专题6 双变量问题讲义- 2026届高三数学二轮专题

专题6 双变量问题--答案解析 【专题探究】 例1【解析】(1)因为，所以， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，故令， 则在上恒成立，所以在上单调递增， 故，所以，即的取值范围是. (2) 因为.令，得, 函数过点的切线方程为， 将代入上式得， 所以过的的切线方程为 所以要使与有两个交点，则. 此时有两个极值点，且. 由得 令，则，所以， 所以，即，所以， 令，得 令，得，所以在上递增. 因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立. 所以在上递增.又， 所以当时，，所以的取值范围是. 练1【解析】(1)由巳知得 当时， 当，即，；当，即，； 故当时，的递增区间为，递减区间为. (2)当时，由（1）知 令，则的两个不等实数解为 故 即（或） , 又 故不等式恒成立恒成立（*） 由于，故，故（*）恒成立 令 则 是上的增函数， ，即最大值为. 练2【解析】函数的定义域为， ，而，当且仅当，即取等号， 所以恒成立，故在上单调递增， 所以的单调递增区间为，无减区间． 将代入化简得，，， 因为函数有两个不同的零点，， 所以等价为有两个不同的根，即有两个不同的根， 令，，而，所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取极小值也是最小值，所以， 可知：， 因为两边取对数得 两式进行运算得 整理得 不妨设，要证，只需证明即可， 即证，只需证明：，设 即证：恒成立， 设，， 所以在上单调递减，所以， 故，所以． 例2【解析】（1）∵函数，, ∴,由，，得. 令，则， ∵,∴在上单调递增，，又， ∴当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴，当且仅当时等号成立， ∴方程有且仅有唯一解，实数的值为0． （2）令 ，其中， 则，∴当时， ，单调递增． 当时,, 单调递减， 故 ，， 令，，则， ①若时, ，在单调递增，∴，满足题意； ②若时，，满足题意； ③若时，，在单调递减，∴，不满足题意． 综上，正实数的取值范围是． 练3【解析】（1）的定义域为,. 若单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立． 在上单调递减，于是． 所以实数的取值范围为． （2）证明：，． 依题意可得是方程的两个根， 于是，且． 要证，只需证， 即证．即， 因为，所以， 从而． 令，，则， 设，则．令， 解得（舍去． 由得，由可得， 于是在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 而，，于是在上， 因此在上单调递增，从而． 综上所述，，原命题获证． 练4【解析】（1）当，则， 当时，，在上单调递增，； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，不成立， 实数的取值范围为． （2）证明：当时,， 函数存在两个极值点，∴，即， 由题意知，，为方程的两根，故， 不妨设，则，， 由（1）知，当, 即（当且仅当时取等号），∴当时，恒有， ， 又， 令， 则则函数在 上单调递增，， 从而， 综上可得：． 例3【解析】(1)构造函数，其中， 则 ， 因为，则，， 即当时，，所以，函数在上单调递减， 故当时，，即. (2)若，则， 此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，， 由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则， 则，即， 所以，， 因为，则， 所以，， 所以，， 所以，，所以， 而要证,只要证,只要,又， 即证，令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为减函数，当时，， 所以，当时，， 所以，可得，所以，. 练5【解析】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则，设，则， 易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴，∴，在上单调递增； 综上，当 时，在上单调递增； （2）依题意，，则 两式相除得，，设，则，，，∴，， ∴，设（），则， 设，则，所以在单调递增， 则，∴，则在单调递增， 又 ，即,且， ∴， ∴，即的最大值为. 练6【解析】当时，，故，， ， 曲线在点处的切线方程为，即； ， ， 令，解得， 当，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 证明：2由，则， 对任意的，，且，令，， 则 ， ，① 令， 当时，， 在单调递增， 当，，即， ， ，② 由Ⅰ可知当时，， 即，③ 由①②③可得， 当时，对任意的，，且，有． 例4【解析】(1),令得,, 再由,令得． 所以的解析式为． ,易知是上的增函数,且． 所以 所以函数的增区间为,减区间为． (2)若恒成立, 即恒成立， , (1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意; (2)当时,恒成立, 则,; (3)当时, 为增函数,由得, 故 当时, 取最小值． 依题意有, 即, ,, 令,则, , 所以当时, 取最大值． 故当时, 取最大值． 综上, 若，则 的最大值为． 练7【解析】（1）． 当时，，∴在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解． ∵当时，，∴有解，令，，则． ∵，∴在上单调递减， ∴，即，∴实数的取值范围． 【专题训练】 1. 【解析】（1）由题意得 的定义域为， 则，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 证明：有个极值点，则有且仅有两个变号零点， 则由可知时，在上单调递增，在上单调递减； 设，则，又因为，所以， 由，得故， 要证，只需证，即证， 因为，所以，只需证， 即证，令，， 设，则， 在上单调递增， ，即，所以， 即原不等式成立，即． 2. 【解析】因为，则， 当时，因为，所以，所以函数在上单调递增， 则； 当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则；， 当，即时， 函数在上单调递增，在上单调递减，则； 当，即时，，，函数在上单调递减， 则．综上，当时，； 当时，；当时，． 要证，只需证：，若有两个极值点， 即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即解得，另一方面，由 得，从而可得， 于是．不妨设， 设，则．因此，． 要证，即证：，即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数．注意到，，因此，． 于是，当时，有．所以成立，． 3. 【解析】当时，， ，所以函数在点处的切线的斜率为． 当时，， 因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立， 令，则，当时，， 令，所以在上递增， 即，所以在上恒成立，符合题意； 当时，，且在为单调递增函数， 所以存在唯一使得，所以当时，在递减， 即，不符合题意；综上所述，． 证明：， 当时，由可知是增函数，所以， 设， 移项得， 由知，即， 所以，即， 设， 所以当时，，即， 所以当时，，即， 所以， 代入式中得到， 即，所以， 即命题得证． 4. 【解析】函数，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此当时，函数取得极小值， 所以函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值． 令，则，由，得，即， 不等式，， 则要证，只需证，即证， 令，求导得， 令，求导得， 因此在上单调递增，， 则函数在上单调递增，， 即成立， 所以原不等式成立． 5. 【解析】函数的定义域为． ，， 当时，；当时，； 的单调递增区间是；单调递减区间是； 函数的定义域为，，常数， 当时，；当时，； 的单调递减区间是；单调递增区间是； 设，它的定义域为，， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 的最小值为， 不成立，即方程无实数解， 故方程无实数解， 直线与曲线无公共点； 根据已知，的定义域为， 设，由得，且， 由，记，，则，， 由得， 由知在上单调递减，故， ，，记，则， 由，解得 ，，若，且，则， ，， ，， 设，则， 解得， 由可得，由可得， ， 设，则，， ， 由是自然对数的底数，得， 由知，在上单调递减； 在上单调递增， 由得， 又， 存在唯一，使， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，单调递增，故； 当时，单调递减，故； 当时，单调递增，故． 综上所述，当时，， ，． 实数的取值范围为． 6.【解析】当时，， ，且， 令，则，因为， 由，得，由，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以时，， 因为，所以，即， 所以在定义域内为减函数 因为，所以，为方程的两根， 所以两式相减得 所以， 故， 令，且，因为，，所以， 且， 令，，则， 所以在上为增函数，故， 即， 所以．  7. 【解析】由  ，得  ，又  ，所以  ， 则  ，所以  ，  ． 当  时，令  ，得  或  ；令  ，得  ； 所以  在  和  上单调递增，在  上单调递减； 当  时，令  ，得  ；令  ，得  或  ； 所以  在  与  上单调递减，在  上单调递增．  ，理由如下： 因为  ， 由  ，得  ，解得  或  ． 因为  ，所以  ，  ，  是  的正根，则  ， 又  ， 所以  ，  ， 两式相减得  ． 令  ，  ，则  ，得  ，则  ． 令  ，则  ， 所以  ，  ，可得  ，  ． 设  ，则  ， 再设  ，则  ， 所以  在  上为增函数，则  ， 即  ，则  在  上为增函数， 从而  ， 所以  ，即  ， 所以  ，即  ． 8. 【解析】． 当时，，令，得令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，令，得或令，得． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 当，即时，恒成立，所以在上单调递增． 当，即时，令，得或令，得． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 证明：由题意得， 要证，只需证， 即证，即证． 令，， 所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立． 令，则， 令，则． 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 所以所以． 9.【解析】，，， 又函数的图象的对称中心为，即拐点为， 解得， ，， 函数在上为正，在上为负，在上为正， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ， ，． 显然，在上单调递增，且， 是的变号零点， 又， 曲线的拐点是． 证明：由可得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 函数在上单调递增，不妨设． 要证，即证，即证， 又，即证，即证， 令，则， ， 函数在上单调递增，又， 函数在上单调递减，在上单调递增． 得证，即成立． 共16页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6：双变量问题 双变量问题顾名思义，题设情境是以双变量的形式呈现的综合性问题，函数与导数的双变量问题在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现，同时双变量问题的出题形式以及出题结构相对灵活，考察的具体内容也可与其他知识模块进行融合，这就导致双变量函数问题具有一定的综合应用的特点，在解答此类问题的过程中应分析双变量函数问题的基本形式，并将基本形式与引入参数、等价转化、分离参数等基本方法的应用相结合，进而完成题型的定位，确定双变量函数问题的整体求解策略. 函数与导数的双变量问题在解答过程中，应从两方面分析参数之间的制约关系，一方面会表现为参数变量之间的确定性的数量关系，借助此类数量关系，可将两类变量进行等价转化；另一方面，此类双变量问题会变化成一种动态的制约关系，这种制约关系往往会表现为一种参数变化的趋势.又可分成两类题型，一是求参变量的取值范围类问题，二是含有参数的双变量证明问题，这两类题型属于构造函数的范畴. 一、双变量函数问题的解题策略: 1.引入参数：引入参数法处理的问题多与参数的单调性以及最值问题相关，在进入此类新参数的过程中，应注意构造合理的新函数； 2.等价转化：等价转化的思想是数学解题过程中的关键思想，在此类思想的引导下，可将题目中的不同参数依据固定的数量关系进行转化，从而达成参数形式上的统一形式； 3.分离参数：应用分离参数解题方法的过程中，应对初始的函数形式进行一定的变化，将自变量与其中的参数系数进行分离，在分离参数之后，可获得包含单一参数的函数形式，相应的最值可有效确定； 4.构造函数，(1)转化为函数单调性问题，无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路是设定两个未知量的大小关系，然后构造出所需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题.(2)找两个变量之间的关系，然后将双变量转化为单变量即可；用其中一个变量作为自变量而另外一个变量作为常数来用，确定主变元而转化为单变量问题,也可以将两个变量的和或商作为一个新变元. 二、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1.构造函数法 题设情境是由函数的的单调性参数的取值范国，求与函数的极值点相关解析式的取值范围.第（1）问应用导数与函数单调性的基本方法，由函数的单调递增的充要条件，即函数的导函数大于或等于0恒成立，求参数的取值范围；第（2）问应用等价转换技巧及函数存在极值点的必要条件，借助函数有两个零点的临界位置（函数相关切线），求得参数a的参值范围,然后由函数的极值点的充分条件，应用方程思想和数学建模方珐,通过“消参、换元，构造函数”等技巧而解决问题. 例1已知函数，其中. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围. 【思路点拨】 第（1）问由题设函数在上单调递增，转化为恒成立,参变分离得在上恒成立.构造函数，利用导数判的最小值，即可求出的取值范围；第(2)问由有两个极值点，推导实数的取值范围及的取值范围.由是的根,得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是. 练1（2024·湖北省黄冈市·模拟题）已知函数.其中为自然对数的底数. （1）当时，求的单调区间： （2）当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值. 练2(2025·湖北省黄冈市·模拟题)已知函数． 求函数的单调区间； 设函数，若函数有两个不同的零点，，证明：． 2.主变元变更法及应用 题设情境是应用导数研究方程的解和多变量的恒成立问题.第（1）问由两函数的导数构造方程，然后研究函数单调性及最值得到方程的解，即得t的值；第（2）问首先视a为主变元构造函数,由研究不等式恒成立相关的方法得到其最小值,由最小值的结构特征,即关于b、k的解析式,然后视b为主变元,造构相应的函数,应用分类与整合思想求参变量k的取值范围. 例2已知函数，． （1）若,,求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． 【思路点拨】 第(1)问由题设条件，，得,应用导数研究上述方程的根,即得实数的值；第(2)题构造函数，其中，应用导数求得,将视为主变元构造函数,应用导数利用分类讨论思想即可求正实数的取值范围. 练3（2024·天津市·月考试卷）已知函数． （1）若单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点,且,求证: ． 练4（2025·天津市·月考试卷） 已知函数.（，，是自然对数的底数） （1）若，当时，，求实数的取值范围； （2）若，存在两个极值点，，求证：. 3.比(差)值代换法及应用 题设情境是目标函数含三角函数与对数函数,证明有关三角函数的不等式和与“零点”有关的不等式.第（1）问由待证不等式构造函数，利用函数的单调性及最值证明不等式；第（2）问首先应用导数研究函数的单调性，结合条件确定,利用第（1）问通过去“三角化”推导出，应用分析法、比值代换法、构造法证明. 例3已知函数， . (1)求证：，； (2)若存在、，且当时，使得成立，求证：. 【思路点拨】 第（1）问由题设构造函数,求其导数,利用余弦函数的有界性判定,由的单调递减性得而证明不等式； 第（2）问由、题设条件探究得知,然后利用第(1)问结论可得 , 从而推导得, 然后通过恰当构造得, 利用放缩得,然后分析推理转化证明,因此应用比值代换证明该不等式. 练5（2024·浙江省·期末考试）已知函数 （）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 练6（2025·重庆市·月考试卷）已知函数，为的导函数． 1当时， 求曲线在点处的切线方程； 求函数的单调区间和极值； 2当时，求证：对任意的，，且，有． 4. 不等式恒(能)成立问题 题设情境是求函数解析式及单调区间，含双参数的不等式值成立向题.第（1）问通过求导函数值与函数值而求得函数的解析式，然后应用导数与函数单调性的基本知识求出函数的单调区间；第（2）问由对任意实数恒成立，通过构造函数，应用导数基本知识和分类讨论数学思想求得该函数的最值，然后利用函数的最值恒非负得到关不等式，将该不等式代入，再构造关于的函数并求其最值即可. 例4已知函数满足满足． (1)求的解析式及单调区间； (2)若，求的最大值． 【思路点拨】 （1）应用赋值法求得和的值,从而得到的解析式,然后应用导数求得函数的单调区间;(2)构造函数,应用导数通过分类讨论研究函数的单调性求其最小值,从而可得,因而,然后构造函数,便可求得的最大值. 练7(2023·天津市·期末考试)已知函数（）． （1）若，讨论函数的单调性； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 专题训练 1. (2024·广东省·模拟题)已知函数，为的导函数． 设，讨论函数的单调性； 若有个极值点，满足，证明：． 2. (2025·福建省漳州市·月考试卷)已知函数 若，为的导函数，求函数在区间上的最大值； 若函数有两个极值点，求证： 3. (2025·天津市·期末考试)已知函数的导函数为，为自然对数的底数． 当时，求函数在点处的切线的斜率； 若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； 若满足，证明：． 4. (2024·甘肃省·模拟题)已知函数． 求函数的极值点及极值； 若，且，求证：为自然对数的底． 5. (2024·云南省·模拟题)已知是自然对数的底数，常数，函数，． 求、的单调区间； 讨论直线与曲线的公共点的个数； 记函数，、，若，且，则，求实数的取值范围． 6.(2025·河北省邢台市·模拟题)已知函数． 当时，证明在定义域内为减函数 若函数有两个不同的极值点，，试比较与的大小，并证明你的结论． 7. (2024·湖北省恩施土家族苗族自治州·期末考试)已知函数，且，． 讨论的单调性； 若，函数有三个零点，，，且，试比较与的大小，并说明理由． 8. (2025·青海省西宁市·模拟题)已知函数，． 讨论的单调性 任取两个正数，，当时，求证：． 9.(2024·贵州省贵阳市·月考试卷)设是函数的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为若有变号零点，则称点为曲线的“拐点”． 研究发现，任意三次函数，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为，求函数的解析式，并讨论的单调性； 已知函数． 求曲线的“拐点”； 若，求证： 共14页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6：双变量问题 双变量问题顾名思义，题设情境是以双变量的形式呈现的综合性问题，函数与导数的双变量问题在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现，同时双变量问题的出题形式以及出题结构相对灵活，考察的具体内容也可与其他知识模块进行融合，这就导致双变量函数问题具有一定的综合应用的特点，在解答此类问题的过程中应分析双变量函数问题的基本形式，并将基本形式与引入参数、等价转化、分离参数等基本方法的应用相结合，进而完成题型的定位，确定双变量函数问题的整体求解策略. 函数与导数的双变量问题在解答过程中，应从两方面分析参数之间的制约关系，一方面会表现为参数变量之间的确定性的数量关系，借助此类数量关系，可将两类变量进行等价转化；另一方面，此类双变量问题会变化成一种动态的制约关系，这种制约关系往往会表现为一种参数变化的趋势.又可分成两类题型，一是求参变量的取值范围类问题，二是含有参数的双变量证明问题，这两类题型属于构造函数的范畴. 一、双变量函数问题的解题策略: 1.引入参数：引入参数法处理的问题多与参数的单调性以及最值问题相关，在进入此类新参数的过程中，应注意构造合理的新函数； 2.等价转化：等价转化的思想是数学解题过程中的关键思想，在此类思想的引导下，可将题目中的不同参数依据固定的数量关系进行转化，从而达成参数形式上的统一形式； 3.分离参数：应用分离参数解题方法的过程中，应对初始的函数形式进行一定的变化，将自变量与其中的参数系数进行分离，在分离参数之后，可获得包含单一参数的函数形式，相应的最值可有效确定； 4.构造函数，(1)转化为函数单调性问题，无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路是设定两个未知量的大小关系，然后构造出所需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题.(2)找两个变量之间的关系，然后将双变量转化为单变量即可；用其中一个变量作为自变量而另外一个变量作为常数来用，确定主变元而转化为单变量问题,也可以将两个变量的和或商作为一个新变元. 二、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1.构造函数法 题设情境是由函数的的单调性参数的取值范国，求与函数的极值点相关解析式的取值范围.第（1）问应用导数与函数单调性的基本方法，由函数的单调递增的充要条件，即函数的导函数大于或等于0恒成立，求参数的取值范围；第（2）问应用等价转换技巧及函数存在极值点的必要条件，借助函数有两个零点的临界位置（函数相关切线），求得参数a的参值范围,然后由函数的极值点的充分条件，应用方程思想和数学建模方珐,通过“消参、换元，构造函数”等技巧而解决问题. 例1已知函数，其中. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围. 【思路点拨】 第（1）问由题设函数在上单调递增，转化为恒成立,参变分离得在上恒成立.构造函数，利用导数判的最小值，即可求出的取值范围；第(2)问由有两个极值点，推导实数的取值范围及的取值范围.由是的根,得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是. 【规范解析】 (1)因为，所以， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，故令， 则在上恒成立，所以在上单调递增， 故，所以，即的取值范围是. (2) 因为.令，得, 函数过点的切线方程为， 将代入上式得， 所以过的的切线方程为 所以要使与有两个交点，则. 此时有两个极值点，且. 由得 令，则，所以， 所以，即，所以， 令，得 令，得，所以在上递增. 因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立. 所以在上递增.又， 所以当时，，所以的取值范围是. 练1（2024·湖北省黄冈市·模拟题）已知函数.其中为自然对数的底数. （1）当时，求的单调区间： （2）当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值. 【规范解析】 (1)由巳知得 ,当时， 当，即，；当，即，； 故当时，的递增区间为，递减区间为. (2)当时，由（1）知 令，则的两个不等实数解为 故 即（或） ,又 故不等式恒成立恒成立（*） 由于，故，故（*）恒成立 令 则 是上的增函数， ，即最大值为. 练2(2025·湖北省黄冈市·模拟题)已知函数． 求函数的单调区间； 设函数，若函数有两个不同的零点，，证明：． 【规范解析】 函数的定义域为， ，而，当且仅当，即取等号， 所以恒成立，故在上单调递增， 所以的单调递增区间为，无减区间． 将代入化简得，，， 因为函数有两个不同的零点，， 所以等价为有两个不同的根，即有两个不同的根， 令，，而，所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取极小值也是最小值，所以， 可知：， 因为两边取对数得 两式进行运算得 整理得 不妨设，要证，只需证明即可， 即证，只需证明：，设 即证：恒成立， 设，， 所以在上单调递减，所以， 故，所以． 2.主变元变更法及应用 题设情境是应用导数研究方程的解和多变量的恒成立问题.第（1）问由两函数的导数构造方程，然后研究函数单调性及最值得到方程的解，即得t的值；第（2）问首先视a为主变元构造函数,由研究不等式恒成立相关的方法得到其最小值,由最小值的结构特征,即关于b、k的解析式,然后视b为主变元,造构相应的函数,应用分类与整合思想求参变量k的取值范围. 例2已知函数，． （1）若,,求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． 【思路点拨】 第(1)问由题设条件，，得,应用导数研究上述方程的根,即得实数的值；第(2)题构造函数，其中，应用导数求得,将视为主变元构造函数,应用导数利用分类讨论思想即可求正实数的取值范围. 【规范解析】 （1）∵函数，, ∴,由，，得. 令，则， ∵,∴在上单调递增，，又， ∴当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴，当且仅当时等号成立， ∴方程有且仅有唯一解，实数的值为0． （2）令 ，其中， 则，∴当时， ，单调递增． 当时,, 单调递减， 故 ，， 令，，则， ①若时, ，在单调递增，∴，满足题意； ②若时，，满足题意； ③若时，，在单调递减，∴，不满足题意． 综上，正实数的取值范围是． 练3（2024·天津市·月考试卷）已知函数． （1）若单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点,且,求证: ． 【规范解析】 （1）的定义域为,. 若单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立． 在上单调递减，于是． 所以实数的取值范围为． （2）证明：，． 依题意可得是方程的两个根， 于是，且． 要证，只需证， 即证．即， 因为，所以， 从而． 令，，则， 设，则．令， 解得（舍去． 由得，由可得， 于是在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 而，，于是在上， 因此在上单调递增，从而． 综上所述，，原命题获证． 练4（2025·天津市·月考试卷） 已知函数.（，，是自然对数的底数） （1）若，当时，，求实数的取值范围； （2）若，存在两个极值点，，求证：. 【规范解析】 （1）当，则， 当时，，在上单调递增，； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，不成立， 实数的取值范围为． （2）证明：当时,， 函数存在两个极值点，∴，即， 由题意知，，为方程的两根，故， 不妨设，则，， 由（1）知，当, 即（当且仅当时取等号），∴当时，恒有， ， 又， 令， 则则函数在 上单调递增，， 从而， 综上可得：． 3.比(差)值代换法及应用 题设情境是目标函数含三角函数与对数函数,证明有关三角函数的不等式和与“零点”有关的不等式.第（1）问由待证不等式构造函数，利用函数的单调性及最值证明不等式；第（2）问首先应用导数研究函数的单调性，结合条件确定,利用第（1）问通过去“三角化”推导出，应用分析法、比值代换法、构造法证明. 例3已知函数， . (1)求证：，； (2)若存在、，且当时，使得成立，求证：. 【思路点拨】 第（1）问由题设构造函数,求其导数,利用余弦函数的有界性判定,由的单调递减性得而证明不等式； 第（2）问由、题设条件探究得知,然后利用第(1)问结论可得 , 从而推导得, 然后通过恰当构造得, 利用放缩得,然后分析推理转化证明,因此应用比值代换证明该不等式. 【规范解析】 (1)构造函数，其中， 则 ， 因为，则，， 即当时，，所以，函数在上单调递减， 故当时，，即. (2)若，则， 此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，， 由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则， 则，即， 所以，， 因为，则， 所以，， 所以，， 所以，，所以， 而要证,只要证, 只要,又， 即证，令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为减函数，当时，， 所以，当时，， 所以，可得，所以，. 练5（2024·浙江省·期末考试）已知函数 （）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 【规范解析】 （1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则，设，则， 易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴，∴，在上单调递增； 综上，当 时，在上单调递增； （2）依题意，，则 两式相除得，，设，则，，，∴，， ∴，设（），则， 设，则，所以在单调递增， 则，∴，则在单调递增， 又 ，即,且， ∴， ∴，即的最大值为. 练6（2025·重庆市·月考试卷）已知函数，为的导函数． 1当时， 求曲线在点处的切线方程； 求函数的单调区间和极值； 2当时，求证：对任意的，，且，有． 【规范解析】 解：当时，，故，， ， 曲线在点处的切线方程为，即； ， ， 令，解得， 当，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 证明：2由，则， 对任意的，，且，令，， 则 ， ，① 令， 当时，， 在单调递增， 当，，即， ， ，② 由1可知当时，， 即，③ 由①②③可得， 当时，对任意的，，且，有． 4.不等式恒(能)成立问题 题设情境是求函数解析式及单调区间，含双参数的不等式值成立向题.第（1）问通过求导函数值与函数值而求得函数的解析式，然后应用导数与函数单调性的基本知识求出函数的单调区间；第（2）问由对任意实数恒成立，通过构造函数，应用导数基本知识和分类讨论数学思想求得该函数的最值，然后利用函数的最值恒非负得到关不等式，将该不等式代入，再构造关于的函数并求其最值即可. 例4已知函数满足满足． (1)求的解析式及单调区间； (2)若，求的最大值． 【思路点拨】 （1）应用赋值法求得和的值,从而得到的解析式,然后应用导数求得函数的单调区间;(2)构造函数,应用导数通过分类讨论研究函数的单调性求其最小值,从而可得,因而,然后构造函数,便可求得的最大值. 【规范解析】 (1),令得,, 再由,令得． 所以的解析式为． ,易知是上的增函数,且． 所以 所以函数的增区间为,减区间为． (2)若恒成立, 即恒成立， , (1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意; (2)当时,恒成立, 则,; (3)当时, 为增函数,由得, 故 当时, 取最小值． 依题意有, 即, ,, 令,则, , 所以当时, 取最大值． 故当时, 取最大值． 综上, 若，则 的最大值为． 练7(2023·天津市·期末考试)已知函数（）． （1）若，讨论函数的单调性； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【规范解析】 （1）． 当时，，∴在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解． ∵当时，，∴有解，令，，则． ∵，∴在上单调递减， ∴，即，∴实数的取值范围． 专题训练 1. (2024·广东省·模拟题)已知函数，为的导函数． 设，讨论函数的单调性； 若有个极值点，满足，证明：． 【解析】 （1）由题意得 的定义域为， 则，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 证明：有个极值点，则有且仅有两个变号零点， 则由可知时，在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 又因为，所以， 由，得故， 要证，只需证，即证， 因为，所以，只需证， 即证，令，， 设，则， 在上单调递增， ，即， 所以， 即原不等式成立，即． 2. (2025·福建省漳州市·月考试卷)已知函数 若，为的导函数，求函数在区间上的最大值； 若函数有两个极值点，求证： 【解析】 因为，则， 当时，因为，所以，所以函数在上单调递增， 则； 当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则；， 当，即时， 函数在上单调递增，在上单调递减，则； 当，即时，，，函数在上单调递减， 则．综上，当时，； 当时，；当时，． 要证，只需证：，若有两个极值点， 即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即解得，另一方面，由 得，从而可得， 于是．不妨设， 设，则．因此，． 要证，即证：，即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数．注意到，，因此，． 于是，当时，有．所以成立，． 3. (2025·天津市·期末考试)已知函数的导函数为，为自然对数的底数． 当时，求函数在点处的切线的斜率； 若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； 若满足，证明：． 【解析】 当时，， ，所以函数在点处的切线的斜率为． 当时，， 因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立， 令，则，当时，， 令，所以在上递增， 即，所以在上恒成立，符合题意； 当时，，且在为单调递增函数， 所以存在唯一使得，所以当时，在递减， 即，不符合题意；综上所述，． 证明：， 当时，由可知是增函数，所以， 设， 移项得， 由知，即， 所以，即， 设， 所以当时，，即， 所以当时，，即， 所以， 代入式中得到， 即，所以， 即命题得证． 4. (2024·甘肃省·模拟题)已知函数． 求函数的极值点及极值； 若，且，求证：为自然对数的底． 【解析】 函数，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此当时，函数取得极小值， 所以函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值． 令，则，由，得，即， 不等式，， 则要证，只需证，即证， 令，求导得， 令，求导得， 因此在上单调递增，， 则函数在上单调递增，， 即成立， 所以原不等式成立． 5. (2024·云南省·模拟题)已知是自然对数的底数，常数，函数，． 求、的单调区间； 讨论直线与曲线的公共点的个数； 记函数，、，若，且，则，求实数的取值范围． 【解析】 函数的定义域为． ，， 当时，；当时，； 的单调递增区间是；单调递减区间是； 函数的定义域为，，常数， 当时，；当时，； 的单调递减区间是；单调递增区间是； 设，它的定义域为，， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 的最小值为， 不成立，即方程无实数解， 故方程无实数解， 直线与曲线无公共点； 根据已知，的定义域为， 设，由得，且， 由，记，，则，， 由得， 由知在上单调递减，故， ，，记，则， 由，解得 ，，若，且，则， ，， ，， 设，则， 解得， 由可得，由可得， ， 设，则，， ， 由是自然对数的底数，得， 由知，在上单调递减； 在上单调递增， 由得， 又， 存在唯一，使， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，单调递增，故； 当时，单调递减，故； 当时，单调递增，故． 综上所述，当时，， ，． 实数的取值范围为． 6.(2025·河北省邢台市·模拟题)已知函数． 当时，证明在定义域内为减函数 若函数有两个不同的极值点，，试比较与的大小，并证明你的结论． 【解析】 当时，， ，且， 令，则，因为， 由，得，由，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以时，， 因为，所以，即， 所以在定义域内为减函数 因为，所以，为方程的两根， 所以两式相减得 所以， 故， 令，且，因为，，所以， 且， 令，，则， 所以在上为增函数，故， 即， 所以．  7. (2024·湖北省恩施土家族苗族自治州·期末考试)已知函数，且，． 讨论的单调性； 若，函数有三个零点，，，且，试比较与的大小，并说明理由． 【解析】 由  ，得  ，又  ，所以  ， 则  ，所以  ，  ． 当  时，令  ，得  或  ；令  ，得  ； 所以  在  和  上单调递增，在  上单调递减； 当  时，令  ，得  ；令  ，得  或  ； 所以  在  与  上单调递减，在  上单调递增．  ，理由如下： 因为  ， 由  ，得  ，解得  或  ． 因为  ，所以  ，  ，  是  的正根，则  ， 又  ， 所以  ，  ， 两式相减得  ． 令  ，  ，则  ，得  ，则  ． 令  ，则  ， 所以  ，  ，可得  ，  ． 设  ，则  ， 再设  ，则  ， 所以  在  上为增函数，则  ， 即  ，则  在  上为增函数， 从而  ， 所以  ，即  ， 所以  ，即  ． 8. (2025·青海省西宁市·模拟题)已知函数，． 讨论的单调性 任取两个正数，，当时，求证：． 【解析】 ． 当时，，令，得令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，令，得或令，得． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 当，即时，恒成立，所以在上单调递增． 当，即时，令，得或令，得． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 证明：由题意得， 要证，只需证， 即证，即证． 令，， 所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立． 令，则， 令，则． 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 所以所以．  9.(2024·贵州省贵阳市·月考试卷)设是函数的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为若有变号零点，则称点为曲线的“拐点”． 研究发现，任意三次函数，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为，求函数的解析式，并讨论的单调性； 已知函数． 求曲线的“拐点”； 若，求证： 【解析】 ，，， 又函数的图象的对称中心为，即拐点为， 解得， ，， 函数在上为正，在上为负，在上为正， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ， ，． 显然，在上单调递增，且， 是的变号零点， 又， 曲线的拐点是． 证明：由可得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 函数在上单调递增，不妨设． 要证，即证，即证， 又，即证，即证， 令，则， ， 函数在上单调递增，又， 函数在上单调递减，在上单调递增． 得证，即成立． 共22页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$