精品解析：四川省眉山市东坡区高中学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

四川省眉山市东坡区高中学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的值为（ ） A. B. C. － D. － 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式转化，然后利用两角差的余弦公式化简计算. 【详解】原式=， 故选：B. 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】因为数列3，7，11，的一个通项公式为， 故数列，，，，的一个通项公式是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键． 3. 已知是等差数列，且，，则 A. -9 B. -8 C. -7 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而求出. 【详解】解：是等差数列，且， 故选B. 【点睛】本题考查数列的通项公式.熟练应用数列的通项公式是解题的关键. 4. 在中，，则这个三角形有（ ） A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 5. 已知是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与共线同向 D. 与共线反向 【答案】C 【解析】 【分析】由两边同时平方，可得，结合向量数量积的定义求出与的夹角，即可求解. 【详解】因为两个非零向量，满足， 两边同时平方可得，所以， 又，所以， 所以，所以与共线同向. 故选：C 6. 设等比数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 7. 已知锐角三角形的三边长分别为3,4，，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分两种情况来考虑： 当为最大边时，设所对的角为由锐角， 根据余弦定理可得：， 可知只要即可，可解得： 当不是最大边时，则为最大边，同理只要保证所对的角为锐角就可以了， 则有，可解得 综上可知的取值范围为 故答案选 点睛：分类讨论，因为不知道边长与4的大小所以要讨论，这里要运用余弦定理，因为余弦值在锐角时是正数，在钝角时是负数，这种情况不采用正弦值，当遇到角在第一象限或第四象限时可以用正弦． 8. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，观察直线与线段的交点从点到点运动时，直线的倾斜角的变化，从而可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，直线的斜率为，作直线交线段于点， 当直线从的位置运动到直线的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由锐角逐渐增大为直角，，此时； 当直线从直线的位置运动到的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由直角逐渐增大为钝角，，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各项中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，由得，故的定义域为， 由得，故的定义域为， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C, 因为，的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； 对于D，，， 两个函数的定义域均为，对应关系相同，所以两函数相等，故D正确. 故选：BCD. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的函数图象关于y轴对称 C. 的函数图象关于原点对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D 【详解】因为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，即为奇函数， 所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，向量与向量的夹角为120°，则在方向上的投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影公式即可求解. 【详解】在方向上的投影为. 故答案为：. 13. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________． 【答案】钱 【解析】 【详解】分析：根据条件列出等差数列相关条件，再根据基本量关系求首项. 详解：等差数列前五项和为5，前两项和与后三项和相等，求首项， 因为，所以 ，因此甲所得为钱. 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径. 【详解】由，解得．．解得． ，解得． 故答案为:． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面内给定三个向量，. （1）求满足的实数和； （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可； （2）首先求出、的坐标，再根据向量垂直得到，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：因为，，， 所以，又 则有，解得， 故，. 【小问2详解】 解：根据题意，，， 因为， 所以， 解得，故. 16. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【小问1详解】 设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角B； （2）若的面积为，BC边上的高，求，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 所以，即 由余弦定理可得， 因为，所以 【小问2详解】 由（1）知，，因为BC边上的高，所以， 在中，由正弦定理可得， 即. 因为的面积为， 所以，解得. 在中,由余弦定理,得 ，则. 所以的值为，的值为. 18. 在公差不为的等差数列中，，，成等比数列，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由解出，再由前项和为55求得，由等差数列通项公式即可求解； （2）先求出，再由裂项相消求和即可. 【小问1详解】 设公差为，由，，成等比数列，可得，即有，整理得， 数列的前项和为55，可得，解得1，1，则； 【小问2详解】 ，则． 19. 已知是等差数列，是等比数列，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求不等式解的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比基本量的运算，解方程即可得解； （2）根据错位相减法先求和，再解数列不等式即可得解. 【小问1详解】 设数列的公差为的公比为． 解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知， ， 两式相减得， ， （或）． 由得，．当时，； 当时， 所以，所求最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山市东坡区高中学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的值为（ ） A. B. C. － D. － 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列，且，，则 A. -9 B. -8 C. -7 D. -4 4. 在中，，则这个三角形有（ ） A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法确定 5. 已知是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与共线同向 D. 与共线反向 6. 设等比数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角三角形的三边长分别为3,4，，则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各项中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的函数图象关于y轴对称 C. 的函数图象关于原点对称 D. 在上单调递增 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，向量与向量的夹角为120°，则在方向上的投影为______． 13. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________． 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面内给定三个向量，. （1）求满足的实数和； （2）若，求实数. 16. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角B； （2）若的面积为，BC边上的高，求，的值． 18. 在公差不为的等差数列中，，，成等比数列，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求． 19. 已知是等差数列，是等比数列，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求不等式解的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $