精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024年高二下学期期末考试数学试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（ ） A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3 5. 已知，集合，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 函数在区间上有最小值，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8 设，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ） （参考数据：） A. 的个位数是3 B. 的个位数是1 C. 是173位数 D. 是172位数 10. 已知函数，则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 当平面平面时， C. 线段长的最小值为 D. 当时， 12. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ） A. 第2024行中，第1012个数最大 B. 杨辉三角中第8行的各数之和为256 C. 记第行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知，则__________. 14. 某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有___________种.（用数字作答） 15. 已知分别为椭圆上､下焦点，，直线经过点且与交于两点，若垂直平分线段，则的周长为__________. 16. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人选自地区的概率___________. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知二项式二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 18. 已知函数. （1）若，当时，证明：； （2）若，讨论的单调性. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）讨论的单调性. 20. 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. （1）求的方程； （2）过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 21. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. （1）设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； （2）如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末考试数学试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对化简求出其实部和虚部，然后由其在复平面内对应的点位于第四象限，列不等式组可求出实数的取值范围 【详解】因， 所以在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 故选：D. 2. 已知随机变量满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量线性运算的方差规律，直接求解即可． 【详解】根据随机变量线性运算的方差结论，得到，则． 故选：B. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线. 【详解】由得，故抛物线的准线方程为. 故选：D 4. 已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（ ） A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3 【答案】A 【解析】 【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差定义即可求解. 【详解】由题意知，将点代入， 得，所以， 将代入，解得， 所以样本点的残差为. 故选：A 5. 已知，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 函数在区间上有最小值，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围. 【详解】， 易知在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故f(x)图像如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知. 故选：B. 7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果. 【详解】当时，令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 于是当时，，即； 当时，，即. 又为上的奇函数， 所以当时，，当时，， 又， 所以的解集为. 故选：A. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案 【详解】构造函数，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，所以， 又因为，所以，则， 故选：B 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ） （参考数据：） A. 的个位数是3 B. 的个位数是1 C. 是173位数 D. 是172位数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD. 【详解】对于AB,由， 个位数分别为以4为周期循环往复， 因为的余数为1， 故的个位数与的个位数相同， 即个位数为3，故A正确，B错误； 对于CD，因为， 所以， 因为， 所以为173位数，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】令函数，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围，根据充分条件和必要条件的概念选出正确答案. 【详解】由题意知有两个相异实根，即与的图像有两个交点. ，当，，单调递增； 当，，单调递减. ；当，；当，，所以. 又因为CD是的真子集，所以答案选CD. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 当平面平面时， C. 线段长的最小值为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用举反例可判断A，利用面面平行的性质及向量的线性运算及数量积运算可判断BC选项，通过画正方体的截面判断D选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】当时，与重合，与重合， 易证平面，即存在，使得平面，故A错误； 若平面平面，因为平面平面，平面平面， 所以，设，因为为的中点， 所以为的中点，所以，延长到，使得， 同理可得，又，所以，又为的中点， 所以，所以，所以，故B正确； 由题意知，且， 故 （当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为， 故面积为 .， 所以，故D正确. 故选：BCD. 12. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ） A. 第2024行中，第1012个数最大 B. 杨辉三角中第8行的各数之和为256 C. 记第行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D. 【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知，则__________. 【答案】-448 【解析】 【分析】根据展开式，将配为即可根据二项式定理进行计算. 【详解】由题意知为展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为. 故答案为：-448. 14. 某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有___________种.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】由已知可得，将安排三人就座看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，利用捆绑法和插空法结合排列数和组合数的计算可得答案. 【详解】由题意，可看成3个坐着人的座位和3个空座位排队， 恰有两个空座位相邻，故和另外一个空座位均不相邻， 先安排3个坐着人的座位，共有种坐法，产生4个空位， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空位捆绑在一起，看做一个元素，有种坐法，然后再从剩余的3个空中选择一个，将剩余的一个空座位安上，有种坐法， 所以共有种坐法. 故答案为：72. 15. 已知分别为椭圆的上､下焦点，，直线经过点且与交于两点，若垂直平分线段，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线l过，求出c和a的值；连接，根据垂直平分线段得，从而可得的周长为． 【详解】由题意知A为的左顶点，设的半焦距为，则， 所以线段的中点为，直线的斜率为， 所以的斜率为，所以直线的方程为， 又过，所以，解得， 所以. 连接，因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 16. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人选自地区的概率___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式可求这个人患流感的的概率；利用条件概率公式可求如果此人患流感，此人选自地区的概率. 【详解】记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ； 由条件概率公式可得. 故答案为：；. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）1792 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解； （2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解. 【小问1详解】 由二项式系数和为，则，解得； 则展开式的通项公式为，， 令，解得，所以展开式中含的系数为； 【小问2详解】 由（1）可知，令，且，则， 则展开式中的有理项分别为，，. 18. 已知函数. （1）若，当时，证明：； （2）若，讨论的单调性. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调性，进而可得到，即可证明结果； （2）对求导得到，令，得到或，再对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果. 【小问1详解】 当时，，即证当时，， 令，则， 令，则在区间上恒成立， 所以，当且仅当时取等号， 所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递减， 所以对，所以，即. 【小问2详解】 ，令，得或， ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，令，得，或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③当时，，令，得，或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 20. 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. （1）求的方程； （2）过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）由渐近线的倾斜角为，可得，从而可求出离心率，则可得，代入双曲线方程，再结合可求得，从而可求出双曲线的方程； （2）设的方程为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，从而可表示出两点的坐标，然后化简计算即可. 【小问1详解】 因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为， 所以，所以， 又，即在上，所以， 所以，故的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，设， 由题意知的斜率不为0，设的方程为， 代入的方程并整理，得， 则， 所以，且. 直线的方程为，令，得，故， 直线的方程为，令，得，故， 所以 所以为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定值问题，（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简后，再利用根与系数的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 21. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. （1）设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； （2）如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值； （2）（i）设，则，由，求得点处的切线方程，得到，即可得证； （ii）再根据得到，从而，求解； 【小问1详解】 由函数，则， 切线斜率，, 那么在点处的切线方程为， 所以，且， ，, 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； 【小问2详解】 （i）设，则， 因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得， ，即为定值，根据牛顿法，此函数没有零点； （ii）因为得， 所以，， 所以， ， ． 故所得前n个三角形的面积和为. 【点睛】关键点点睛：根据，利用叠加法得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$