8 D. 平均数是8 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 8. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 D. 关于x的方程的所有实数根的和为4 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 11. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 12. 已知妈妈在家洗菜，设用一定量清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为反比例函数关系．已知用5升清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量是清洗前的，若要使蔬菜上残留的农药量不超过清洗前的，则至少需要用_____升清水清洗．（假设每次清洗时，农药在清水中均匀分布，且清洗后蔬菜上的水分被充分沥干） 13. 如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 三、解答题（共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题10分，第19题11分，第20题11分） 14. 计算：． 15. 下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 16. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息回答问题： （1）向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______； （3）如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率． 17. 项目化学习 项目主题：优化运输方案 项目背景：物流业是一个新兴产业，该产业是为保证社会生产和社会生活的供给，由运输业，仓储业，通信业等多种行业整合的结果，物流业的速度和精准就集中体现在快递业中．近年来，物流公司使某企业节省了货运成本．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集某公司每月运往各地商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： （1）设运往A地的商品x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式； （2）若某月计划总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为多少件？ 18. 如图1，已知及上一点P，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切． 下面是小宇设计的作法： 如图2，①作射线； ②在外取一点Q（点Q不在射线上），以Q为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点M； ③连接并延长交于点； ④作直线． 所以直线即为所求作直线． （1）在图2中补全小宇所作图形（保留作图痕迹）； （2）对小宇作法的正确性进行证明； （3）在（1）、（2）条件下，若P是的中点，的半径为1，的半径为，连接，求的长度． 19. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． （1）填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； （2）抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； （3）如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 20. 【定义】如果平行四边形的一边中点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“中等平行四边形”． （1）边长为2的正方形______“中等平行四边形”（选填“是”或“不是”）； 如图1，在矩形中，E为边中点，，则矩形是中等平行四边形．若，则______，______． 【应用】 （2）在中等平行四边形中，，，求的长． （3）如图2，若菱形是中等平行四边形，锐角是它的一个内角，则______． （参考公式：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20242025学年下海旺学校九年级数学期中模拟练习 命题人：汪东 审题人：匡钰辉 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解． 【详解】解：一次函数与（为常数，）的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示为 4. 一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（ ） A. 极差是13 B. 众数是8 C. 中位数是8 D. 平均数是8 【答案】A 【解析】 【分析】由折线统计图中数据信息，结合极差、众数、中位数和平均数的求法求解即可判定答案． 【详解】解：A、由折线统计图可知，最高成绩为10环、最低成绩是6环，则极差是，极差不是13，选项错误，符合题意； B、由折线统计图可知，取得8环成绩的次数是18次，则成绩众数是8，选项正确，不符合题意； C、由折线统计图可知，统计了45次射击成绩，将成绩由小到大排序，中位数是第23个成绩，6环有5人、7环有8人，则中位数排序第23个成绩是8环，选项正确，不符合题意； D、由折线统计图可知，平均数是，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查统计综合，涉及折线统计图，极差、众数、中位数、平均数的求法等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 6. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取格点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 8. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 D. 关于x的方程的所有实数根的和为4 【答案】D 【解析】 【分析】由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A、B错误； 如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线， 故C错误； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为， 故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，解方程即可得到的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 11. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高 ∴， ∵点C是的中点，， ∴ 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知妈妈在家洗菜，设用一定量清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为反比例函数关系．已知用5升清水洗一次后，蔬菜上残留的农药量是清洗前的，若要使蔬菜上残留的农药量不超过清洗前的，则至少需要用_____升清水清洗．（假设每次清洗时，农药在清水中均匀分布，且清洗后蔬菜上的水分被充分沥干） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y，清水量为x，先求出反比例函数表达式，进而得出答案． 【详解】解：设蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y，清水量为x， 由已知条件可得，， 当时，， 代入可得，， 解得：， 则反比例函数的表达式为， （升）． 故答案为：． 13. 如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q， ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 三、解答题（共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题10分，第19题11分，第20题11分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值；利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 15. 下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【答案】 解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【解析】 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】略 16. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息回答问题： （1）向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______； （3）如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率． 【答案】（1）40， 补全的条形统计图为： （2）108，40 （3） 【解析】 【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图； （2）的扇形圆心角度数占的即可，根据的人数与总人数即可求解； （3）用画树状图的方法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：向阳班人数：（人）， ∴C类的人数（人）， 【小问2详解】 的扇形圆心角度数为：， ， ∴， 故答案为：108，40； 【小问3详解】 画树状图： 共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种， ∴． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17. 项目化学习 项目主题：优化运输方案 项目背景：物流业是一个新兴产业，该产业是为保证社会生产和社会生活的供给，由运输业，仓储业，通信业等多种行业整合的结果，物流业的速度和精准就集中体现在快递业中．近年来，物流公司使某企业节省了货运成本．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集某公司每月运往各地商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： （1）设运往A地的商品x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式； （2）若某月计划总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为多少件？ 【答案】（1） （2）总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件 【解析】 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）先分别求出运往B、C两地的商品数，再根据运费表列出函数关系式即可； （2）根据列出不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：由运往A地的商品x（件），可知运往C地的商品2x件，运往B地的商品为件， ， 即：， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：， ． 解得． 总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件． 18. 如图1，已知及上一点P，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切． 下面是小宇设计的作法： 如图2，①作射线； ②在外取一点Q（点Q不在射线上），以Q为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点M； ③连接并延长交于点； ④作直线． 所以直线即为所求作直线． （1）在图2中补全小宇所作图形（保留作图痕迹）； （2）对小宇作法的正确性进行证明； （3）在（1）、（2）条件下，若P是的中点，的半径为1，的半径为，连接，求的长度． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵是的直径， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，弧与弦之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由切线的判定定理即可证明结论； （3）先证明，则可证明是等腰直角三角形，据此求出，，，则由勾股定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点Q作于A， ∵P是的中点， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ，， ， ， ∵在中，由勾股定理得． 19. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． （1）填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； （2）抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； （3）如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 【答案】（1）①或； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①根据“距美函数”的概念得到，当时，代入求解即可；②根据“距美函数”的概念得到，据此即可求解； （2）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分当和，两种情况求解即可； （3）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分顶点在上，顶点在上，经过点时，三种情况讨论，画出图形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像， 即反比例函数的图像关于直线对称，再向左平移2个单位，函数解析式为， ∴， 当时，或， 故答案为：或； ②直线关于直线对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像， 令，则；令，则， 即直线与的交点为，还经过点， 点关于对称点为， 设经过点和的函数解析式为， 则，解得， 此函数解析式为，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， 由题意得，新抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∴“距美函数”为， ∵当时，， ∴，将代入得， ∴， ∴关于的对称点为， 当，则，解得（舍去）； 当，则当时，， ∴，解得（舍去）或； 综上； 【小问3详解】 解：， 则顶点坐标为，顶点在的图象上， 则新抛物线的顶点坐标为， ∴“距美函数”为， 当顶点在上， 则， ∴， ∴，（舍去）， 此时，有2个交点；当顶点在上， 则， ∴，∴，（舍去）， 此时，有6个交点， ∴当时，恰好有4个交点； 当经过点时， 有6个交点， ∴， 解得， ∴当时，恰好有4个交点； 综上，k的取值范围为或． 【点睛】本题考查了与函数相关的变换，函数图像交点问题，二次函数图像与性质，一次函数图像与性质，反比例函数图像与性质，熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键． 20. 【定义】如果平行四边形的一边中点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“中等平行四边形”． （1）边长为2的正方形______“中等平行四边形”（选填“是”或“不是”）； 如图1，在矩形中，E为边中点，，则矩形是中等平行四边形．若，则______，______． 【应用】 （2）在中等平行四边形中，，，求的长． （3）如图2，若菱形是中等平行四边形，锐角是它的一个内角，则______． （参考公式：，） 【答案】（1）不是，1，；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）如图，结合正方形的性质，证明，可得，，可得边长为2的正方形不是“中等平行四边形”；同理可得，可得，证明，再进一步求解即可； （2）分四种情况讨论：当为的中点，，如图，过作于，如图，当为的中点，， 作于，取的中点，连接当为中点，，过作，如图，当为的中点，时，过作于，再结合相似三角形与勾股定理求解即可； （3）如图，过作于，由菱形，，，设，，可得，设，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）如图，正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为2的正方形不是“中等平行四边形”； ∵矩形中，E为边中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）当为的中点，， ∵平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，而， ∴， 如图，过作于， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴； 如图，当为的中点，， 作于，取的中点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵为的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：（舍去） ∴； 当为中点，，过作， 同理可得：，设， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为的中点，时，过作于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 综上：为：或； （3）如图，过作于， ∵菱形，，， ∴设，， 同理可得：， ∴，设， ∴， 解得：， ∴. 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求解锐角的余弦，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $