第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：解一元二次不等式 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 考点3：根据一元二次不等式解求参、 考点4：三个“二次”关系的应用 考点:5：一元二次不等式恒成立 考点6：解决实际问题 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】一元二次不等式 1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 3．一元二次不等式的解与解集 ① 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； ② 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； ③ 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 【知识点2】二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 2．三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况。因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【知识点3】一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ① 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 时，求根； ③ 时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2．含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：解一元二次不等式 【例1】解下列不等式： （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】（1）；（2）.（3）；（4）（5）. 【解析】（1）由可得，解原不等式可得. 因此，不等式的解集为； （2）由可得，变形得，解原不等式可得或. 因此，不等式的解集为. (3)化为， ，即，或， 原不等式的解集为． （4） 由得，即，解得：或，所以不等式的解集是， （5）化为，即，，且， 即(且)原不等式的解集为． 【变式1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： （1） （2）. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求方程的根，作出函数的图象，利用图像即可求解； （2）原不等式可化为，计算即可求解. 【详解】（1）∵方程有两个相等的实根. 作出函数的图象如图. 由图可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ∵，∴方程无实根， ∴原不等式的解集为. 【变式2】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）求下列方程组的解集和不等式的解集： （1）；（2）；（3）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法，结合集合的表示方法，即可求解. （2）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解. （3）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解. 【详解】（1）由题意，方程组，可化为， 两式相加，可得，解得， 将代入，可得， 即该方程组的解集为. （2），故. 所以不等式的解集为. （3），故. 所以不等式的解集为. 【变式3】解一元二次不等式 （1）； （2）； （3）；（4）． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 【例2】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 【变式1】解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2】解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【变式3】当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据、和分类讨论解不等式即可. 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 考点3：根据一元二次不等式解求参 【例3】（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 【变式2】关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 【变式3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 考点4：三个“二次”关系的应用 【例4】 【变式1】）如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【详解】由二次函数图象可得：若，则或， 故不等式的解集为或. 故选：C. 【变式2】（多选）（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 【变式3】已知二次函数的图象与x轴交于，两点. （1）当时，求的值； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【详解】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 考点5：一元二次不等式恒成立 【例5】（1）不等式对一切实数都成立，则实数a的范围是 （2）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___． （3）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 （4）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）不等式可变形为 由不等式对一切实数都成立， ，即，解得故选：C （2）因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以. （3）当时，，此不等式无解； 当，要使原不等式无解，应满足：，解得：. （4）不等式等价于存在，使成立，即 设 当时， 所以 . 【变式1】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 【变式2】（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）若不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 考点6：解决实际问题 【例6】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【变式1】如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米， 根据题意可得， 整理得：， 即， 解得或， 不合题意，舍去， 故所求花卉带宽度的范围为， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 模块三 知识检测 考点1：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)无解． 【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x轴的交点情况可解不等式. 【详解】（1）原不等式可化为，所以不等式的解为； （2）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （3）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 4．（24-25高一上·陕西·期中）解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 5．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（1）若不等式的解集为，求a的值； （2）求解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解可得方程的根，从而可求参数的值. （2）就的不同的取值范围分类讨论后可求不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 故且为的根，故，即. （2）当时，原不等式即为即； 当时，，原不等式的解为； 当时，，故原不等式的解为； 当时，故原不等式的解为； 当时，，故原不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 考点3：根据一元二次不等式解求参 8．若关于的不等式的解集是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用不等式与方程之间的关系建立等式进行求解，然后再进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据不等式与方程之间的关系知1为方程的一个根， 即，解得或， 当时，不等式的解集是，符合要求； 当时，不等式的解集是，不符合要求，舍去． 故， 故选：A． 9．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 10．已知不等式的解集为或，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据不等式的解集为,可知是方程的两个根，利用韦达定理可求的值，进而可求答案． 【详解】根据不等式的解集为, 可知是一元二次方程的两个根， 利用韦达定理可得,解得 故答案为：；. 11．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题得、为方程的根，将代入，即可求解. 【详解】由题可得得、为方程的根， 将代入，得， 即. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数图像性质即可得出结论. 【详解】由的函数值有正值可知函数的图像与轴有两个交点，所以，即或. 故答案为： 14．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由题意得要满足题意只需，列式计算求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 15．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 考点4：三个“二次”关系的应用 16．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数形结合求出不等式的解集. 【详解】，即．根据图象知，只有在时，x取其它任何实数时y都是负值. 故选：A． 17．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 18．（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 【答案】AB 【分析】根据一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系一一判定选项即可. 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 故选：AB 19．（多选）（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 考点:5：一元二次不等式恒成立 20．（多选）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； 【详解】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 21．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 22．（多选）若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论，利用判别式法列式求解即可. 【详解】当时，不等式有解，符合题意； 当时，得，则不等式有解； 当时，由，解得. 综上，的取值范围为，对照选项，选项ACD中的值符合题意. 故选：ACD 23．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【详解】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解 故不存在. 24．已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由二次函数对应方程的可求得结果； （2）根据二次函数图象分析可构造不等式组，由不等式组无解可确定不存在满足条件的. 【详解】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意； 其相应方程此时应满足，解得：， 实数的取值范围为. （2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，    由图象可知，此时应该满足，则， 不等式组无解， 不存在实数满足：对任意，恒成立. 考点6：解决实际问题 25．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)答案见解析 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （2）根据题意可知，当时，不等式有解，结合参变量分离法以及基本不等式可求得的取值范围，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元. （2）依题意，当时，有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元. 26．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，； (2)20 (3)每次购买量在吨范围内. 【分析】（1）由题意得到，； （2）表达出一年的总运费与总存储费用之和为，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 【答案】 【分析】由题可得关于的不等式，解一元二次不等式即可得答案. 【详解】由题，商品的年销量为件，又每件售价80元， 则，即， 所以，所以，解得. 1．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系，结合分类讨论即可求解， （2）根据一元二次方程的根，利用判别式即可求解. 【详解】（1）若，则，不满足题意； 若，则必有解； 若，解得， 故的取值范围为或； （2）①若，则，不满足题意； ②由，由知总有实数解， 即，则或， 由于，则或， 综上，或. 2．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）讨论，根据一元二次不等式恒成立及判别式列不等式求参数范围； （2）由一元二次不等式根的个数得或，再应用韦达定理及已知条件求参数范围； （3）根据不等式恒成立，将主元看作并结合一元一次不等式性质列不等式组求参数范围. 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，恒成立，则，解得； 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以， 因为，即，则，解得或， 综上，或. （3）若恒成立， 对恒成立， 则，即为. 3．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三个二次的关系，将不等式问题转化成方程根的问题，借助于韦达定理即可求得； （2）由（1）的结论消去，求出方程的两根，根据的取值范围分类求解不等式即得. 【详解】（1）依题意，方程有两根为和，且， 由韦达定理，解得，故； （2）由（1）已得，故由，可得， 即，因，故有. 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为. 4．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知“”，“”． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出为真命题时，的取值范围，进而可为假命题时的取值范围； （2）先分情况求出为假命题，即为真命题时的取值范围，再结合为真命题时的取值范围，即可得答案. 【详解】（1）为真命题时，得对恒成立， 因为，所以，所以， 则若为假命题，实数的取值范围是. （2）依题意：为真命题， 即方程有正实根，令， ①当，即或时，方程有两个重根， 时，解得不合题意， 时，解得，满足题意； ②当方程有一根为0时，可得，此时方程另一根为，不合题意； ③当方程有一正一负两根时，则，解得； ④当方程有两不同正根时，则需满足 ，解得. 综上，为真命题，即为假命题时，或， 又由（1）知为真命题时，， 所以所求实数的取值范围是或. 5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）答案见解析. 【分析】（1）不等式的解集为，等价于的两根为和，且，根据韦达定理求解； （2）（i）对恒成立对恒成立，由一次函数的性质即可求解； （ii）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意可知的两根为和，且， ∴由根与系数的关系得，解得. （2）. （i）∵对恒成立对恒成立 对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得， 故的取值范围为. （ii）， 当，则，解得； 当，则，解得或； 当，则， 当时，，解，得； 当时，，解，得； 当时，，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为{或}，求，的值． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可知得方程的两根为和，由韦达定理列式求解； （2）不等式可转化为，对分类讨论求解. 【详解】（1）根据题意，，方程的两根为和， ，解得. （2）不等式可转化为，即， 当时，上式变为，解得， 当时，方程的根为或， 当时，，所以原不等式的解集为或， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 7．（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）令，先求出方程的根，然后分、、三种情况讨论不等式解的情况即可； （2）先考虑是否符合题意，再考虑时，二次函数开口向下，与轴有一个或者没有交点，从而得到方程组，解方程组即可. 【详解】令，， 整理有，解得或， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2）当时，解得， 若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意； 当时，由题意得，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】一元二次不等式 1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中 a≠0，a，b，c均为常数）． 3．一元二次不等式的解与解集 ① 使某一个一元二次不等式成立的 x的值，叫做这个一元二次不等式的解； ② 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； ③ 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 【知识点 2】二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数的零点． 2．三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根为 1 2x x、 且 1 2x x ，设 2 4b ac   ，它的解按照 0  ， 0  ， 0  可分三种情况，相应地，二次函数 2y ax bx c   ( 0)a  的图像与 x轴的位置关系也分为三种 情况。因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 2 0ax bx c   ( 0)a  或 2 0ax bx c   ( 0)a  的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1， x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2 ＝－ 没有实数 根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或 x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【知识点 3】一元二次不等式的解法 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ① 0  时，求出两根 1 2x x、 ，且 1 2x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 0  时，求根 1 2 2 bx x a    ； ③ 0  时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2．含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于 0，小于 0，等于 0分类讨论； （2）当二次项系数不等于 0时，再对判别式进行大于 0，小于 0，等于 0的分类讨论； （3）当判别式大于 0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：解一元二次不等式 【例 1】解下列不等式： （1） 22 5 3 0x x   ；（2） 23 4 0x x    ；（3） 22 3 0x x    ；（4） 1 0 2 x x    ；（5） 2 1 1 3 4 x x    暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 【变式 1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： （1） 24 4 1 0x x   （2） 2 6 10 0x x    . 【变式 2】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）求下列方程组的解集和不等式的解集： （1） 1 2 4 3 2 3 1 y x x y        ；（2） 5 2 2x   ；（3） 4 3 5 1 x x    . 【变式 3】解一元二次不等式 （1） 2 2 3 0x x   ； （2） 2 6 0x x   ； （3） 24 4 1 0x x   ；（4） 2 6 9 0x x   ． 考点 2：含参数的一元二次不等式的解法 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 【例 2】解关于 x的不等式： 2 22 2 0x x a a    ． 【变式 1】解关与 x的不等式：    21 2 1 2 0a x a x     【变式 2】解关于 x的不等式：  2 3 3 0x m x m    . 【变式 3】当 1a  时，解关于 x的不等式 ( 1)( 1) 0ax x   . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 考点 3：根据一元二次不等式解求参 【例 3】（2025·陕西渭南·二模）若关于 x的不等式 22 4 2ax x ax   有且只有一个整数解，则实数 a的取值 范围是（ ） A．  1,2 B．[1,2) C．  0,2 D．  0,2 【变式 1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式    21 1 1 0a x a x     的解集为R ，则实数 a的 取值范围为（ ） A． | 3 1a a   B． | 3 1a a   C． | 3 1a a a  或 D． | 3 1a a a  或 【变式 2】关于 x的不等式  2 2 1 4 0x m x m    的解集中恰有 4个正整数，则实数m的取值范围是（ ） A． 5 ,3 2       B． 5 ,3 2     C． 11, 2      D． 1 51, ,3 2 2            【变式 3】若关于 x的一元二次方程 2 1 0kx x   有实数根，则 k的取值范围是（ ） A． 1 4 k  B． 1 4 k  且 0k  C． 1 4 k  且 0k  D． 1 4 k  考点 4：三个“二次”关系的应用 【例 4】 【变式 1】）如图是函数 2y ax bx c   的图象，则不等式 2 0ax bx c   的解集为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - A． 2x x  B． 2x x   C． | 2x x   或 2x  D． 2 2x x   【变式 2】（多选）（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数 2y ax bx c   （a，b，c为常数，且 0a  ） 的部分图象如图所示，则（ ） A． 0a b  B． 0abc  C． 0a b c   D．不等式 2 0bx ax c  > 的解集为 2 1x x   【变式 3】已知二次函数  2 1 1y x a x a     的图象与 x轴交于  1, 0A x ，  2 ,0B x 两点. （1）当 3a  时，求 2 21 2x x 的值； （2）求关于 x的不等式 1 0y   的解集. 考点 5：一元二次不等式恒成立 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 【例 5】（1）不等式 ( 4) (2 1)x x a x   对一切实数 x都成立，则实数 a的范围是 （2）若不等式 2 1 0x ax   对一切 10, 2 x     恒成立，则 a的取值范围是___． （3）若关于 x的不等式 2 2 1 0ax ax   的解集为，则实数 a的取值范围是 （4）若关于 x的不等式 2 4 2 0x x a    在区间(1，4)内有解，则实数 a的取值范围是 【变式 1】若关于 x的不等式 2 4 0x mx   在区间  2,4 上有解，则实数 m的取值范围为（ ） A．  3,  B．  0,  C．  , 0 D．  , 3  【变式 2】（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式 2 3 0ax x b   的解集为 1 2x x  ． （1）求 ,a b的值； （2）若不等式 2 3 0mx mx a   对于 xR均成立，求实数m取值范围． 【变式 3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于 x的不等式  22 1 1x K x   ． （1）是否存在实数 K，使不等式对任意 Rx 恒成立； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - （2）若不等式对于  1,x  恒成立，求K的取值范围； （3）若不等式对于  2, 2K   恒成立，求实数 x的取值范围． 考点 6：解决实际问题 【例 6】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局 (NOAA)最近发布的一则预测引发 全球关注：预计在 2024年6月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆 转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)： 20万元； ②生产所需材料成本： 2 10 20 xx       万元， x (单位：万套)为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量 x为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ （2）若每月生产 x万套产品，每万套售价为： 30 10 x     万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何 制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于 625万元． 【变式 1】如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉 带的宽度相同，均为 x米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则 x的取值 范围为________. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 【变式 2】（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为 0.8元/（ kW h ），年用电量为 kW ha  ， 本年度计划将电价下降到 0.55元/（kW h ）至 0.7元/（kW h ）之间，而用户期望电价为 0.4元/（ kW h ）. 经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 k）.该地区的电力 成本价为 0.3元/（ kW h ）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益 y（单价：元）关于实际电价 x（单位：元/（ kW h ））的函 数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设 0.2k a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？ 【变式 3】（24-25 高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件 24元的商品.经调查发 现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y与销售单价 x之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于 50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润 是多少？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于 1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 模块三 知识检测 考点 1：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式． (1) 2 5 0x x  ； (2) 2 4 4 0x x   ； (3) 2 4 5 0x x    ． 2．解下列不等式： (1) 2 5 6 0x x   ； (2) 2 7 6x x   ； (3)   2 3 0x x   ； (4)    24 2 2 1 4x x x x   ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) 2 5 6 0x x   (2)    02 3x x   (3) 29 6 1 0x x   (4) 2 2 3 0x x    考点 2：含参数的一元二次不等式的解法 4．（24-25高一上·陕西·期中）解关于 x的不等式 2 ( 1) 0x ax a    ； 5．解关于 x的不等式：    2 2 3 0x a a x a a    R ． 6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于 x的不等式  2 1 0x a x a    . (1)当 2a   时，解这个关于 x的不等式； (2)当 aR时，解这个关于 x的不等式. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（1）若不等式   1 1 0x ax a   R， 的解集为{ |1 2}x x  ，求 a的值； （2）求解关于 x的不等式   1 1 0x ax   . 考点 3：根据一元二次不等式解求参 8．若关于 x的不等式 2 26 0ax x a   的解集是  1,m ，则m （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若对任意实数 b，关于 x的方程  2 1 2ax b x x    有两个实根， 则实数 a的取值范围是（ ） A．0 2a  B．0 1a  C． 1 0a   D． 1 1a   且 0a  10．已知不等式 2 3 2 0ax x   的解集为 1x x  或 x b ，则 a  ，b  ． 11．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知不等式 2 2 0x ax b   的解集为 2 3x x   ，则实数 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - ab  ． 12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于 x的不等式 2 0x mx n   的解集为 1 2x x   ，则m n 的值为 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若 2 1y x mx    的函数值有正值，则m的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数 2 ( 8)y ax b x a ab     ，且 0y  的解集为  | 3 2x x   ． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集为R时，求 c的取值范围． 15．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）若关于 x的不等式  2 2 1 2 0x a x a    恰有两个整数解，求实数 a 的取值范围． 考点 4：三个“二次”关系的应用 16．（22-23 高一上·山东聊城·阶段练习）二次函数 2y ax bx c   的图像如图所示，则不等式 2 0ax bx c   的解集为（ ） A． 0x B． C． 0x x x D．R 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - 17．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于 x的一元二次不等式  2 0 , , Rax bx c a b c    的解集 为 2 3x x   ，则（ ） A． 0a  B． 0bc  C． 0a b  D． 0a b c   18．（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式 2 0ax bx c   的解集是  1,2 ，则（ ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B． 0b  且 0c  C． 0a b c   D．不等式 2 0ax cx b   的解集是 R 19．（多选）（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   的解集为  1 2x x x  或 ，则（ ） A． 0a  B． 0c  C． 0a b c   D．3 0a b c   考点:5：一元二次不等式恒成立 20．（多选）若对于 Rx  ，都有 2 2 0x mx m   ，则m的值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．对任意的  0,x  ， 2 2 1 0x mx   恒成立，则m的取值范围为（ ） A． 1, B．  1,1 C．  ,1 D．  ,1 22．（多选）若关于 x的不等式 2 4 2 0ax x   有实数解，则 a的值可能为（ ） A．0 B．3 C．1 D． 2 23．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式  22 1 2x m x   ． (1)若 Rx  ，使不等式恒成立，求m的取值范围； (2)若 1x  ，使不等式能成立，求m的取值范围； (3)是否存在实数 x，使不等式对 1 1m   恒成立．若存在，求出 x取值范围；若不存在，请说明理由． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - 24．已知  2 2 2 4y x a x  . (1)如果对一切 xR， 0y  恒成立，求实数 a的取值范围； (2)是否存在实数 a，使得对任意  3 1x x x    ， 0y  恒成立？若存在，求出 a的取值范围；若不存在， 说明理由. 考点 6：解决实际问题 25．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一 次评估. 该商品原来每件售价为 25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少 2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品 每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和 营销策略改革，并提高定价到 x元. 公司拟投入  21 600 6 x  万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传 费用，投入 5 x 万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量 a至少应达到多少万件时，才可能使 改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 26．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买 x吨，运费为 4万元 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 16 - ／次，一年的总存储费用为 4x万元. (1)写出一年的总运费 y与 x的函数关系式（要求写出 x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过 200万元，则每次购买量在什么范围内？ 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）某工厂生产商品 A，每件售价 80元，每年产销 80万件.工厂为了开发 新产品，经过市场调查，决定将商品 A的年产销量减少10 p万件，同时将商品 A的销售金额的 %p 作为新产 品开发费（即每销售 100元提出 p元）.若新产品开发费不少于 96万元，求实数 p的取值范围.（注：工厂 永不停产，新产品永在开发） 1．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数 2 2 3,y bx bx b    R . (1)若关于 x的不等式 0y  有解，求b的取值范围； (2)求b的取值范围，使得 1y  总有实数解. 2．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数 2 4 3y mx mx   暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 17 - (1)当 0y  恒成立时，求实数m的取值范围； (2)当 0y  时方程有两个实数根 1 2,x x ，且 1 2 2 2 1 23 0x x x x   ，求实数m的取值范围 (3)若   2m 0 1 , 4 3 2 6m m mx mx x m        恒成立，求实数 x的取值范围 3．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集为 ( 1, 2) . (1)求 b c 的值； (2)解关于 x的不等式 2 ( 1) 2 0ax c x    ． 4．（23-24 高一上·广东广州·阶段练习）已知 , :a pR “ 22 4, 0x x a     ”， :q “ 20, 2 2 0x x ax a      ”． (1)若 p为假命题，求实数 a的取值范围； (2)若 p为真命题， q为假命题，求实数 a的取值范围． 5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数  2 12 ,y ax bx a b   R . (1)若不等式 0y  的解集为  3, 1  ，求实数 ,a b的值； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 18 - (2)当 3 4b a  时. （i）对任意的  1,2 , 0x y   恒成立，求实数 a的取值范围； （ii）求不等式 0y  的解集. 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于 x的不等式  2 3 2 0 Rax x a    ． (1)若不等式 2 3 2 0ax x   的解集为{ 1x x  或 x b }，求 a，b的值． (2)求不等式  2 3 2 5 Rax x ax a     的解集． 7．（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于 x的不等式  2 1 2 2 0x a x a    的解集； （2）若关于 x的不等式    2 21 2 1 1 0b x b x     在R上恒成立，求实数b的取值范围． 暑假优学 人教A版 必修第一册 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：解一元二次不等式 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 考点3：根据一元二次不等式解求参、 考点4：三个“二次”关系的应用 考点:5：一元二次不等式恒成立 考点6：解决实际问题 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】一元二次不等式 1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 3．一元二次不等式的解与解集 ① 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； ② 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； ③ 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 【知识点2】二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 2．三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况。因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【知识点3】一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ① 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 时，求根； ③ 时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2．含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：解一元二次不等式 【例1】解下列不等式： （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【变式1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： （1） （2）. 【变式2】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）求下列方程组的解集和不等式的解集： （1）；（2）；（3）. 【变式3】解一元二次不等式 （1）； （2）； （3）；（4）． 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 【例2】解关于的不等式：． 【变式1】解关与x的不等式： 【变式2】解关于的不等式：. 【变式3】当时，解关于的不等式. 考点3：根据一元二次不等式解求参 【例3】（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 考点4：三个“二次”关系的应用 【例4】 【变式1】）如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【变式3】已知二次函数的图象与x轴交于，两点. （1）当时，求的值； （2）求关于x的不等式的解集. 考点5：一元二次不等式恒成立 【例5】（1）不等式对一切实数都成立，则实数a的范围是 （2）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___． （3）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 （4）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是 【变式1】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）若不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 考点6：解决实际问题 【例6】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． （1）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ （2）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【变式1】如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________. 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 模块三 知识检测 考点1：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 考点2：含参数的一元二次不等式的解法 4．（24-25高一上·陕西·期中）解关于的不等式； 5．解关于的不等式：． 6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（1）若不等式的解集为，求a的值； （2）求解关于的不等式. 考点3：根据一元二次不等式解求参 8．若关于的不等式的解集是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 10．已知不等式的解集为或，则 ， ． 11．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知不等式的解集为，则实数 ． 12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 15．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 考点4：三个“二次”关系的应用 16．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 19．（多选）（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 考点:5：一元二次不等式恒成立 20．（多选）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）若关于的不等式有实数解，则的值可能为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 23．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 24．已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 考点6：解决实际问题 25．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 26．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 1．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 2．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 3．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式． 4．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知“”，“”． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为{或}，求，的值． (2)求不等式的解集． 7．（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$