湖南长沙市2025-2026学年高二下学期期末测试数学模拟试卷（十）

**基本信息** 这份高二期末数学模拟卷聚焦函数、几何、概率等核心知识，通过立体几何证明与距离计算、函数极值分析等综合性解答题，考查抽象能力、空间观念和推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、充要条件|基础概念辨析，如集合运算结合参数取值| |多选题|3/18|正态分布、三角函数性质|多角度考查，如三角函数单调性与对称性判断| |填空题|3/15|复数、函数恒成立、概率期望|知识综合，如奇函数性质与恒成立问题| |解答题|5/77|立体几何、双曲线、函数极值、数列|分层设计，如立体几何证明与线面角计算，函数极值与切线公共点问题，体现空间观念与推理能力|

《湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末测试数学模拟试卷（十）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A A C C BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 解得 所以实数的取值集合为. 故选：C. 2．C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 3．A 【分析】先计算集合，再根据充分和必要条件的定义判断即可； 【详解】因为解得，所以， 若，则一定有，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定有，所以“”是“”的不必要条件； 因此 “”是“”的充分不必要条件； 4．C 【分析】本题可以采用常数比较大小法，与0和1比较. 【详解】，,所以 故选：C 5．A 【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理. 【详解】因为，所以当时，有， 因为在区间内恰有一个极值， 结合函数图象，得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 6．A 【分析】由二倍角公式展开结合三角形的内角特点可得充分性成立，通过举反例说明必要性不成立即得结论. 【详解】因，， 由可得， 因为是三角形的内角，所以，所以， 则可得或（不合题意，舍去），故为等腰三角形， 即由“”可得“为等腰三角形，故充分性成立； 若为等腰三角形，可能有，不一定有， 例如，为等腰三角形，但是， 所以必要性不成立.故“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件. 故选：A 7．C 【分析】首先得出和的关系，然后求出点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于的方程即可求解. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即， 因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为， 又，则点的横坐标为，所以， 在中，，由可得，， 由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率. 故选：C 8．C 【详解】设截面圆半径为，由截面面积，解得， 设正方体棱长为，由正方体棱长关系可得， 即是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径， 故，解得， 设正方体外接球半径为，则其直径等于正方体对角线，即 ，解得， 球的体积为． 9．BCD 【分析】利用正态分布曲线的概念和性质即可分析求解各选项. 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C，    根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确； 故选：BCD. 10．AC 【分析】利用辅助角公式把已知函数化为正弦型函数，再利用正弦函数的性质分析函数的周期性、单调性、对称性及零点，从而得出正确选项． 【详解】， 的周期为，故A正确； 当时，， 在单调递减，在单调递增， 在该区间非单调递增，故B错误； 正弦函数的对称轴为，，解得， 当时，，满足条件，故C正确； 令，即，解得， 在内，时，；时，，有2个零点，故D错误． 故选：AC． 11．ACD 【分析】令，即可得直线的定点，进而判断A，设定点为，当直线与垂直时，即可求的最值，即可判断B，求圆心到直线的距离，进而得，即可判断C，由，得的面积为，即可判断D. 【详解】令，，所以直线恒过定点，故A正确； 设定点为，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大值为， 所以，故B错误， 由圆心到直线的距离为，因为，所以， 所以弦长，所以，所以无最大值，故C正确； 由，所以的面积为， 当时，即时，，故D正确， 故选：ACD. 12．/ 【详解】因， 则. 13． 【分析】先根据函数为奇函数求出函数的解析式，再分三种情况讨论，结合二次函数的图象以及左右平移的原则即可得出答案. 【详解】因为奇函数的定义域为， 所以， 令，则， 故， 所以， 所以， 当时，显然不符合题意； 当时，则，奇函数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，若对，恒成立， 则函数的图象恒在函数的上方，， 而，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位， 画出函数和函数的图象如图所示， ， 而， ， 由，解得（和舍去）， 因为随着的图象左移至的过程中， 均有的图象恒在的图象的上方， 所以实数的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14． /0.6 【分析】利用古典概型概率公式可得恰有两名男生的概率；由题可得可取的值，然后利用独立事件概率公式求概率，再利用期望公式即得. 【详解】由题可知从6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作共有种结果，其中恰有两名男生的结果有， ∴从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，恰有两名男生的概率为； 由题可知可取0,1,2,3，则 ， ， ， ， 故. 故答案为：；. 15．(1) (2) (3)5 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． （2）由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． （3）由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 16．(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 17．(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程可得，由到渐近线的距离可求，可求解； （2）由题意不妨设，设直线.，，求得圆的方程与双曲线方程联立，可求得的坐标，进而求得直线的方程，与抛物线方程联立可求得的坐标，进而可求得三角形的面积. 【详解】（1）由题知，， 同时到渐近线的距离， 所以，所以双曲线的方程为； （2）因为双曲线的渐近线为，过的双曲线与右支交于两点， 所以，因此不妨设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知显然不为直角三角形， 所以的斜率存在，设直线.，， 在以为直径的圆上，如下图所示： 因为，所以的中点为， 所以，所以以为直径的圆的方程为， 故，解得或， 不妨取， 此时，所以， 再由，，所以，， ，到直线的距离， 所以. 18．(1)， (2)或 【分析】（1）利用极值求参数值，再结合导数求解函数最值； （2）由导数几何意义求切线方程，与曲线方程联立，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）函数，定义域为， ，当时，，所以， ，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 故的最小值为． （2）由（1）得，曲线在处的切线斜率， ，则曲线在处的切线方程为， 由于切线与曲线只有一个公共点， 可联立， 得①有且只有一解， 当时①式变为，则方程①有且只有一解，符合题意； 当时，则，解得， 综上，或． 19．(1) (2) (3)存在或 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求，进而可得数列的通项公式. （2）先根据数列的前项和求通项公式的方法得到的通项公式，再利用累加法得到的通项公式，最后用错位相减法化简即可. （3）分析数列的单调性，求该数列的最大项即可. 【详解】（1）由题意得，解得或（舍），所以. （2）当时， 当时=. 所以， 所以. 令 则 则. 则，即， 又因为，所以. 所以数列的通项公式为. （3）， ， 当时，；当时，；当时，. 所以存在或对于都有成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末测试数学模拟试卷（十） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在中，“”是“为等腰三角形”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D．3 8．已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．已知函数，则（    ） A．的周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点 11．已知直线与圆交于两点，则（   ） A．恒过定点 B．不存在最小值 C．不存在最大值 D．面积的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数（是虚数单位），则__________． 13．已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_____. 14．在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔.从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，恰有两名男生的概率为___________；若对入选的2名男生和1名女生进行滑雪项目相关知识的测试，已知两名男生通过测试的概率均为，女生通过测试的概率为，且每人通过与否相互独立，记这三人中通过测试的人数为X，则随机变量X的数学期望为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 16．(15分)如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17．(15分)已知双曲线的一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为1，为直角三角形. (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 18．(17分)设函数，已知是的极值点. (1)求的值及的最小值； (2)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求. 19．(17分)已知等比数列的公比为，，.数列满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)记，是否存在，对于都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $