（新课衔接）专题01 圆的认识（一）（知识梳理+预习检测）-2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义（北师大版）

暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题01 圆的认识（一）（知识梳理+预习检测） 1、圆的认识。由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2、圆的各部分名称。 （1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母O表示。 （2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母r表示。 （3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。 3、圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径，无数条半径;同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。 4、圆心和半径的作用。 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆在生活中的应用。 圆形车轮的车轴都安装在圆心处，这样车轴到地面的距离实际就是圆的半径，而在同一个圆中所有的半径都相等，这样圆形车轮运动起来才是平稳的，让人们更加安全舒适。圆在生活中有着广泛的应用，运用圆的特征可以解决生活中的一些实际问题。 一、选择题 1．用下面的方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径。这样测量的依据是（    ）。 A．直径是圆中最长的线段 B．圆的直径是相等的 C．圆是轴对称图形 D．圆的半径是直径的一半 2．用圆规画圆，圆规两脚叉开的距离是2.8cm，画出的圆的直径是（    ）。 A．1.4cm B．2.8cm C．4.6cm D．5.6cm 3．用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在一张长为8厘米、宽为4厘米的长方形纸板上剪半径为1厘米的圆，最多可以剪（    ）个。 A．16 B．6 C．8 D．32 5．没有圆规，淘气用如图所示的方法也成功画出了圆。他的窍门是画圆时（    ）。 A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 二、填空题 6．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是( )。 7．用圆规画一个直径为3厘米的圆时，圆规两脚间的距离是( )厘米。 8．图中圆的半径是( )cm，长方形的宽是( )cm。 9．算一算，填一填。 钟面 圆形桌面 自行车车轮 半径（r） 80mm 800mm 直径（d） 6.08dm 10．看图填一填。 梯形的高是( )cm，上底是( )cm。 三、操作题 11．在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 四、解答题 12．如图，放学后，明明和小丽以同样的速度沿直线回家，他们两个谁先到家？说说为什么？ 13．张老师想在操场上画一个直径是12米的圆，他会怎样画？写一写你的方法。 14．一张长是6厘米、宽是4厘米的长方形纸片，剪成半径是1厘米的圆形纸片，一共可以剪多少个？（先画出草图，再解答） 15．根据如图回答问题。 （1）图中三角形的两条直角边的长分别是多少？ （2）长方形的长、宽分别是多少？ （3）梯形的上底、下底、高分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题01 圆的认识（一）（知识梳理+预习检测） 1、圆的认识。由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2、圆的各部分名称。 （1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母O表示。 （2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母r表示。 （3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。 3、圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径，无数条半径;同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。 4、圆心和半径的作用。 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆在生活中的应用。 圆形车轮的车轴都安装在圆心处，这样车轴到地面的距离实际就是圆的半径，而在同一个圆中所有的半径都相等，这样圆形车轮运动起来才是平稳的，让人们更加安全舒适。圆在生活中有着广泛的应用，运用圆的特征可以解决生活中的一些实际问题。 一、选择题 1．用下面的方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径。这样测量的依据是（    ）。 A．直径是圆中最长的线段 B．圆的直径是相等的 C．圆是轴对称图形 D．圆的半径是直径的一半 【答案】A 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，如图测量圆中的线段，其中最长的线段即为圆的直径；据此解答。 【解答】在同一个圆内有无数条直径，直径是圆中最长的线段，如图所示，测量出圆中最长的线段就是圆的直径。 即这样测量的依据是直径是圆中最长的线段。 故答案为：A 2．用圆规画圆，圆规两脚叉开的距离是2.8cm，画出的圆的直径是（    ）。 A．1.4cm B．2.8cm C．4.6cm D．5.6cm 【答案】D 【分析】画圆时，圆规两脚叉开的距离是半径，根据圆的直径＝半径×2，进行计算即可。 【解答】2.8×2＝5.6（cm） 画出的圆的直径是5.6。 故答案为：D 3．用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】用折叠法将圆形纸片对折两次，两次折痕的交点就是圆心的位置，据此解答。 【解答】据分析可知，用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折2次。 故答案为：B 4．在一张长为8厘米、宽为4厘米的长方形纸板上剪半径为1厘米的圆，最多可以剪（    ）个。 A．16 B．6 C．8 D．32 【答案】C 【分析】根据直径＝半径×2，先求出圆的直径；再用长方形的长除以圆的直径；求出长方形的长可以剪几个圆，再用长方形的宽除以圆的直径，求出长方形的宽可以剪几个圆，再把它们相乘，即可解答。 【解答】1×2＝2（厘米） （8÷2）×（4÷2） ＝4×2 ＝8（个） 答：在一张长为8厘米、宽为4厘米的长方形纸板上剪半径为1厘米的圆，最多可以剪8个。 故答案为：C 5．没有圆规，淘气用如图所示的方法也成功画出了圆。他的窍门是画圆时（    ）。 A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，据此解答即可。 【解答】观察图形可知：画图时圆心的位置是确定不变的，并且利用图中直尺和圆圈让笔尖到圆心的长度也是确定的，即圆的半径不变。 故答案为：C 二、填空题 6．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是( )。 【答案】圆中最长的线段是直径 【分析】垂直于同一条直径的两条直线互相平行，则三角尺与圆相交的两条直角边互相平行，而平行线间的距离处处相等，这样可以测量出圆内最长的线段长度，因为直径是圆内最长的线段，所以测量依据是圆中最长的线段是直径，据此解答。 【解答】根据分析可知，用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是圆中最长的线段是直径。 7．用圆规画一个直径为3厘米的圆时，圆规两脚间的距离是( )厘米。 【答案】1.5 【分析】根据圆的概念知：圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，直径＝半径×2，则直径÷2＝半径，代入数据计算即可。 【解答】3÷2＝1.5（厘米） 所以用圆规画一个直径为3厘米的圆时，圆规两脚间的距离是1.5厘米。 8．图中圆的半径是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】4 8 【分析】从图形中可以得出一个圆的圆心恰好在另外一个圆的圆心上，即这两个圆的半径相等，则长方形的长正好是3个圆的半径，除法得出圆的半径；长方形的宽恰好是圆的直径，半径×2＝直径，代入数据计算即可。 【解答】12÷3＝4（cm） 4×2＝8（cm） 则图中圆的半径是4cm，长方形的宽是8cm。 9．算一算，填一填。 钟面 圆形桌面 自行车车轮 半径（r） 80mm 800mm 直径（d） 6.08dm 【答案】见详解 【分析】根据圆的直径是半径的2倍，已知半径可用半径乘2求直径，已知直径可用直径除以2求半径。据此解答。 【解答】（dm） （mm） （mm） 钟面 圆形桌面 自行车车轮 半径（r） 80mm 800mm 3.04dm 直径（d） 160mm 1600mm 6.08dm 10．看图填一填。 梯形的高是( )cm，上底是( )cm。 【答案】5 10 【分析】观察图形可知，梯形的高等于圆的半径，是5cm；梯形的上底等于圆的直径，是5×2＝10（cm）。 【解答】通过分析可得： 梯形的高是5cm；5×2＝10（cm），上底是10cm。 三、操作题 11．在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 【答案】图见详解；4平方厘米 【分析】先确定圆心，然后用圆规把两脚之间的距离打开到2厘米，然后转半圈画出半圆弧，之后把左右两点连接起来就是半圆，要使三角形最大，那么三角形的底是半圆的直径，只有当高是圆的半径的时候，三角形面积最大，根据三角形的面积公式：底×高÷2，代入数据即可求解。 【解答】如下图所示： 2×2＝4（厘米） 4×2÷2＝4（平方厘米） 三角形的面积是4平方厘米。 四、解答题 12．如图，放学后，明明和小丽以同样的速度沿直线回家，他们两个谁先到家？说说为什么？ 【答案】小丽；理由见详解 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。在同一个圆内，所有直径相等，且圆内的所有线段中，直径最长。 根据题意，明明和小丽的速度相同，那么距离短的，用的时间就少，先到家。 【解答】答：小丽先到家。因为学校到明明家的距离等于圆的直径，学校到小丽家的距离是圆内一条不是直径的线段，根据“圆内的所有线段中，直径最长”可知，学校到小丽家的距离比学校到明明家的距离短，所以小丽先到家。 13．张老师想在操场上画一个直径是12米的圆，他会怎样画？写一写你的方法。 【答案】见详解 【分析】圆的特征：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。在同圆或等圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即在同圆或等圆中，d＝2r。注意： “在同圆或等圆中”是必要的前提条件（答案不唯一）。 【解答】12÷2＝6（米） 找一根长度为6米的绳子，让张老师找一位同学站在操场上，并且拿起绳子的一端，张老师拿着绳子的另一端，围绕着同学转一圈，即画出直径为12米的圆。 14．一张长是6厘米、宽是4厘米的长方形纸片，剪成半径是1厘米的圆形纸片，一共可以剪多少个？（先画出草图，再解答） 【答案】作图见详解 6个 【分析】根据圆的直径是半径的2倍，用先算圆的直径，再分别用6除以直径，4除以直径，求出长和宽分别可以剪几个圆，然后相乘即可。据此解答。 【解答】作图如下： （厘米） （个） 答：一共可以剪6个。 15．根据如图回答问题。 （1）图中三角形的两条直角边的长分别是多少？ （2）长方形的长、宽分别是多少？ （3）梯形的上底、下底、高分别是多少？ 【答案】（1）一条是3.5cm；另一条是6cm （2）长是7cm，宽是3.5cm （3）上底是7cm；下底是13cm，高是3.5cm 【分析】（1）观察图形可知，三角形的直角边一条是6cm，一条等于半圆的半径，已知半圆的直径，用直径除以2，就是三角形的另一条直角边； （2）观察图形可知，长方形的长是7cm，宽是半圆的半径，用直径除以2，就是长方形的宽； （3）梯形的上底等于长方形的长，梯形的下底是长方形的长与三角形一条长6cm的直角边的和，高是半圆的半径，用直径除以2，梯形的高即可求出。 【解答】（1）7÷2＝3.5（cm） 三角形的两条直角边长是3.5cm，6cm。 （2）7÷2＝3.5（cm） 长方形的长是7cm，宽是3.5cm。 （3）7＋6＝13（cm） 7÷2＝3.5（cm） 梯形的上底是7cm，下底是13cm，高是3.5cm。 【点评】本题圆的直径与半径的关系，同圆或等于的直径是半径的2倍，据此进行解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$