精品解析：山东省淄博市张店区重庆路中学（五四制）2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2025年张店区重庆路中学初三下期中考试数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件即可解答． 【详解】由题意可得：且 解得： 故选：D 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练地掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 为整数， 的最大值为4， 故选：A． 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 4. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 5. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）※结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义列出式子，进而进行实数的混合运算即可． 【详解】解：∵m※n＝m2n－mn－3n， ∴（－2）※ 故选A 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的加减运算，理解新定义并列出式子是解题的关键． 6. 若、是的两个根，且，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数关系得出，由配方得，得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵、是的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得， 但b=-7时，方程为，此时，所以原方程无实数根， 故选B． 【点睛】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键． 7. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】欲求S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题． 【详解】解：如图： 由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2， ∴HC=4cm，LM=LF=cm． ∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF =（HL+MC）•LF =（HC-LM）•LF = =cm2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键． 8. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由α、β是方程x2+2017x+1=0的两个根，可得α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，在将（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）进行适当的变形，即可求出结果． 【详解】∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根， ∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1， ∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2） =（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β） =9αβ =9， 故选：A． 【点睛】考查一元二次方程的根的意义、根与系数的关系，将要求的代数式进行适当的变形，利用整体代入是常用的方法，也是最有效的方法． 9. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接，         四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，在边长为4正方形的外部作，，连接，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】连接BE，DF交于点O，由题意可证△AEB≌△AFD，可得∠AFD=∠AEB，可证∠EOF=90°，由勾股定理可求解． 【详解】连接BE，DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE=AF，∠EAF=90° ∴∠EAB=∠DAF， 在△AEB和△AFD中， ， ∴△AEB≌△AFD（SAS）， ∴∠AFD=∠AEB， ∵∠AEF+∠AFE=90°=∠AEB+∠BEF+∠AFE=∠BEF+∠AFE+∠AFD=∠BEF+∠EFD=90°， ∴∠EOF=90°， ∴EO2+FO2=EF2，DO2+BO2=DB2，EO2+DO2=DE2，OF2+BO2=BF2， ∴DE2+BF2=EF2+DB2=2AE2+2AD2=2×22+2×42=40． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11. 计算：的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，，由勾股定理即可解答． 【详解】解：如图： 设二人从出发到相遇用x个单位时间， 由题意得：，，，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 13. 用配方法解一元二次方程时可配方得____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为 _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的线段长转移到线段上．延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】延长至K，使得，连接，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形如图1，图2，根据△ADF是等边三角形，△AEF是等边三角形，分别求解即可． 【详解】解：∵四边形ABMN是矩形， ∴，， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°， ∵DA＝DF， ∴△ADF是等边三角形， ∴∠AFD＝60°， ∵∠DFE＝∠DAE＝30°， ∴EF平分∠AFD， ∴EF⊥AD，此时． ②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，同①，可得． 综上所述，满足条件的EF的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于确定EF⊥AC时的图形． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，然后根据平方差公式计算； （2）先逐项化简，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和二次根式的加减，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再将看做整体，利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 则，即， 或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 18. 如图（1），沿平行四边形ABCD的对角线AC剪开，得到△ABC1和△ADC2，并将△ADC2绕点A旋转至AC2∥BC1（如图（2））． （1）求证：AC2平分∠C1AD； （2）若AC1∥DC2，问图（1）中的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：由平行四边形的性质得： ，，， ，， △ABC1≌△ADC2， ∴∠BC1 A＝∠DAC2， ∵AC2BC1， ∴∠BC1 A＝∠C1A C2， ∴∠DAC2＝∠C1 A C2， ∴AC2平分∠C1AD； （2） 图（1）中的四边形ABCD是菱形；理由如下： ∵AC1DC2， ∴∠C1 AC2＝∠AC2 D， ∵∠DAC2＝∠C1 A C2， ∴∠AC2 D＝∠C2 AD， ∴AD＝C2 D， ∵C2 D＝AB， ∴AD＝AB， ∴图（1）中的四边形ABCD是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出△ABC1≌△ADC2，得出∠BC1 A＝∠DAC2，由平行线的性质得出∠BC1 A＝∠C1A C2，证出∠DAC2＝∠C1 A C2即可； （2）由平行线的性质得出∠C1 AC2＝∠AC2 D，由∠DAC2＝∠C1 A C2，得出∠AC2 D＝∠C2 AD，证出AD＝C2 D，由平行四边形的性质得出C2 D＝AB，得出AD＝AB，即可得出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，弄清角之间的关系是解决问题的关键． 19. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ （2）请你计算，这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差多少． 【答案】（1）9元；（2）450元 【解析】 【分析】（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为200＋50x；先求出清仓处理的件数，由总利润＝单件利润×销售数量，可求出清仓处理的利润，再将第一周、二周、清仓处理的利润相加，即可得出该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润，令其等于1250，即可得出关于x的一元二次方程，解得即可求出x的值，再将其代入10﹣x中即可； （2）根据（1）中总利润列出函数解析式，根据函数的性质求出最大值和最小值做差即可． 【详解】解：（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为（200＋50x）个， ∴第二周获得利润为(10﹣6﹣x)(200＋50x)＝(﹣50x2＋800)元， ∵清仓处理的单价为4元/个，处理的数量为600﹣200﹣(200＋50x)＝200﹣50x个， ∴清仓处理利润为(4﹣6)(200﹣50x)＝(100x﹣400)元， ∴该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润为(10﹣6)×200＋(﹣50x2＋800)＋(100x﹣400)＝(﹣50x2＋100x＋1200)元， ∴﹣50x2＋100x＋1200＝1250， 整理得：x2﹣2x＋1＝0， 解得：x1＝x2＝1， ∴10﹣x＝9． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元； （2）设这批旅游纪念品总获利为w元， 则w＝﹣50x2＋100x＋1200＝﹣50(x﹣1)2＋1250， ∵﹣50＜0， ∴当x＝1时，w有最大值，最大值为1250， 又∵0≤x≤4， ∴当x＝4时，w最小，最小值为800， ∴1250﹣800＝450， ∴这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差450元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，根据已知列出方程和函数解析式是解题关键． 20. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3） ，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）利用分子有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 21. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 22. （1）问题背景：在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小刚同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． 请你将的面积直接填写在横线上：___________． （2）思维拓展：我们把上述求面积的方法叫作构图法，若中，，，三边的长分别为，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，其中顶点A的位置如图所示．①求出的面积；②直接写出顶点B到的距离（用含a的式子表示）． （3）探索创新：若三边长分别为（，且），请直接写出这个三角形的面积（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；② ；（3） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求三角形的面积，根据题意正确画出是解题的关键． （1）利用恰好能覆盖的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答； （2）①根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可； ②根据三角形的面积公式，求出边上的高即可； （3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）①∵， ∴可以看作是两直角边长分别为和a的直角三角形斜边长， 同理：可以看作是两直角边长都是的直角三角形斜边长，可以看作是两直角边长是和a的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求， ； ②设顶点B到的距离为h，则， ∴， 解得：， 即点B到的距离为； （3）∵， ∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长， 同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求， ∴． 23. 综合与实践探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG. （1）初步探究： 如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证； （2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题. A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由； B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由； （3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题. 如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，. A.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________. B.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）A.解： ； 理由如下：如图1，连接OB， 由（1）知，，， ∵点O是AC的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； B.解：. 理由如下：延长GO交FA的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点O是AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）A. B.或 【解析】 【分析】（1）根据题意，AF⊥BE，CG⊥BE，，，则，利用AAS证明，即可得到答案； （2）A．由（1）知，，然后得到OB=OA，由，得到，即可得到OF=OG； B．延长GO交FA的延长线于点H，找到条件，证明，然后得到OH=OG=OF； （3）A．根据矩形的性质，得到△ABO是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则，由勾股定理，求出BF和BG的长度，即可得到FG. B．根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB和△BCG是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF和BG的长度，然后求出FG的长度即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）A、解：如图：连接OB， 在直角三角形ABC中，OA=OB=OC， ∵∠BAC=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABO=60°， ∵BF=BG， ∴点B是FG的中点， ∴OB∥AF， ∴∠BAF=60°， ∵∠AFB=90°， ∴∠ABF=30°， ∴， ∴， ∴BG=， ∴FG=； 故答案为. B．解：①如图，OF∥BC，则OF⊥AB， ∵点O为AC中点， ∴点H为AB的中点，即AH=BH， ∴△ABF是等腰三角形，则AF=BF， ∵∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠ABF=45°， ∴， 同理：△BCG是等腰直角三角形，， ∴， ∴； ②如图，OF∥BC，延长OF交AB于点I， 由①可知，△ABF是等腰直角三角形，， △BCG是等腰直角三角形，， ∴； 综合上述，FG的长度为：或. 故答案为或. 【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形，构造等边三角形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年张店区重庆路中学初三下期中考试数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）※结果为（ ） A. B. C. D. 6. 若、是的两个根，且，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 9. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 10. 如图，在边长为4正方形的外部作，，连接，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二．填空题（共5小题） 11. 计算：的值为______． 12. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 13. 用配方法解一元二次方程时可配方得____． 14. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为 _______________ ． 15. 如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为____． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图（1），沿平行四边形ABCD的对角线AC剪开，得到△ABC1和△ADC2，并将△ADC2绕点A旋转至AC2∥BC1（如图（2））． （1）求证：AC2平分∠C1AD； （2）若AC1∥DC2，问图（1）中的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形？并说明理由． 19. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ （2）请你计算，这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差多少． 20. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 21. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 22. （1）问题背景：在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小刚同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积． 请你将的面积直接填写在横线上：___________． （2）思维拓展：我们把上述求面积的方法叫作构图法，若中，，，三边的长分别为，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，其中顶点A的位置如图所示．①求出的面积；②直接写出顶点B到的距离（用含a的式子表示）． （3）探索创新：若三边长分别为（，且），请直接写出这个三角形的面积（用含m，n的式子表示）． 23. 综合与实践探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG. （1）初步探究： 如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证； （2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题. A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由； B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由； （3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题. 如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，. A.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________. B.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $