6.2.4 向量的数量积 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 F s 新课引入: 我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中θ是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算： O B A θ 向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ ≤180°)叫做向量a与 b的夹角。 当θ＝0°时,a与b同向； O A B 当θ＝180°时, a与b反向； O A B 当θ＝90°时,称a与b垂直， 记为a⊥b. B O A a b 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 练习： 在 中，找出下列向量的夹角： A B C (1) (2) (3) 定义 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 a·b= |a| |b| cosθ 已知两个非零向量a 与 b,它们的 夹角为θ，我们把数量 |a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积)，记作:a.b 注意：向量的数量积是一个数量。 (2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； 定义理解： (1)a · b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运算． a·b= |a| |b| cosθ 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 思考： a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 7 你会变吗？ 会用吗？试试看 数量积的运算律： ⑴交换律: ⑵数乘的结合律: ⑶分配律: 注意: 数量积不满足结合律 我真的理解了吗? 真 假 假 假 ⑤ ⑥ 真 假 假 真 ⑧ ⑦若 ， ， 则 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角 已知 ， 则向量 在向量 上的投影为　　　　。 4 练习一： 例4. 注意：两个向量的数量积是否为零, 是判断相应的两条直线是否垂直的重 要方法之一. 重要结论： 小结: 本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有： 1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义） 2、由数量积求向量的模 4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直 3、由数量积确定两向量的夹角 5、判断三角形的形状 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝ |a|cos θ e. $$