精品解析：山东省青岛市崂山区第七中学2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期崂山区第七中学八年级数学试题 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设( ) A. a=3，b=4 B. a=4， b=3 C. a=－3，b=－4 D. a=－4，b=－3 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A 6 B. 10 C. 3 D. 8 6. 如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 8. 如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为_____． 12. 如果“”可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是________． 13. 如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为 ___． 14. 不等式组无解，则m取值范围_________． 15. 如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 16. 如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，点第1次向上平移2个单位至点，接着又向左平移2个单位至点，然后再向上平移2个单位至点，向左平移2个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点坐标是______． 18. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 三、作图题（本大题满分4+6=10分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 19. 已知：及其一边上的两点A，B． 求作：，使，点C在内部且到角两边的距离相等． 20. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． A (－2，3)， B(－1，1)， C(0，2) （1）将ABC向右平移2个单位，作出平移后的A1B1C1； （2）作出A1B1C1关于点C1成中心对称的图形A2B2C2； （3）连接A2B1，则A2B2B1的面积为_________． 四、解答题（本大题共7小题，满分56分） 21. 计算 （1）解不等式组：，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组：，并求出该不等式组的最大整数解； （3）分解因式： （4）分解因式： 22. 证明：直角三角形中所对直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 23. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 24. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 25. 小明在观看年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．体育中心的室内游泳馆为前来游泳的市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．如图表示会员卡支付应付金额（元），按次支付应付金额（元）与游泳次数x（次）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）分别求、关于x的函数关系式； （2）小明用于游泳的预算为元，若小明用会员卡支付最多可以游多少次？ （3）若小明假期想游泳馆练习游泳，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 26. 航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共套．设购进“神舟”模型x套，销售完这两种模型所获得的利润为y（元），已知这两种模型的进价与售价如下表所示： “神舟”模型 “天宫”模型 进价（元/套） 售价（元/套） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润． 27. 图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期崂山区第七中学八年级数学试题 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称和轴对称图形的定义．解题的关键是掌握中心对称和轴对称图形的定义． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的不等式成立， 故选C． 3. 要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设( ) A. a=3，b=4 B. a=4， b=3 C. a=－3，b=－4 D. a=－4，b=－3 【答案】C 【解析】 【分析】说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意； B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意； C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以． 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 5. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据题意得出，再得出，即可解答． 【详解】解：∵鸡舍周长为10， ∴， ∵，即， ∴， ∴鸡舍的面积为6， 故选：A． 6. 如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于m的不等式组． 7. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 8. 如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三角形外角的性质和线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出解答．根据线段垂直平分线的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．熟练掌握图象法解不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， A、当时，，选项正确，不符合题意； B、当时，，选项正确，不符合题意； C、当时，，选项错误，符合题意； D、当时，，选项正确，不符合题意； 故选:C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角． 故答案为：或． 12. 如果“”可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 13. 如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为 ___． 【答案】32 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质三角形内角和定理，根据等边对等角得出，再由三角形内角和定理确定，利用三角形外角的性质即可求解，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为：32． 14. 不等式组无解，则m的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 由②式知： ∵不等式组无解 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键． 15. 如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，进而得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：将沿着折叠，点恰好和点重合， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 16. 如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是___________． 【答案】x≥﹣1 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x≤ax+3的解集即可． 【详解】∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2）， ∴﹣2m＝2， 解得：m＝﹣1， ∴A（﹣1，2）， ∴不等式﹣2x＜ax+3的解集为x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键是求出A点坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，点第1次向上平移2个单位至点，接着又向左平移2个单位至点，然后再向上平移2个单位至点，向左平移2个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得：点与点的横坐标相同 点的横坐标比点的横坐标减少： 即点的横坐标为： ∴点的横坐标也为： 而点的纵坐标比点的纵坐标增加： ∴点的纵坐标为： ∴点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查坐标的规律探索．确定平移规律是解题关键． 18. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以①正确； ∵△ABC等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以②正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4+6=10分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 19. 已知：及其一边上的两点A，B． 求作：，使，点C在内部且到角两边的距离相等． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图． 作平分，过点作与交于点，连接即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 20. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． A (－2，3)， B(－1，1)， C(0，2) （1）将ABC向右平移2个单位，作出平移后的A1B1C1； （2）作出A1B1C1关于点C1成中心对称的图形A2B2C2； （3）连接A2B1，则A2B2B1的面积为_________． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）3． 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移2个单位得到对应点A1、B1、C1，再顺次连接可得； （2）作出点A1、B1关于点C1的对称点A2、B2，再顺次连接A2、B2，C1可得； （3）根据点的坐标由三角形面积公式即可求出面积． 【详解】解：（1）如图所示：△，即所求； （2）如图所示：△，即为所求； （3）由图可知，， ∴， 故填：3． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换和坐标系中三角形面积求法，熟练相关性质、利用数形结合得出图形是解题关键． 四、解答题（本大题共7小题，满分56分） 21. 计算 （1）解不等式组：，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组：，并求出该不等式组的最大整数解； （3）分解因式： （4）分解因式： 【答案】（1），数轴见解析 （2），1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及公式法因式分解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的最大整数即可； （3）直接利用平方差公式因式分解即可得解； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可得解． 【小问1详解】 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集． 在数轴上表示解集如图， 【小问2详解】 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为1． 【小问3详解】 【小问4详解】 22. 证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】画出图形，写出已知，求证，取的中点，连接．根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论； 【详解】已知：中，，， 求证：， 证明：取的中点，连接． 在中，点是的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）求出，推出，求出 ，即可求出即可． 【小问1详解】 证明：∵中，平分，， ∴ 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含度角的直角三角形性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出和求出是解此题的关键． 24. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 【答案】（1）（2m+n）（m+3n）． （2）272 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，代数式2m2+7mn+3n2表示长方形纸片分成12块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长×宽，即（2m+n）（m+3n）； （2）根据小长方形的周长是20，得到m+n＝10；每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，得到m2﹣n2＝40；根据上述关于m、n的方程求出m，n的值代入（1）中的代数式即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 长方形纸板分成12块，其中2块边长为m的大正方形的面积为2m2； 3块边长为n的小正方形的面积为3n2； 7块长为m，宽为n的全等小长方形的面积为7mn． ∴代数式2m2+7mn+3n2表示的是长方形纸板分成12块图形的面积之和． ∵长方形纸板的边长分别为：（2m+n），（m+3n）． ∴2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）． 故答案为：（2m+n）（m+3n）． 小问2详解】 由题意得， ． 解得． ∴长方形纸板的面积为：（2m+n）（m+3n）＝17×16＝272． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用． 25. 小明在观看年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．体育中心的室内游泳馆为前来游泳的市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．如图表示会员卡支付应付金额（元），按次支付应付金额（元）与游泳次数x（次）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）分别求、关于x的函数关系式； （2）小明用于游泳的预算为元，若小明用会员卡支付最多可以游多少次？ （3）若小明假期想在游泳馆练习游泳，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】（1）， （2）次 （3）当时，按次支付更合算；当时，两种支付相同；当时，会员卡支付更合算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）待定系数法求、的解析式即可； （2）依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）当时，， 可求；当时，，可求；当时，，可求；然后作答即可． 【小问1详解】 解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 同理，； ∴，； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∴小明用会员卡支付最多可以游次； 【小问3详解】 解：当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； ∴当时，按次支付更合算；当时，两种支付相同；当时，会员卡支付更合算． 26. 航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共套．设购进“神舟”模型x套，销售完这两种模型所获得的利润为y（元），已知这两种模型的进价与售价如下表所示： “神舟”模型 “天宫”模型 进价（元/套） 售价（元/套） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设购进“神舟”模型x套，则购进“天宫”模型套，依题意得，，整理作答即可； （2）依题意得，，可求，由，，可知当时，最大，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设购进“神舟”模型x套，则购进“天宫”模型套， 依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∵，， ∴当时，最大，为元， ∴销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润为元． 27. 图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义可得，，结合即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，等量代换可得； （3）延长至，使得，证明，推出，过点D作交于点N，解即可求解． 【详解】（1）解： 四边形为对角互补四边形， ，， ， ， ， , 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 平分． 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， ， N为中点， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是理解“对角互补四边形”的定义，正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$