第13讲 幂函数-【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第13讲 幂函数 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：幂函数的认识 考点2：幂函数的定义域、值域 考点3：幂函数的图象 考点4：根据幂函数的性质求参 考点5：幂函数过定点问题 考点6：根据幂函数解不等式 考点7：根据幂函数比较大小 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】幂函数的概念 1．幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征：① xα的系数是1；② xα的底数x是自变量；③ xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【知识点2】幂函数的图象与性质 1．五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如图所示． 2．五个常见的幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3．一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【知识点3】作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分．幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表． 第二步：求幂函数的定义域．幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象． 【知识点4】利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：幂函数的认识 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 故选：B. 【例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设，则即， 故选：B． 【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数是幂函数求参数，再求函数值即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 【变式3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【分析】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【详解】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 考点2：幂函数的定义域、值域 【例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 【变式2】（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可. 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 考点3：幂函数的图象 【例4】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【答案】A 【详解】可在直线的右侧作一条垂直于x轴的直线，如．观察直线与各图象的交点，交点越高，其幂函数的n值越大． 【变式1】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【变式2】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案. 【详解】的定义域为R，又， 故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确. 故选：C 【变式3】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 考点4：根据幂函数的性质求参 【例5】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 【变式1】（多选）（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据幂函数得，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各项正误. 【详解】对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误； 故选：AB 【变式2】（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论. 【详解】解：幂函数在上单调递减， ，且，求得， 故答案为： 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 考点5：幂函数过定点问题 【例6】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【变式1】函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式2】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 【变式3】幂函数的图像恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的知识求得正确答案. 【详解】幂函数的图像恒过定点. 故答案为： 考点6：根据幂函数解不等式 【例7】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，利用函数单调性即可解不等式. 【详解】为幂函数，可设， 由于函数的图象过点，故，所以，即， 所以函数在R上单调递增， 由可得，解得，即的取值范围为. 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是． 【变式3】已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【详解】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或． 考点7：根据幂函数比较大小 【例8】24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 【变式1】（2025高二上·北京·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 模块三 知识检测 考点1：幂函数的认识 2．（多选）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（   ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点 【答案】CD 【详解】幂函数在和上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当时，函数是幂函数，故B错误；是偶函数，故C正确；当时，函数为，当时，只有唯一解，故D正确． 2．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可； 【详解】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可得答案. 【详解】利用幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，故只有为幂函数. 故选：A. 4．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数定义判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得. 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 考点2：幂函数的定义域、值域 6．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果. 【详解】，，解得：， 的定义域为. 故答案为：. 8．函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 考点3：幂函数的图象 9．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 10．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. 考点4：根据幂函数的性质求参 11．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 12．若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【答案】D 【详解】由幂函数的定义知，解得或． 13．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断. 【详解】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 15．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为为幂函数，且在定义域内单调递增， 所以，解得. 故选：C 考点5：幂函数过定点问题 16．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 17．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 18．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可；B选项，根据幂函数的性质判断；C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断. 【详解】由题意可设幂函数，的图象经过点， 则，解得，故，在上为减函数，故A正确； 的值域为，故B错误； ，则，解得，故C错误； ，定义域为，故为偶函数，故D正确． 故选：AD． 19．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 考点6：根据幂函数解不等式 20．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 21．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】待定系数法求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性求解. 【详解】设，则，解得， 所以，定义域为，且在定义域上单调递减， 故，解得. 故答案为：. 22．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 23．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性列不等式来求得正确答案. 【详解】由于函数在上单调递增， ∴，解得． 故答案为： 24．已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则函数是偶函数， 所以. 由得， 则，则， 即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为：． 考点7：根据幂函数比较大小 25．（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质判断即可. 【详解】因为， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B 26．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 27．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 28．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数在上的单调性比较. 【详解】∵，，，， ， 又，，，， ， 故选：B. 1．（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案. 【详解】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为， 是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误； 是幂函数，选项B正确； 是幂函数，选项C正确； 不是幂函数，选项错误； 故选：BC. 2．（多选）（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）关于幂函数是常数），结论正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过原点 B．幂函数图象都经过点 C．幂函数图象有可能关于轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的性质逐一判断. 【详解】对于A：幂函数不经过原点，A错误 对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确； 对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确； 对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据函数所过点可得解析式，代入即可求得结果. 【详解】，，，. 故答案为：. 5．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【答案】1 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于参数m的不等式和方程即可求解. 【详解】因为幂函数y=在上是减函数， 所以，所以，因为，所以或2， 又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以. 故答案为：1 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 8．（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 9．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 10．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 11．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第13讲 幂函数 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：幂函数的认识 考点2：幂函数的定义域、值域 考点3：幂函数的图象 考点4：根据幂函数的性质求参 考点5：幂函数过定点问题 考点6：根据幂函数解不等式 考点7：根据幂函数比较大小 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】幂函数的概念 1．幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征：① xα的系数是1；② xα的底数x是自变量；③ xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【知识点2】幂函数的图象与性质 1．五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如图所示． 2．五个常见的幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3．一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【知识点3】作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分．幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表． 第二步：求幂函数的定义域．幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象． 【知识点4】利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：幂函数的认识 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 考点2：幂函数的定义域、值域 【例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【变式2】（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 考点3：幂函数的图象 【例4】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【变式1】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 考点4：根据幂函数的性质求参 【例5】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【变式1】（多选）（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【变式2】（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 . 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 考点5：幂函数过定点问题 【例6】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【变式1】函数的图象过定点 ． 【变式2】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【变式3】幂函数的图像恒过定点 ． 考点6：根据幂函数解不等式 【例7】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 【变式3】已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 考点7：根据幂函数比较大小 【例8】24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二上·北京·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 模块三 知识检测 考点1：幂函数的认识 2．（多选）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（   ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与轴有且只有一个交点 2．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 考点2：幂函数的定义域、值域 6．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 8．函数的值域为 . 考点3：幂函数的图象 9．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   10．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 考点4：根据幂函数的性质求参 11．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 12．若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 13．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 15．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 考点5：幂函数过定点问题 16．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 18．（多选）（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 19．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 考点6：根据幂函数解不等式 20．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 22．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 23．若，则实数的取值范围是 ． 24．已知函数，则的解集为 ． 考点7：根据幂函数比较大小 25．（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 3．（多选）（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）关于幂函数是常数），结论正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过原点 B．幂函数图象都经过点 C．幂函数图象有可能关于轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 4．（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 5．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 8．（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 9．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 10．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】幂函数的概念 1．幂函数的定义：一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征：① xα的系数是 1；② xα的底数 x是自变量；③ xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【知识点 2】幂函数的图象与性质 1．五个具体幂函数的图象 当 11,2,3 1 2   ，， 时，可得到五个幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1， 1 2y x ，在同一直角坐标系中，通过 秒点发得到五个幂函数的图象，如图所示． 2．五个常见的幂函数的性质 函数 y x 2y x= 3y x 1 2y x 1y x 定义域 R R R [0, ) ( ,0) (0, )  值域 R [0, ) R [0, ) ( ,0) (0, )  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在 (0, ) 上递增，在 ( ,0] 上递减 增函数 增函数 在 ( ,0) 和 (0, ) 上递 减 过定点 点 (1,1) 3．一般幂函数的性质 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当 x从右边趋向于原点时， 图象在 y轴右方无限接近 y轴，当 x从原点趋向于＋∞时，图象在 x轴上方无限接近 x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近 y轴． 【知识点 3】作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分．幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当 0  时，以 1y x 为代表，； （2）当0 1  时，以 1 2y x 为代表； （3）当 1  时，以 2y x= 为代表． 第二步：求幂函数的定义域．幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在 y轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出 y轴左侧的图象． 【知识点 4】利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调 性、奇偶性等综合命题．解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：幂函数的认识 【例 1】下列函数中，属于幂函数的是（ ） A． 2(2 )y x B． y x C． 1y x   D． 2xy  【例 2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数 ( )y f x 的图象经过点 (4, 2)，则 (3)f 的值为（ ） A． 1 3 B． 3 C．3 D．9 【变式 1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - A． 3y x B． 2 2y x  C．  21y x  D． y x 【变式 2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数     2 11 kf x k x   是幂函数.则  2f （ ） A． 1 3 B．2 C． 12 D．1 【变式 3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数    2 1 mf x m m x   的图象与坐标轴无公共点，则m  （ ） A．－2 B．1 C．－2或 1 D．－1或 2 考点 2：幂函数的定义域、值域 【例 3】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数 1 2( )f x x 的定义域是（ ） A． 0x  B．[0, ) C． 0x  D． (0, ) 【变式 1】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数 ( )f x 的图像经过点 1(3, ) 9 ，则（ ） A． ( )f x 的定义域为R B． ( )f x 为奇函数 C． ( )f x 为减函数 D． ( )f x 的值域为 (0, ) 【变式 2】（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）已知幂函数  f x 的图象经过点 13, 9       ，则下列说法正 确的是（ ） A．  f x 的定义域为R B．  f x 的值域为  0,  C．  f x 为偶函数 D．  f x 是其定义域上的减函数 【变式 3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数   1 22y x  的定义域为 ． 考点 3：幂函数的图象 【例 4】如图所示的曲线是幂函数 ny x 在第一象限的图象，已知 n取 12, 2   四个值，则相对应的曲线 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 1 2 3 4, , ,C C C C 的 n值依次为（ ） A．2， 1 1, , 2 2 2   B． 1 1, , 2 2 2   ，2 C． 1 1, , 2 2 2   ，2 D． 1 12, , 2 2   ，2 【变式 1】若幂函数 1, my x y x  与 ny x 在第一象限内的图象如图所示，则m与 n的取值情况为（ ） A． 1 0 1m n     B． 11 0 2 n m     C． 11 0 2 m n     D． 1 0 1n m     【变式 2】函数   1 2| |f x x 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式 3】幂函数 2y x= ， 1y x ， 1 3y x ， 1 2y x   在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - A． 1C ， 2C ， 3C ， 4C B． 1C ， 4C ， 3C ， 2C C． 3C ， 2C ， 1C ， 4C D． 1C ， 4C ， 2C ， 3C 考点 4：根据幂函数的性质求参 【例 5】（24-25 高一上·安徽合肥·期末）若幂函数     22 13 3 m mf x m m x     ，且在  0,x  上是增函数， 则实数m  ． 【变式 1】（多选）（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数   12 3 mf x m x      ，则（ ） A． 2 3 m  B．  f x 的定义域为R C．  f x 为非奇非偶函数 D．不等式    2 1f x f x  的解集为  1, 【变式 2】（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知幂函数    2 12 2 mf x m m x    在  0, 上单调递减， 则实数 m的值为 . 【变式 3】（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数  2 15 my m m x    在  0,  上严格增，则实数m  考点 5：幂函数过定点问题 【例 6】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数   (3 2) 2af x x   的图象恒过点 . 【变式 1】函数  2y x   为常数 的图象过定点 ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 【变式 2】已知 ( ) (2 1) 1nf x x   ，则函数 ( )y f x 的图象恒过的定点 P的坐标为 ． 【变式 3】幂函数 ( ) Ry x  的图像恒过定点 ． 考点 6：根据幂函数解不等式 【例 7】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数  f x 的图象过点  2,8 ，若    2 3 3f a f  ，则 a的 取值范围为（ ） A．  2, B．  1, C．  1,  D．  0,  【变式 1】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数    2 1 af x a a x   是偶函数，则不等式    1 2 1f x f x   的解集为 ． 【变式 2】已知幂函数  2 2 3 *m my x m   N 的图象关于 y轴对称，且在 [0, ) 上单调递增，则满足 (2 1) (1 )m ma a    的 a的取值范围是 ． 【变式 3】已知幂函数 24( ) ( )m mf x x m Z 的图象关于 y轴对称，且 (2) (3)f f ，则m  ；若 ( 2) (1 2 )f a f a   ，则实数 a的取值范围是 ． 考点 7：根据幂函数比较大小 【例 8】24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设 3.31 7y  ， 2.2 2 9y  ， 1.1 3 125y  ，则（ ） A． 2 3 1y y y  B． 3 1 2y y y  C． 1 3 2y y y  D． 3 2 1y y y  【变式 1】（2025高二上·北京·学业考试）已知 31 2 a       ， 31 3 b       ， 32c  ，则（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - A．b a c  B．b c a  C． c a b  D． c b a  【变式 2】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知 1 1 1 1 2 3 3 21 1 1 1, , , 2 3 2 3 a b c d                          ，则（ ） A． a b c d   B． c a b d   C． a c b d   D． c a d b   【变式 3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知 0.22a  ， 0.20.4b  ， 0.10.15c  ，则 a，b，c的大小关 系是（ ） A． a b c  B． a c b  C． c a b  D．b c a  模块三 知识检测 考点 1：幂函数的认识 2．（多选）下列关于幂函数 ay x 的性质，描述正确的有（ ） A．当 1a   时，函数在其定义域上为减函数 B．当 0a  时，函数 ay x 不是幂函数 C．当 2a  时，函数是偶函数 D．当 3a  时，函数与 x轴有且只有一个交点 2．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A．y=2x B． 2y x= C． 1 3y x   D． 0y x 3．（2024高三·全国·专题练习）下列函数为幂函数的是（ ） A． 2y x= B． 2y x  C． 2y x D． 1y x x   4．下列函数是幂函数的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - A．  21y x  B． 1y x x   C． 4y x D． 5xy  5．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在 (0, ) 上是减函数的是（ ） A． 2y x= B． 1 3y x C． 12y x D． 2 3y x   考点 2：幂函数的定义域、值域 6．（23-24高三上·上海静安·期中）函数   3 43 2y x   的定义域为 . 7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数   1 21y x  的定义域是 ． 8．函数 2 3 , 1 0y x x    的值域为 . 考点 3：幂函数的图象 9．已知函数   2 1 2 , 0, , 0, x x f x x x      则  y f x  的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．函数   2 2 1f x ax x   与   ag x x 在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ） A． B． C． D． 考点 4：根据幂函数的性质求参 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 11．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知幂函数    2 12 2 mf x m m x    的定义域为 R，则m的值为（ ）． A． 1 B．3 C． 1 或 3 D．2 12．若函数     22 2 31 m mf x m m x     是幂函数，则实数m的值是（ ） A．1或 2 B． 1 C．2 D． 1 或 2 13．（2025·湖南·一模）已知幂函数    2 22 2 mf x m m x    在  0,  上单调递增，则 m的值为（ ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数   22 2 2m mf x m x   是幂函数，且在  0,  上递增，则实数m  （ ） A．2 B． 1 C．1 D．1或 1 15．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数   1 2 3( ) 2 a f x a a x    在定义域内单调递增，则 a （ ） A． 1 B． 1 4 C． 1 2 D．2 考点 5：幂函数过定点问题 16．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数  f x 的图象过点  2, 2P ，则  9f （ ） A．3 B．9 C．81 D．512 17．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数  y f x 的图象过点  9,3 ，则  4f （ ） A．2 B．8 C． 2 D．16 18．（多选）（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数  f x 的图象经过点 12, 8       ，则下列判断正确 的有（ ） A．  f x 在区间  0,  上为减函数 B．  f x 的值域为 R C．方程   27f x  的实数根为 3x   D．  f x 为偶函数 19．不论实数 a取何值，函数  1 2ay x   恒过的定点坐标是 ． 考点 6：根据幂函数解不等式 20．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数  f x 的图象过点 12, 2       ，若  3 2 1f m  ，则实数 m的取值范 围为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - A．  ,1 B． 31, 2       C．   3,1 1, 2        D．   3,1 , 2         21．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数  f x 为幂函数，且   14 2 f ，若    22f a f a  ，则实数 a 的取值范围是 . 22．（24-25 高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数 ( )f x 的图象经过点 (16, 4)，则不等式  2 2 2f x x   的解 集为 ． 23．若    3 31 3 2m m   ，则实数m的取值范围是 ． 24．已知函数   2 5f x x ，则    3 4 2f x f x  的解集为 ． 考点 7：根据幂函数比较大小 25．（24-25高一上·浙江·期中）已知 1 32, 7 , 5a b c   ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） A． a b c  B．b a c  C．b c a  D． c a b  26．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（ ） A． 0.7 0.77 6 6 7            B． 1 12 3 3 5                C．     3 3 7 72.1 2.2    D． 4 4 3 31 1 2 3             27．（24-25高一上·河南开封·期中）已知 3.11 2 a       ， 1 23.1b  ， 3.11 3 c       ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A． c a b  B．a c b  C． c b a  D． a b c  28．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知 1 21 2 a       ， 1 31 3 b       ， 1 31 2 c       ， 1 21 3 d       ，则（ ） A． a b c d   B． c a b d   C．a c b d   D． c a d b   1．（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ） A． 5y x B． 5y x 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - C． y x D． 3( 1)y x  2．（多选）（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数  2 2( ) 4 4 af x a a x    ，则下列说法正确的有 （ ） A． 1a  或 3 B． ( )f x 一定为奇函数 C． ( )f x 一定为减函数 D． ( )f x 必过点 (1,1) 3．（多选）（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）关于幂函数 ( ,y x R    是常数），结论正确的是（ ） A．幂函数的图象都经过原点  0,0 B．幂函数图象都经过点  1,1 C．幂函数图象有可能关于 y轴对称 D．幂函数图象不可能经过第四象限 4．（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知幂函数  f x x 的图象经过点 12, 4       ，则  3f  ． 5．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数  3 9 Nmy x m   的图象关于 y轴对称，且在  0,  上 是减函数.m的值为 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知幂函数  y f x 的图像经过点 116, 2       . (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若    1 4 2f a f a   ，求实数 a的取值范围. 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数    23 2 mf x m m x  的定义域不为R . (1)求  f x 的解析式； (2)若不等式    1 2 3 0f a f a    恒成立，求 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 8．（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数   2mf x x  ，且    4 15 2 16f f  ． (1)求  f x 的解析式； (2)求函数     22 4 3g x f x x   在 1, 2 上的值域． 9．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知幂函数     2 3 1 2 2 23 3 m m f x m m x      为奇函数. (1)求函数  f x 的解析式； (2)若    1 3 2f a f a   ，求 a的取值范围. 10．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数     24 2 Z m m f x x m    在  0,  上单调递增，且  f x 的图 象关于 y轴对称. (1)求m的值及函数  f x 的解析式； (2)若    2 1 2f a f a   ，求实数 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 11．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数 2 )( ) (3 2 ) (mf x m m x m   R 在定义域上不单调． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)函数 ( )f x 是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若 ( 1) (2 3) 0f a f a    ，求实数 a的取值范围．