北京市平谷区2024--2025学年下学期八年级期末数学试卷

第1页/共9页 2025北京平谷初二（下）期末 数 学 2025.7 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。 2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。 3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；在答题卡上，选择 题和画图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 4. 考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 星形线 三叶玫瑰线 阿基米德螺线 笛卡尔叶形线 2．若正多边形的一个外角是 72，则这个正多边形是（ ） A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 3．关于 x 的一元二次方程(𝑎 − 2)𝑥2+x+𝑎2-4=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A. 2 B. -2 C.±2 D. 0 4. 一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①AB=AD ②AC=BD ③AC⊥BD ④∠DAB=90º中，选择其中一个条件填入（ ）中，补全关系图，其中所 有正确选项的序号是（ ） A.①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 5．如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx-2(k>0)的图象不可能经过的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 第2页/共9页 6．已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为 BC 上的一点（不与点 B，C 重合），连接 AE. 求作：点 F，使得点 F 在 AD 上，且 AE∥CF. 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点 C 为圆心，AE 的长为半径画弧，交 AD 于点 F，连接 CF； 乙：以点 D 为圆心，BE 的长为半径画弧，交 AD 于点 F，连接 CF； 丙：以点 A 为圆心，CE 的长为半径画弧，交 AD 于点 F，连接 CF. 上述三名同学的作法一定正确的是 A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 7．有 7 个互不相等的数组成了一组数据，其平均数 a 与这 7 个数都不相等，把 a 和这 7 个数组成一组新的 数据，下列结论正确的是（ ） A.新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C.这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 8．AC 为平行四边形 ABCD 的对角线，∠CAE=45º,AE⊥BC 于点 E,CF⊥AB 于点 F,AE，CF 交于点 H,连接 BH 和 DH,射线 CF 交线段 DA的延长线于点 G. ① ∠ABE=∠CHE；②CH=CD; ③BE= 1 2 CE; ④𝐵𝐻2 + 𝐴𝐶2 = 𝐷𝐻2 上述结论正确的有（ ） A.① ② B. ① ④ C. ① ② ④ D. ① ② ③ ④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．函数 2 1 y x = − 的自变量 x 的取值范围是_____________. 10. 若函数 y=(2k-6)x+1 是关于 x 的一次函数，y 随 x 增大而增大，则 k 的取值范围是_____________． 11．若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+c＝0 无实数根，则 c 的取值范围是 ． 12．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD相交于点O ，OE⊥CD 于点 E，AC=13,CD=5, H E A F G CB D D B C A E 第3页/共9页 则 OE=________． 13． 把方程𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0化成（𝑥 − 𝑚） 2 = 𝑛的形式，则𝑚 + 𝑛 = _________________. 14. 如图，点 A，B，E 在同一条直线上，正方形 ABCD，正方形 BEFG 的边长分别为 6，2，M 为 DF 的中 点，则 BM 的长为___________. 14 题图 15 题图 15. 有一块长 25cm、宽 15 cm 的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正 方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为 231cm2的无盖的盒子，设截去小正方形的 边长为 x cm，则可列方程为___________________. 16. 关于函数𝑦1 = −2𝑥 + 1和函数𝑦2 = 𝑥 + 𝑚(m<0),有以下结论： ①当−1 < 𝑥 < 0时，𝑦1的取值范围是1 < 𝑦1 < 3; ②函数𝑦2 = 𝑥 + 𝑚(m<0)上的两点 M（𝑥1, 𝑦1），N（𝑥2, 𝑦2），若𝑥1 < 𝑥2,则𝑦1 > 𝑦2； ③函数𝑦1的图象和函数𝑦2的图象的交点在第四象限； ④若点（a,-3）在函数𝑦1的图象上，点（b，2）在函数𝑦2的图象上，则 a<b. 其中所有正确的结论的序号是_______________. 三、解答题（本题共 68 分，第 17 题 10 分，第 18-25 题，每题 5 分，第 26-28 题每小题 6 分）解答应写出 文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解方程： （1）2𝑥2 = 3𝑥 （2）𝑥2 − 6𝑥 − 16 = 0 18. 在平面直角坐标系中，一次函数 )0( += kbkxy 的图象经过点 A（-1，0）和点 B（1，4）. （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点 C 为 x 轴上一点，且△ABC 的面积为 6，求点 C 的坐标. 第4页/共9页 19． 如图，□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，DF⊥BC，交 BC 的延长线于点 F， 求证：四边形 AEFD 为矩形. 20. 已知：如图，在△ABD 中，AB=AD. 求作：以 AB 为边作菱形 ABCD. 作法： ①以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AD 于点 M，N; 分别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧在BAD 的内部相交于点 P，作射线 AP 与 BD 交于点 O； ② 以点 O 为圆心，AO 的长为半径画弧,交射线 AP 于点 C; ③ 连接 DC，BC. 四边形 ABCD 为所求的菱形. (1) 根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2) 完成以下证明。 证明：∵AB=AD ，AP 平分∠BAD， ∴BO=____________, AP⊥BD E F D B C A 第5页/共9页 又∵AO=CO ， ∴四边形 ABCD 为平行四边形（________________________）（填推理的依据） 又∵AP⊥BD ∴平行四边形 ABCD 是菱形.(_________________________) .（填推理的依据） (2)若 AB=5,BD=6,则菱形 ABCD 的面积为______________. 21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为正数，求实数 k 的取值范围． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y＝kx（k≠0）的图象向上平移 2 个单位得到的直线 y＝kx+b（k≠ 0），直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（1，5）． （1）求 k 与 b 的值； （2）当 x>1 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mx-1（m≠0）的值既大于 0，又小于一次函数 y＝kx+b（k≠ 0）的值，直接写出 m 的取值范围． 23. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，延长 AB 到点 F，使𝐵𝐹 = 1 2 𝐵𝐶,连接 EF. (1)求证：四边形 0BFE 是平行四边形； (2)若 BD＝12,AB＝10，求平行四边形 0BFE 的面积． 第6页/共9页 24. 平谷区某家具城每月付给销售人员的工资有如下两种方案. 方案一:没有底薪,只付销售提成; 方案二:底薪加销售提成. 如图,射线𝑙1、射线𝑙2分别表示该家具城每月按方案一、方案二付给销售人员的工资𝑦1(单位:元)和𝑦2(单位: 元)与销售人员当月家具销售总价(单位:万元)(x≥0)的函数关系. (1)直接写出方案二中的底薪是_____________元； (2)求 y₂与 x 的函数解析式； (3)若该公司某销售人员今年 5 月的家具销售总价没有超过 10 万元,但其 5 月的工资超过了 5000 元，请你判 断该公司采用了哪种工资方案付给这名销售人员的 5 月工资,并说明你的理由. 25. 2025 年 2 月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求 中小学每天综合体育活动时间不低于 2 小时．某校从初二年级随机抽取 50 名学生，记录这 50 名学生某日 校外体育活动时长(单位：分钟)．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．50 名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下(数据分成 5 组：45≤x<50，50≤x<55，55≤ x<60，60≤x<65，65≤x<70)： 3800 3000 销售总价x/万元12108642 工资y/元 5600 4800 4000 3200 2400 1600 800 0 第7页/共9页 b．50 名学生校外体育活动时长在 55≤x<60 这一组的是： 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 58 58 59 59 59 c．50 名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 56.2 m n (1)根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②m 的值为________，n 的值为________． (2)甲、乙、丙三名学生参加为期 5 天的专项、训练，每日活动时长记录如下(单位：分钟)： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 59 丙 60 60 60 59 p 对每一名学生计算 5 天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同， 则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ________，表中 p(p 为整数)的值为________． 26. 某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数y = 2√(𝑥 − 1)2-3 的图象和性质进行了探究，探究过 程如下，请补充完整： （1）列表： x ..． -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ..． y ..． 7 m 3 1 -1 -3 -1 1 3 5 ..． 表格中：m＝ ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； 第8页/共9页 （3）观察图象： ①y = 2√(𝑥 − 1)2-3 的图象关于 对称； ②直线 y=n 与 y = 2√(𝑥 − 1)2-3 的图象有两个交点，n 的取值范围是 ； ③当-1＜x＜4 时，y 的取值范围______________________. （4）进一步研究：若点 M（x1，y1），N（x2，y2）是函数𝑦 = 2√(𝑥 − 𝑡)2 − 3图象上任意两点，若对于 1 ＜x1＜2，2＜x2＜3，都有 y1＜y2，则 t 的取值范围是 ． 27. 在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点(不与点 A、B 重合)，将线段 CB 沿直线 CE 翻折，得到线段 CF.连接 DF 并延长，与线段 CE 的延长线相交于点 G，连接 AG. (1)依题意补全图形; (2)求∠CGF 的度数; (3)用等式表示线段 AG 与 DF 的数量关系,并证明. 28. 对于实数 d>0 和平面直角坐标系 xOy 中的两点 M(𝑥1, 𝑦1)和 N(𝑥2, 𝑦2)给出如下定义:如果 |𝑥1- 𝑥2|>d 或者|𝑦1-𝑦2|>d，则称点 M和点 N是 d阶遥远点.如果图形 1G 上任意点 M和图形 2G 上任意 点 N 都是 d 阶遥远点，则称图形 1G 和图形 2G 是 d 阶遥远图形. 已知点 A(4,0)，B(0,4),C(-4,0),D(0,-4), DA B C E 第9页/共9页 (1) 下列各点中，点 A 的√3阶遥远点是________; 1P (1,0), 2P (3,1), 3P (4,√3), 4P (5,-2). (2) 如果直线 l:y = kx+6(k≠0)与四边形 ABCD 是 1 阶遥远图形，求 k 的取值范围. (3) 已知点 E(t, 0)，F(t+1,0)，以 EF为直角边，点 E为直角顶点作等腰直角△EFG，若等腰直角 △EFG 与四边形 ABCD 为√2阶遥远图形，直接写出实数 t 的取值范围.