精品解析：湖北省十堰市郧阳区第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023-2024学年高一上册数学期末考试 一、选择题：本题共8小题．每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的交集运算可得结果. 【详解】解：因为集合，，所以. 故选：D. 2. 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解. 【详解】解：因为是第三象限角，且， 所以， 故选：A. 3. 已知指数函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可. 【详解】因为指数函数的图象过点， 所以，即， 所以， 故选：C 4. 已知，若，则（ ） A. 或 B. 3或5 C. 或5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当时，，解得或（舍去）； 当，，解得（舍去）； 综上，. 故选：D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，即可得答案. 【详解】解：函数， 由，，得，， 所以函数的单调递减区间为， 故选：A. 6. 已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】为奇函数,则， 但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数， 所以是的充分不必要条件， 故选：C. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值. 【详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：. 故选：C 8. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项. 【详解】由题意可得， 对于A，是奇函数，故A正确； 对于B，不是奇函数，故B不正确； 对于C，，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C不正确； 对于D，，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D不正确. 故选：A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案. 【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合A为,,. 选项BD均不符合要求，排除. 故选：AC 10. (多选) 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，和基本不等式，逐个判断选项正误. 【详解】令，满足，但故A错误， ∵，∴，故B正确， 令，满足，但 ，故C错误， ，当且仅当，即时，等号成立，故D 正确． 故选：BD． 11. (多选) 下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和基本初等函数的单调性，逐一判断选项所给函数是否符合要求，得出结果. 【详解】因为，所以是偶函数， 当时，为增函数，故A正确； 函数是奇函数，不满足条件，故B错误； 因为，所以是偶函数， 当时，是增函数， 故C正确； 为非奇非偶函数，不满足条件，故D错误. 故选： AC． 12. (多选) 如图，对于任意正数，记曲线与直线所围成的曲边梯形面积为，并约定和.已知，则以下命题正确的有（ ） A. B. C. 对任意正数和，有 D 对任意正数和，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目定义，转化所给函数，再根据对数的运算性质，对函数解析式进行化简，逐一判断选项正误，得出正确结果. 【详解】因为， 所以，所以A错误； 可知， ， 所以，所以B正确； 对任意正数和，有， ， 所以，所以C正确； 对任意正数和，有， ，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义可得，求解即得. 【详解】由函数有意义，得，则， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 14. 已知，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】将齐次式弦化切即可求解. 【详解】解：因为， 所以， 故答案：2. 15. 已知命题：，都有是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由于，都有，所以，从而可求出实数的取值范围 【详解】解：因为命题：，都有是真命题， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 16. 已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可. 【详解】不妨设， 因为函数有两个零点分别为a，b， 所以， 所以， 即，且， ， 当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意， ， 即， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值． 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值. 【小问1详解】 ，解得. 小问2详解】 当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 18. 在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解． 问题：函数的图象过点，且满足__________．当时，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选①②③，答案相同，均为 【解析】 【分析】选①②可以得到最小正周期，从而得到，结合图象过的点，可求出，从而得到，进而得到，接下来用凑角法求出的值；选③，可以直接得到最小正周期，接下来过程与选①②相同. 【详解】选①②：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以， ； 选③：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以， ； 19. 已知函数． （1）证明：函数在区间上单调递增； （2）已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明； （2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小. 【小问1详解】 证明：函数， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数在区间上单调递增， 因为，，， 所以， 所以，即. 20. 已知函数的最小值为0． （1）求a的值： （2）若在区间上的最大值为4，求m的最小值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简，由正弦型函数的最值求解即可； （2）由所给自变量的范围及函数由最大值4，确定即可求解. 【小问1详解】 ， ， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， ， ， 解得， . 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离； （2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？ 【答案】（1），m （2）4s 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出筒车转动角速度，从而求出h关于时间t的函数，和时的函数值；（2）先确定定义域，再求解不等式，得到，从而求出答案. 【小问1详解】 筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m 【小问2详解】 点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s. 22. 已知函数 （1）若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围; （2）若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围； （2）对对称轴分类讨论，结合函数单调性分析，即可求出a的值. 【小问1详解】 ①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意； ②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意； ③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意； ④，， 解得：， 综上：a的取值范围是 小问2详解】 的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 无最大值不合题意； 当 即 时，在 上递减，无最大值不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 ( 舍去)， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023-2024学年高一上册数学期末考试 一、选择题：本题共8小题．每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知指数函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知，若，则（ ） A. 或 B. 3或5 C. 或5 D. 3 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（ ） A 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 10. (多选) 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. (多选) 下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 12. (多选) 如图，对于任意正数，记曲线与直线所围成的曲边梯形面积为，并约定和.已知，则以下命题正确的有（ ） A. B. C. 对任意正数和，有 D. 对任意正数和，有 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域是_____． 14. 已知，则___________． 15. 已知命题：，都有是真命题，则实数取值范围是______． 16. 已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上最大值比最小值大，求a的值． 18. 在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解． 问题：函数的图象过点，且满足__________．当时，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）证明：函数区间上单调递增； （2）已知，试比较三个数a，b，c大小，并说明理由． 20. 已知函数的最小值为0． （1）求a的值： （2）若在区间上的最大值为4，求m的最小值． 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离； （2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？ 22. 已知函数 （1）若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围; （2）若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$