精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

2025年下学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解. 【详解】展开式中第4项的二项式系数为. 故选：C. 2. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答. 【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴， A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上， 由椭圆定义得， 所以的周长 故选：C 3. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，且可以无限接近于0，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 4. 命题：“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. 以上结论都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】改量词，否结论即可. 【详解】“，，使得”的否定是 “，，使得”， 故选：B 5. 在等比数列中，其前n项和为若数列也是等比数列，则等于　　 A. B. 3n C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得数列的公比，然后求解其前n项和即可. 【详解】设等比数列的公比为q， 由数列也是等比数列， ， ， 化为， 解得． ． 故选B． 【点睛】本题主要考查等比数列及其应用，等比数列前n项和公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知函数，若对任意，有， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，可得x=1是的极小值点，即，可得a，b的关系，对与的作差，可得，构造，即可求得的极大值，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得， 因为，所以在x=1处取得最小值，即为x=1是的极小值点， 所以，即， 所以， 令，则， 令，解得， 当时，，所以为增函数， 当时，，所以为减函数， 所以， 所以，即. 故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造并求极大值，属中档题. 7. 设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ） A. 当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚 B. 如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C. 如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，分析可判断BC选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A选项；根据二项分布的期望公式可判断D选项. 【详解】因为，，， 由，得， 解得， 若为正整数，则或时，取最大值，故B错误； 若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大. 根据二项分布的图象性质可得，当时是对称的，当时向左偏倚，当时向右偏倚，故A错误； 而，故D错误. 故选：C. 8. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两边取对数，得到，结合函数单调性得到，进而化简，求导求出最小值. 【详解】由题意得：，两边取对数，，即，所以，因为，所以，其中恒成立，所以单调递增，且时，，时，，故，，即，所以，令，，，当时，，当时，，所以在处取得最小值， 故选：D 【点睛】利用同构思想得到参数的关系，是一种很重要的思想，特别是一个式子中同时出现指数式和对数式. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A的正误；利用回归直线的性质判断B，相关系数判断C，独立检验判断D． 【详解】将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，A正确； 设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以B不正确； 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以C 不正确； 在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以D正确； 故选：AD． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及相关系数，回归直线方程以及方差的性质独立检验思想的应用，是基础题． 10. 下列命题错误的是：（ ） A. 两平行直线与之间的距离是 B. 若点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是或 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若，则直线被圆所截得的弦长为1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两平行直线间的距离公式、斜率公式、直线与圆的位置关系、弦长公式运算即可得解. 【详解】对于选项A，直线即为， 由平行直线距离公式得两直线间距离为，故A正确； 对于选项B，如上图，直线l过点且与线段相交， ∵，， ∴l的斜率k的取值范围是，故B错误； 对于选项C，∵点在圆外， ∴，则. 又∵圆的圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相交，故C错误； 对于选项D，由题意，圆的半径，圆心为， 圆心到直线的距离为， ∵，∴，则， ∴， ∴直线被圆所截得的弦长为，故D正确； 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设函数判断A选项,结合判断B,C,D选项. 【详解】,,B选项正确; ,C选项正确; ,,D选项正确; 定义在上的函数满足：对，都有， 设, ,A选项错误. 故选:BCD. 12. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理即可判断A，由棱锥的体积公式代入计算，即可判断B，由面面平行的性质定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D 【详解】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 数列满足，则的最大值为_____. 【答案】26 【解析】 【分析】由题可知当时，为递增数列，可求出其最大值，当时，为递减数列，也可求出其最大值，从而可求出的最大值 【详解】当且时，由通项公式可知，数列递增，此时最大值为； 当且时，由通项公式可知，数列递减，最大值为. 综上可知，当时，最大值为26. 故答案为：26 【点睛】此题考查由数列的通项公式求数列的最大项，考查数列的单调性，属于基础题. 14. 已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】先表示出函数的表达式，结合函数的单调性通过讨论的范围，从而得到答案． 【详解】依题意可知，，解得：， 又，所以或1，则， 所以：． ， 当时，在单调递减成立； 当时，开口向下，对称轴右侧单调递减， 所以，解得； 综上所述，， 故答案为：． 15. 已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为______元/件.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价. 【详解】设销售价为x，可获得的利润为y， 则， 求导得， 令，解得， 由知，， 又，， 所以当时，，函数单增； 当时，，函数单减； 因此是函数的极大值点，也是最大值点； 故当销售价为元/件时，可获得最大利润. 故答案为： 16. 定义，那么以下说法正确的有（填序号）______． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边的三角形是直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推公式得出数列的项判断A，D，判断奇偶判断B，裂项相消判断C. 【详解】A：计算可得：，，，．所以A错误 B：注意到显然都是整数，从而必然是偶数，从而必然是奇数，B正确 C：首先可以注意到，从而， 从而， 从而，所以， 所以， 所以 ，C正确． D：，，从而命题D成立. 故答案为：BCD． 四、解答题（共70分） 17. 如图，和所在平面垂直，且，，求： （1）直线与平面所成角的大小； （2）平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于，连接，证得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可求出结果； （2）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 过点作交的延长线于，连接， 因为，，所以， 因此， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以,， 因此两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，则， 由于平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为线面角的范围是，所以， 因此直线与平面所成的角为； 【小问2详解】 ，则, 设平面的法向量为， 所以， 令,可得，则， 则， 故平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 已知直线被圆截得的弦长为． （1）求圆C的方程； （2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 【答案】（1）； （2）相交. 【解析】 【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据直线方程的特征求出直线l所过的定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可. 【小问1详解】 由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为． ∵圆心C到直线的距离为， 直线被圆C截得的弦长为， ∴，解得或1． ∵，∴， 故圆C的方程为； 【小问2详解】 ∵l的方程可化为， ∴ 解得即l恒过定点． ∵圆心为， ∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交． 19. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. （1）求； （2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果. 【小问1详解】 ,,, 【小问2详解】 ， . 该球是甲工厂生产的概率为. 20. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程； （2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围. 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得出切线方程. （2）由已知得出对恒成立，所以，令，借助导数求得出结果. 【小问1详解】 由题可知，则，解得. 切点为，切线为 【小问2详解】 ∵在上是减函数， ∴对恒成立，所以， 令，则，由得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故只需 故a的取值范围. 21. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. （1）求次传球后球在甲手中的概率； （2）求次传球后球在乙手中的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次传球后（即从第1次传球到第次传球后）球在甲手中的次数为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（1）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【小问1详解】 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，， 必有,即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【小问2详解】 记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球在乙手中， 那么第次传球后，球一定不在乙手中，即事件一定不发生， 则有，， 必有,即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且， 所以，， 由（1）得， 则. 22. 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. （1）若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； （2）若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）若，且，求证:. 【答案】（1） （2）证明如下： 当时， 不妨设，，，则， 又，令， 则， 又，所以恒成立， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以，所以， 由拉格朗日中值定理可知必存在使得， 即，又，所以， 即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）证明如下： 当时， 由拉格朗日中值定理知，存在和， 使得，， 所以只需证明，即证明在上单调递减， 又， 令， 则， 令， 则， 当时， 令，，则，则在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 所以当时，则，即单调递增， 当时，则，即单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以 ， 所以，所以在上单调递减， 即在上单调递减，命题得证. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可； （2）不妨设，，，则，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再结合拉格朗日中值定理证明即可； （3）由拉格朗日中值定理可知只需证明，即证明在上单调递减，求出导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 当时，则， 因为为函数在上的“拉格朗日中值点， 则， 即，解得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 2. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 12 3. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 命题：“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. 以上结论都不正确 5. 在等比数列中，其前n项和为若数列也是等比数列，则等于　　 A. B. 3n C. D. 6. 已知函数，若对任意，有， 则（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ） A. 当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚 B. 如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C. 如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D. 8. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 10. 下列命题错误的是：（ ） A. 两平行直线与之间的距离是 B. 若点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是或 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若，则直线被圆所截得的弦长为1 11. 已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（ ） A. B. C. D. 12. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 数列满足，则的最大值为_____. 14. 已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是___________． 15. 已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为______元/件.（用含a，b的式子表示） 16. 定义，那么以下说法正确的有（填序号）______． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边的三角形是直角三角形 四、解答题（共70分） 17. 如图，和所在平面垂直，且，，求： （1）直线与平面所成角的大小； （2）平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知直线被圆截得的弦长为． （1）求圆C的方程； （2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 19. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. （1）求； （2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 20. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程； （2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围. 21. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. （1）求次传球后球在甲手中的概率； （2）求次传球后球在乙手中的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次传球后（即从第1次传球到第次传球后）球在甲手中的次数为，求. 22. 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. （1）若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； （2）若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）若，且，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $