（新课衔接）专题04 圆的面积（一）（知识梳理+预习检测）-2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义（北师大版）

暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题04 圆的面积（一）（知识梳理+预习检测） 1、圆的面积计算公式的推导 将圆转化成学过的平行四边形，求面积。 圆的面积=平行四边形的面积。 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2 2、已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。 3、已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。 4、在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。 一、选择题 1．如图所示，把半径为6cm的圆分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底是（    ）cm。 A．6 B．12 C．6π D．π 【答案】C 【分析】据题意，把圆分成若干等份，剪拼成一个近似的平行四边形，那么平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形高等于圆的半径； 根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2，即是平行四边形的底。 【解答】2×π×6÷2＝6π（cm） 这个平行四边形的底是6πcm。 故答案为：C 2．如图，正方形草地的边长是12米，拴羊的绳长也是12米，羊能吃到草的面积是（    ）平方米。 A．452.16 B．226.08 C．144 D．113.04 【答案】D 【分析】根据题意可知，羊能吃到草地的面积就是半径等于12米的圆的面积的，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×122× ＝3.14×144× ＝452.16× ＝113.04（平方米） 正方形草地的边长是12米，拴羊的绳长也是12米，羊能吃到草的面积是113.04平方米。 故答案为：D 3．小华用一根长62.8厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（    ） A．314平方厘米 B．628平方厘米 C．942平方厘米 D．1256平方厘米 【答案】A 【分析】铁丝长度相当于圆的周长，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【解答】3.14×（62.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 这个圆的面积是314平方厘米。 故答案为：A 4．如下图，大圆的半径是1厘米，以大圆的半径为直径画一个小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出大圆和小圆的面积，再用除法求出它们之间的关系。 【解答】小圆半径：1÷2＝0.5（厘米） 大圆面积： 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 小圆面积： 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方厘米） 3.14÷0.785＝4 大圆的面积是小圆面积的4倍。 故答案为：B 5．某钟表的分针长6厘米，从1时到3时，分针扫过的面积是（    ）平方厘米。（π取3.14） A．226.08 B．78.5 C．113.04 D．157 【答案】A 【分析】分针1小时转一圈，从1时到3时，经过了2小时，分针扫过的面积就是半径为6厘米的圆的面积的2倍，根据圆的面积公式：S＝πr2，计算解答。 【解答】3.14×62×（3－1） ＝3.14×36×2 ＝113.04×2 ＝226.08（平方厘米） 分针扫过的面积是226.08平方厘米。 故答案为：A 二、填空题 6．两个圆按照上图所示不同位置关系摆放，从左到右，两个圆的重叠部分越来越小，那么两个圆形中空白部分的面积差( )。（填变大，变小或不变） 【答案】不变 【分析】设大圆与小圆面积分别为a、b（a＞b），重叠部分面积为s，先算出两个圆形中空白部分的面积，再进行作差，可知两个圆形中空白部分的面积差＝a－b，也就是两个圆形中空白部分的面积差与重叠面积s无关，据此解答。 【解答】假设大圆与小圆面积分别为a、b（a＞b），重叠部分面积为s。大圆空白部分的面积为a－s，小圆空白部分的面积为b－s。 两个圆形中空白部分的面积差＝（a－s）－（b－s）＝a－s－b＋s＝a－b－s＋s＝a－b，由此可知两个圆形中空白部分的面积差与重叠面积s无关，故两个圆形中空白部分的面积差不变。 7．春节期间，人们会贴窗花装点环境，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望。如图是一个窗花图片，圆的面积是200.96cm2，那么用来裁剪这个窗花的最小正方形的面积是( )cm2。 【答案】256 【分析】用来裁剪该窗花的最小正方形的边长应等于圆的直径；根据圆的面积＝π×半径2，代入相应数值计算出圆的半径的平方，进而求出圆的直径，也就是正方形的边长；再利用正方形的面积＝边长×边长，代入数据，计算即可。 【解答】200.96÷3.14＝64（cm2） 8×8＝64（cm2） 圆的半径是8cm，圆的直径：8×2＝16（cm） 16×16＝256（cm2） 裁剪这个窗花的最小正方形的面积是256cm2。 8．下图中，每个圆的周长是( )cm，每个圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56 12.56 【分析】观察图形可知，四个圆都相等，长方形的长等于四个圆的直径和，用长方形的长÷4，求出一个圆的直径，进而求出圆的半径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】直径：16÷4＝4（cm） 半径：4÷2＝2（cm） 周长：3.14×4＝12.56（cm） 面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 每个圆的周长是12.56cm，每个圆的面积是12.56cm2。 9．一个圆的半径、直径、周长的和是46.4厘米，取3.14，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】把这个圆的半径设为未知数，在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，，等量关系式：半径的长度＋直径的长度＋圆的周长＝46.4厘米，列方程求出半径的长度，再根据“”求出这个圆的面积，据此解答。 【解答】解：设这个圆的半径为厘米。 3.14×52＝78.5（平方厘米） 所以，这个圆的面积是78.5平方厘米。 10．下面的四个图形中，( )的面积最小，( )和( )的面积相等，圆的面积是( )cm2。 【答案】三角形 正方形 平行四边形 12.56 【分析】根据正方形的面积公式S＝a2，三角形的面积公式S＝ah÷2，平行四边形的面积公式S＝ah，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，再比较四个图形面积的大小即可。 【解答】正方形的面积：4×4＝16（cm2） 三角形的面积：4×4÷2＝8（cm2） 平行四边形的面积：4×4＝16（cm2） 圆的面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 16＝16＞12.56＞8 正方形的面积＝平行四边形的面积＞圆的面积＞三角形的面积 四个图形中，（三角形）的面积最小，（正方形）和（平行四边形）的面积相等，圆的面积是（12.56）cm2。 三、计算题 11．看图计算阴影部分的面积。 【答案】123.48cm2 【分析】根据图示，阴影部分的面积等于长15cm，宽12cm的长方形面积减去直径是12cm的半圆的面积，根据，由圆的直径除以2，再根据圆的面积公式，代入计算据此解答即可。 【解答】15×12－3.14×（12÷2）2÷2 ＝15×12－3.14×62÷2 ＝180－3.14×36÷2 ＝180－113.04÷2 ＝180－56.52 ＝123.48（cm2） 四、解答题 12．如果一颗通信卫星的信号覆盖区域近似一个直径为600千米的圆，那么这颗通信卫星的信号覆盖面积是多少平方千米？ 【答案】282600平方千米 【分析】圆的面积公式，先求出覆盖区域的半径，再代入公式计算解答。 【解答】 （平方千米） 答：这颗通信卫星的信号覆盖面积是282600平方千米。 13．京华小区门口有一块圆形空地，直径是40米，现在要给这块地铺草皮，每平方米草皮25元钱，那么铺满草皮需要多少钱？ 【答案】31400元 【分析】根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，先求出草皮的面积，草皮的面积×每平方米钱数＝铺满草皮需要的总钱数，据此列式解答。 【解答】3.14×（40÷2）2×25 ＝3.14×202×25 ＝3.14×400×25 ＝1256×25 ＝31400（元） 答：铺满草皮需要31400元钱。 14．妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 【答案】157平方厘米；62.8厘米 【分析】时针长度相当于圆的半径，经过一昼夜，时针旋转2圈，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算出旋转1圈的面积和周长，再分别乘2即可。 【解答】3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 2×3.14×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（厘米） 答：时针扫过的面积是157平方厘米，时针针尖走过的路程是62.8厘米。 15．周六，小明和妈妈去比萨店吃午餐，妈妈选了一个12寸的比萨。 服务员说：“对不起，12寸的没有了，给您换一个9寸和一个6寸的，好吗？” 妈妈略加思索答应了，小明想了想说：“好像不合理吧？” 服务员理直气壮地说：“怎么不合理？9＋6大于12，你还赚了呢！” 你认为这种调换，顾客划算吗？请你计算说明。（注：比萨的12寸、9寸和6寸是指它的直径；比萨的厚度都一样。）（寸是一种长度单位，1寸×1寸＝1平方寸） 【答案】不划算；计算见详解 【分析】根据圆的面积＝πr2，把数据分别代入公式求出它们的面积，然后进行比较即可。 【解答】 ＝3.14×36 ＝113.04（平方寸） ＝3.14×＋3.14×9 （平方寸） 91.845＜113.04 答：顾客不划算。 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题04 圆的面积（一）（知识梳理+预习检测） 1、圆的面积计算公式的推导 将圆转化成学过的平行四边形，求面积。 圆的面积=平行四边形的面积。 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2 2、已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。 3、已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。 4、在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。 一、选择题 1．如图所示，把半径为6cm的圆分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底是（    ）cm。 A．6 B．12 C．6π D．π 2．如图，正方形草地的边长是12米，拴羊的绳长也是12米，羊能吃到草的面积是（    ）平方米。 A．452.16 B．226.08 C．144 D．113.04 3．小华用一根长62.8厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（    ） A．314平方厘米 B．628平方厘米 C．942平方厘米 D．1256平方厘米 4．如下图，大圆的半径是1厘米，以大圆的半径为直径画一个小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 5．某钟表的分针长6厘米，从1时到3时，分针扫过的面积是（    ）平方厘米。（π取3.14） A．226.08 B．78.5 C．113.04 D．157 二、填空题 6．两个圆按照上图所示不同位置关系摆放，从左到右，两个圆的重叠部分越来越小，那么两个圆形中空白部分的面积差( )。（填变大，变小或不变） 7．春节期间，人们会贴窗花装点环境，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望。如图是一个窗花图片，圆的面积是200.96cm2，那么用来裁剪这个窗花的最小正方形的面积是( )cm2。 8．下图中，每个圆的周长是( )cm，每个圆的面积是( )cm2。 9．一个圆的半径、直径、周长的和是46.4厘米，取3.14，这个圆的面积是( )。 10．下面的四个图形中，( )的面积最小，( )和( )的面积相等，圆的面积是( )cm2。 三、计算题 11．看图计算阴影部分的面积。 四、解答题 12．如果一颗通信卫星的信号覆盖区域近似一个直径为600千米的圆，那么这颗通信卫星的信号覆盖面积是多少平方千米？ 13．京华小区门口有一块圆形空地，直径是40米，现在要给这块地铺草皮，每平方米草皮25元钱，那么铺满草皮需要多少钱？ 14．妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 15．周六，小明和妈妈去比萨店吃午餐，妈妈选了一个12寸的比萨。 服务员说：“对不起，12寸的没有了，给您换一个9寸和一个6寸的，好吗？” 妈妈略加思索答应了，小明想了想说：“好像不合理吧？” 服务员理直气壮地说：“怎么不合理？9＋6大于12，你还赚了呢！” 你认为这种调换，顾客划算吗？请你计算说明。（注：比萨的12寸、9寸和6寸是指它的直径；比萨的厚度都一样。）（寸是一种长度单位，1寸×1寸＝1平方寸） 学科网（北京）股份有限公司 $$