精品解析：上海市实验学校南校2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷

SSES2024学年第二学期期中质量监测（202504） （初二数学（含拓展题））（闭卷）满分：100分+20分时间：90分钟 一、选择题（共18分） 1. 正五边形一个外角的度数是（ ） A. 72° B. 90° C. 108° D. 118° 2. 下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图像向下平移个单位长度可得到的图象 B. 的图像经过第一、二、三象限 C. 两个函数中，的值均随着值的增大而增大 D. 的图像经过点 4. 已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：将其图象沿轴向下平移个单位，可得到直线；关于的方程的解为；当时，；图象经过点，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（共24分） 7. 直线向下平移6个单位得到直线________． 8. 解分式方程时，去分母后得_____________． 9. 已知点，都在直线上，则与的大小关系是______． 10. 方程的解是________________． 11. 已知是二元二次方程的一个解，那么___________． 12. 已知函数，则当函数值时，自变量的值是__________________． 13. 在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为________． 14. 用换元法解无理方程，若设，则原方程 可化为整式方程：__________ 15. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴负半轴于点，则点坐标为__________． 16. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 17. 如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m． 18. 点沿着动点运动的方向平移个单位长度到点，则点的坐标为________． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 解方程组： 21. 解方程组：． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 23. 如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于，≌． （1）求的度数； （2）求的度数． 24. 某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） （1）若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． （2）如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线相交于点C．点C的横坐标为1． （1）求直线线的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线与直线、，分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标； （3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出m的取值范围． 26. 【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ SSES2024学年第二学期期中质量监测（202504） （初二数学（含拓展题））（闭卷）满分：100分+20分时间：90分钟 一、选择题（共18分） 1. 正五边形一个外角的度数是（ ） A. 72° B. 90° C. 108° D. 118° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角为360°÷5＝72°， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键． 2. 下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）是正比例函数也是一次函数； （2）是一次函数； （3）不是一次函数； （4）是一次函数； （5）不是一次函数； ∴是一次函数的有：（1）（2）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数． 3. 对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图像向下平移个单位长度可得到的图象 B. 的图像经过第一、二、三象限 C. 两个函数中，的值均随着值的增大而增大 D. 的图像经过点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征．解题的关键是熟知一次函数的性质，根据平移规律、一次函数的性质及函数图像上点的坐标特征对各选项依次作出判断即可． 【详解】解：A．的图象向下平移个单位长度可得到，即的图像，故此选项符合题意； B．对于一次函数 ∵，， ∴的图像经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； C．对于一次函数与正比例函数， ∵， ∴两个函数中，的值均随着值的增大而减小，故此选项不符合题意； D．对于一次函数， 当时，， ∴的图像不经过点，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：将其图象沿轴向下平移个单位，可得到直线；关于的方程的解为；当时，；图象经过点，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】∵一次函数过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式， ∴向下平移个单位为，故正确， 由，解得：，故正确， 根据图象可知：当时，，故正确， 当时，， ∴图象不经过点，故错误， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 5. 方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 二、填空题（共24分） 7. 直线向下平移6个单位得到直线________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，y＝﹣3x+5向下平移6个单位， 所得直线解析式是：y＝﹣3x+5﹣6，即y＝﹣3x﹣1． 故答案为：y＝﹣3x﹣1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 8. 解分式方程时，去分母后得_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 去分母得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9. 已知点，都在直线上，则与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是灵活利用一次函数的增减性解决问题．根据一次函数的性质，随增大而减小比较与大小即可． 【详解】解：∵中， ∴随增大而减小， ∵点，都在直线上，， ∴， 故答案为：． 10. 方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理方程的解法，解一元二次方程，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】∵， ∴ 整理得， 或 解得，． 经检验不符合题意，舍去；是原方程的解． ∴方程的解是． 故答案为：． 11. 已知是二元二次方程的一个解，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 已知函数，则当函数值时，自变量的值是__________________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入函数，分别求出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：分类讨论：当时，， 解得：． ∵， ∴此时不符合，舍去； 当时，， 解得：． ∵， ∴此时符合． 综上可知自变量的值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查求一次函数自变量或函数值．利用分类讨论的思想解决分段函数类题型是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出的长，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 用换元法解无理方程，若设，则原方程 可化为整式方程：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理方程的解法，设，可得原方程为，掌握无理方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴原方程为， 故答案为：． 15. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴负半轴于点，则点坐标为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，进而解答即可． 【详解】当时，，解得，则； 当时，，则， 所以， 因为以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， 所以， 所以． 即可得点C坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 16. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 17. 如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°， 360°÷20°＝18， 所以它是一个正18边形， 因此所走的路程为18×4＝72（m）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键． 18. 点沿着动点运动的方向平移个单位长度到点，则点的坐标为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】当时，，当时，与点重合，再求出点、平移的直线的关系式，利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：当时，，当时，与点重合， 设点沿着直线运动， 则， 解得：， ， 点、点都在直线上运动， 设， ， 解得或， 当时，, 当时，, 故答案为：或． 【点睛】本题考查点的平移，求一次函数解析式，坐标点之间的距离公式，解题的关键是点、点都在直线上运动．． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的性质，通分，合并同类项，检验根是否符合题意，由此即可求解； （2）根据分式的性质，变形，合并同类项，检验根是否符合题意，由此即可求解； 【小问1详解】 解： ∴，解得，， 检验，当时，原分式方程无意义， ∴原分式方程无解． 【小问2详解】 解： ， ∴， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为：． 【点睛】本题主要考查解方式方程，掌握分式的性质，解方式方程的方法是解题的关键． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】由方程②得x=6y③或x=-y④，再由①③和①④组成两个方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：由方程②得(x-6y)(x+y)=0， ∴x-6y=0或x+y=0，即x=6y③或x=-y④， ∴原方程组为或， 把x=6y代入得：6y-y=10， 解得y=2， ∴x=6y=12； 把x=-y代入得：-y-y=10， 解得y=-5， ∴x=-y=5； ∴方程组的解为或． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解题的关键． 21. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．移项后配方，再开方，求出，再求，最后进行检验即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 或， ， 舍去， 即， 方程两边平方得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）y=，y=x﹣ （2） 【解析】 【分析】对于（1），先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； 对于（2），设直线与x轴的交点为C，由直线解析式求得点C的坐标，然后根据即可得出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 设直线与x轴的交点为C， 令，即，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解本题的关键是求得交点坐标． 23. 如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于，≌． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多边形的内角和公式、正五边形的内角相等即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形外角定理即可得解． 【小问1详解】 正五边形的内角和为：， ； 【小问2详解】 ≌， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理是解此题的关键． 24. 某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） （1）若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． （2）如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 【答案】（1） （2）愿意 【解析】 【分析】（1）先计算出行驶时间，然后把运输费用、冷藏费用和过路过桥费用加起来即可求解． （2）根据（1）中表达式，当时，计算出费用，然后与1500进行比较后进行判定即可． 【小问1详解】 解：货运车辆行驶时间：（小时）， 与之间的函数表达式为：． 【小问2详解】 当时，， ， 货运公司愿意运送这批水产品． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用实际问题列一次函数关系式，并运用一次函数研究实际问题． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线相交于点C．点C的横坐标为1． （1）求直线线的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线与直线、，分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标； （3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与直线相交于点C．点C的横坐标为1． 得到．结合过点，构造方程组解答即可； （2）根据，，点，得到，，结合点E和点F关于x轴对称，得到，解答即可． （3）根据，可得，根据，分别代入，得 ；，得到，结合图象解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的意义，关于x轴对称的意义，直线比例系数的取值范围，熟练掌握待定系数法，比例系数取值范围的确定是解题的关键． 【小问1详解】 ∵根据与直线相交于点C．点C的横坐标为1． ∴． ∵过点， 解得， 故的解析式为． 【小问2详解】 ∵，，点， ∴，， ∵点E和点F关于x轴对称， ∴， 解得． 故点． 【小问3详解】 解：由， ∴，由，分别代入， 得；，得到， 故m的取值范围是． ． 26. 【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）先证明，由即可判定 （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，证明得出，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）利用（1）的结论判断求出点P，E的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可，再利用待定系数法求出直线函数表达式； （4）先求出平移后的直线表达式为，求出与坐标轴的交点，再根据绕着坐标原点逆时针旋转90°后对应点坐标求出所得图像相应的函数表达式. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，如图1， ∵， ∴， ∵轴，轴， 同理（1）可得； ∴， ∴， 同求点的方法得，， 故答案为； （3）如图 ∵，令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵将直线l绕它与x轴的交点P逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于F， 同（2）的方法得，， ∴， ∴， 点E绕点P逆时针旋转的对应点， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 故答案为：； （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，可得：直线为， 设直线交轴于点，交轴于点，上，令，则令，则 ，， ∵直线是直线标原点逆时针旋转90°得到的， ∴，， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为，， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，一次函数的应用以及旋转的性质，借助给出的结论明确思维方法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $