24.1.2 垂直于弦的直径 （课件）-　-2025—2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 温故知新 圆的对称性 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 垂直于弦的直径 A B C D o M 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 几何语言： ∵CD⊥AB，CD是 ⊙O的直径 ∴AM=BM， 垂 径 定 理 理解定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 一条直线若满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 条件 结论 推出 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 垂直于弦的直径 A B C D o M 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧 几何语言： ∵CD⊥AB，CD是 ⊙O的直径 ∴AM=BM， 垂 径 定 理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 推论 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心直线或线段 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 两 三 归纳小结 例题讲解 例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 例题讲解 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形． 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C、D. 求证：AC＝BD. 例题讲解 思路：过点O作OE⊥AB于点E. 根据垂径定理. E 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 例题讲解 方法提炼 涉及解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 2.扇形形中重要数量关系 1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 已知⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD, AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 拓展提升 分析：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)； 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2). ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 拓展延伸 垂径定理： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论： 拓展： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ？ $$