精品解析：福建省福州第十九中学2024--2025学年下学期七年级数学期末考试卷

福州第十九中学2024-2025学年第二学期期末测试 七年级数学试题 （满分150分时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A. 4，4，8 B. 3，5，7 C. ，6，8 D. 1，2，3 2. 实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若将东街口的位置记为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则福州十九中的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 4. 小明参加短跑训练，今年2~6月的训练成绩为（单位：s），绘制出趋势图如图．请根据趋势图预测小明下个月短跑的成绩最接近的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 根据下列条件，能画出唯一是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题中是真命题的有（　　）个 ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高都分别交于一点； ⑤三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A. B. C. D. 8. 为打造福州西湖公园风光带，现有一段长为160米的人行步道修建任务，由两个工程小组先后接力完成，工程小组每天修建12米，工程小组每天修建10米，共用时，设工程小组修建人行步道米，工程小组修建人行步道米，依题意可列方程组（　　） A B. C. D. 9. 如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A B. C. D. 10. 若关于的不等式组恰有4个整数解，且关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A. 27 B. 24 C. 19 D. 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 为了解福州市中考学生的数学考试成绩，从43100名考生中随机抽取了2000名考生的成绩进行统计分析，则样本容量是___________． 12. 若是整数，满足，则的值为___________． 13. 若将点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点，则点的坐标是___________ 14. 如果关于二元一次方程组的解满足，那么的值是___________． 15. 如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为___________ 16. 如图分别平分，则下列说法中正确的是___________． ①若，则；②；③；④． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组： 18. 解不等式组，并写出它的整数解． 19. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 20. 尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 21. 为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了全校3600名学生参加的“汉字听写”大赛．校团委随机抽取了其中50名学生的成绩作为样本进行统计，制成不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数（人） 第1组 6 第2组 10 第3组 第4组 18 第5组 6 （1）本次调查为___________调查；（填“全面”或“抽样”） （2）___________；请把频数分布直方图补充完整； （3）若将抽取的成绩频数绘成扇形统计图，则成绩“”所对应的扇形的圆心角度数是___________； （4）若成绩90分及以上登记为测试优秀，则该校七年级共1000人中，优秀的人数大约有多少？ 22. 如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 23. 【综合实践：平面直角坐标系中的三角形重心】我们知道，数轴上点、（点在点的左侧）分别表示数和，那么线段的中点表示的数是．类似的，如图1，若点在线段靠近的三等分点上即．那么点在数轴上表示的数为． 【理解与运用】 （1）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，那么线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点在线段上，，直接写出点的坐标为___________ （2）三角形三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为．如图2，在平面直角坐标系中，是的中线，点，的坐标分别是，，点为的重心，根据重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为，可以得到比为，利用上一问的结论求出点的坐标． （3）如图3，在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，，，点，分别是三边的中点．结合本题所学知识，试证明：的重心与的重心重合． 24. 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．景点内的爱心树钥匙扣、三条簪冰箱贴、佛跳墙玩偶等旅游纪念品深受广大游客们的喜爱．某商店准备购进两种旅游纪念品，已知进6件件需要540元；进5件件需要310元．纪念品销售单价分别定为77元，42元． （1）纪念品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过2060元的资金购进两种纪念品共50件，且种纪念品的数量不少于24件，商店共有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件纪念品售价优惠元，纪念品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这50件纪念品获得总利润最大的进货方案． 25. （1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州第十九中学2024-2025学年第二学期期末测试 七年级数学试题 （满分150分时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A. 4，4，8 B. 3，5，7 C. ，6，8 D. 1，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】A． 4，4，8：较小两边之和为，不能构成三角形，故A不符合题意； B． 3，5，7：较小两边之和为，能构成三角形． C．，6，8：较小两边之和为，不能构成三角形，故C符合题意； D． 1，2，3：较小两边之和为，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B 2. 实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，求解立方根，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数即可. 【详解】解：，是整数，属于有理数， 是无理数， ，是整数，属于有理数， 无法化为整数或分数，是无限不循环小数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是无理数，除以2后仍为无理数， 虽有一定规律，但无限且不循环，属于无理数， 综上，无理数有、、、，共4个， 故选B 3. 若将东街口的位置记为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则福州十九中的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，解题关键是掌握每个象限内点的坐标特征，根据第一象限的点的横纵坐标都是正数即可求解． 【详解】解：∵福州十九中位于第一象限， 故它的横纵坐标都是正数   故选：A ． 4. 小明参加短跑训练，今年2~6月的训练成绩为（单位：s），绘制出趋势图如图．请根据趋势图预测小明下个月短跑的成绩最接近的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了趋势图，解题关键是学会看趋势图，会预测接下来的数据，本题根据趋势图可直接看出下个月成绩预测在到之间，即可求解． 【详解】解：根据趋势图的直线预测，小明下个月短跑的成绩最接近的是   故选：C ． 5. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：A. 由，两边乘以正数3，得，但右边乘以负数时，不等号方向应改变，即，因此不成立，错误； B. 由，两边同时减4，不等号方向不变，得，正确； C. 由，两边乘以正数2，不等号方向不变，应得，但选项写为，错误； D. 由，两边乘以负数，不等号方向改变，得，再两边加5，得，但选项写为，错误； 综上，正确选项为B， 故选：B． 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定条件逐一分析各选项，判断是否能唯一确定. 【详解】解：A. 已知，但在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可能存在两种不同形状，故排除； B. 已知（直角三角形斜边），但未给出另一条边或角，无法确定直角边长度，条件不足，排除； C. 已知（），符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符合条件； D. ，因，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除； 故选C 7. 下列命题中是真命题的有（　　）个 ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高都分别交于一点； ⑤三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、平行公理及三角形中线、角平分线和高的性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①在平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，该选项命题是真命题； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，该选项命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项命题是假命题； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高都分别交于一点，该选项命题是真命题； ⑤三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，该选项命题是真命题； 综上，真命题为①④⑤，共个， 故选：． 8. 为打造福州西湖公园风光带，现有一段长为160米的人行步道修建任务，由两个工程小组先后接力完成，工程小组每天修建12米，工程小组每天修建10米，共用时，设工程小组修建人行步道米，工程小组修建人行步道米，依题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，根据题意，人行步道总长为160米，A、B两队的工作量之和应等于总长度；两队的工作时间之和为20天，由此可建立两个方程组成方程组． 【详解】解：设A工程小组修建x米，B工程小组修建y米， 两队修建的总长度等于160米， 即， A队每天修12米，修x米需天；B队每天修10米，修y米需天，总时间为20天， 即， 综上，方程组为， 故选：D． 9. 如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 分①，②，③，三种情况比较与大小，均得到，即得． 【详解】解：如图①，当时， 过点E作交于点M， 则 ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图②，当，延长线交于点时， 过点E作于点M， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图③，当，延长线交于点时， ∵， ∴， ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 综上，面积最小的是A选项， 故选：A． 10. 若关于的不等式组恰有4个整数解，且关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A. 27 B. 24 C. 19 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组及一元一次方程整数解问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有4个整数解确定的取值范围，再由方程的解为正整数，求出满足条件的整数k，从而求解． 【详解】解： 解得：， ∴ ∵不等式组恰有4个整数解， ∴4个整数解为1，2，3，4， ∴， 解得：， 解方程， 得： ∵关于的一元一次方程有非负整数解 ∴ ∴ ∴ ∴符合条件的所有整数的值有8，9 ∴． ∴符合条件的所有整数的和为17． 故选择：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 为了解福州市中考学生的数学考试成绩，从43100名考生中随机抽取了2000名考生的成绩进行统计分析，则样本容量是___________． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据样本容量的定义解答即可． 【详解】解：为了解福州市中考学生的数学考试成绩，从43100名考生中随机抽取了2000名考生的成绩进行统计分析，则样本容量是2000． 故答案为：2000． 12. 若是整数，满足，则的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据得，又因为，且是整数，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且是整数， ∴， 故答案为：7． 13. 若将点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点，则点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键．点平移的坐标变化规律为：当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会向上或向下平移个单位，根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求解即可． 【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点Q， 点Q的横坐标为，纵坐标为， 点Q的坐标为， 故答案为：． 14. 如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：依题意， 得：， ∵关于二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为___________ 【答案】##38度 【解析】 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图分别平分，则下列说法中正确的是___________． ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，则可证明得到，据此可判断①；由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，则，据此可判断②；作的角平分线交于H，可证明，得到，，同理可证明，得到，，据此可判断③；过点H作于M，于N，可证明，得到，则，据此可判断④． ∴，故④正确； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴， 如图所示，作的角平分线交于H， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴，， ∴，故③正确； 如图所示，过点H作于M，于N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，绝对值意义，进行计算即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】；整数解有：，，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解有：，，0，1，2． 19. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据平行线的性质得，结合线段的和差关系得，因为，得证，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的尺规作图，先作射线，在射线上截取，作，作，交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 21. 为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了全校3600名学生参加的“汉字听写”大赛．校团委随机抽取了其中50名学生的成绩作为样本进行统计，制成不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数（人） 第1组 6 第2组 10 第3组 第4组 18 第5组 6 （1）本次调查为___________调查；（填“全面”或“抽样”） （2）___________；请把频数分布直方图补充完整； （3）若将抽取的成绩频数绘成扇形统计图，则成绩“”所对应的扇形的圆心角度数是___________； （4）若成绩90分及以上登记为测试优秀，则该校七年级共1000人中，优秀的人数大约有多少？ 【答案】（1）抽样 （2）10；见解析 （3）72 （4）120 【解析】 【分析】本题考查了统计图表、条形统计图及用样本估计总体，理解题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义进行求解即可； （2）根据题意校团委随机抽取了其中50名学生的成绩作为样本进行统计，可知，再补全统计图即可； （3）根据成绩在的人数人，总人数为50人，求出扇形统计图的圆心角即可； （4）用1000乘以抽取的50名学生的成绩在之间的人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查为抽样调查； 【小问2详解】 解：∵校团委随机抽取了其中50名学生的成绩作为样本进行统计， ∴， 补全频数分布直方图，如图所示： 【小问3详解】 解：， 答：成绩“”所对应的扇形的圆心角度数是； 【小问4详解】 解：估计成绩优秀的学生人数为：（人）． 22. 如图，，，是边上高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：在中，，是平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 【综合实践：平面直角坐标系中的三角形重心】我们知道，数轴上点、（点在点的左侧）分别表示数和，那么线段的中点表示的数是．类似的，如图1，若点在线段靠近的三等分点上即．那么点在数轴上表示的数为． 【理解与运用】 （1）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，那么线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点在线段上，，直接写出点的坐标为___________ （2）三角形三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为．如图2，在平面直角坐标系中，是的中线，点，的坐标分别是，，点为的重心，根据重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为，可以得到比为，利用上一问的结论求出点的坐标． （3）如图3，在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，，，点，分别是三边的中点．结合本题所学知识，试证明：的重心与的重心重合． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据材料推广到直角坐标系中，可以先表示出点T的横坐标和纵坐标，即可求解； （2）先根据中点坐标公式求出点D的坐标，然后根据解析（1）的结论求出点T的坐标即可； （3）先根据中点坐标公式求出点，，，然后分别求出的重心坐标和的重心坐标，最后进行判断即可． 小问1详解】 解：∵， ∴点T的横坐标为，纵坐标为 T点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴点D为的中点， ∵B、C两点的坐标分别为， ∴中点D的坐标为，即， ∵点A的坐标为， ∴根据解析（1）的结论可知：点N的坐标为， ∴点N的坐标为，即； 【小问3详解】 证明：∵，点，分别是三边的中点， ∴点，，， ∵重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为， ∴的重心坐标为， 化简得，； 的中点坐标为， ∴的重心坐标为： ， 化简得：， ∴的重心与的重心重合． 【点睛】本题主要考查了中点坐标公式，坐标与图形，规律探索，三角形的重心，解题的关键是要理解材料的方法，借助材料中提供的信息进行解题，再由数轴上的规律推广到坐标系中坐标的规律． 24. 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．景点内的爱心树钥匙扣、三条簪冰箱贴、佛跳墙玩偶等旅游纪念品深受广大游客们的喜爱．某商店准备购进两种旅游纪念品，已知进6件件需要540元；进5件件需要310元．纪念品销售单价分别定为77元，42元． （1）纪念品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过2060元的资金购进两种纪念品共50件，且种纪念品的数量不少于24件，商店共有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件纪念品售价优惠元，纪念品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这50件纪念品获得总利润最大的进货方案． 【答案】（1）纪念品A每件的进价为50元，纪念品B每件的进价为30元 （2）该商店有5种进货方案 （3）当时，购进A种纪念品28件，B种纪念品22件时，销售这50件纪念品获得总利润最大；当时，选择各方案销售这50件纪念品获得总利润相同；当时，购进A种纪念品24件，B种纪念品26件时，销售这50件纪念品获得总利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查的是方程、不等式组的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型． （1）设纪念品A每件的进价为x元，纪念品B每件的进价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程求解即可． （2））设A纪念品购进a件，根据不等关系：购进A商品所需的费用+购进B商品所需的费用，A种纪念品的数量，列出不等式，解不等式，再根据a取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为w元，购进A种纪念品a件，求得w关于x的函数关系式为，对m的取值讨论即可求得总利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设纪念品A每件的进价为x元，纪念品B每件的进价为y元， 由题意可得：， 解得： 答：纪念品A每件的进价为50元，纪念品B每件的进价为30元； 【小问2详解】 解：设购进纪念品A有a件，则纪念品B有件， 由题意可得： 解得． 又∵a为整数， ∴a可以为24，25，26，27，28， ∴该商店有5种进货方案； 【小问3详解】 解：设销售这50件纪念品获得总利润为w元， 则， 若，即时，w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时； 若，即时，w的值不变； 若，即时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当时，购进A种纪念品28件，B种纪念品22件时，销售这50件纪念品获得总利润最大； 当时，选择各方案销售这50件纪念品获得总利润相同； 当时，购进A种纪念品24件，B种纪念品26件时，销售这50件纪念品获得总利润最大． 25. （1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；②；（3）；点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由图可知得出，，根据，即可得出答案； （2）①根据解析（1）可知：，根据，求出结果即可； ②同（1）可证，利用梯形面积公式求解即可； （3）作轴于点D，证明，得出，，求出，分三种情况求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ，， ∴， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴； （2）①∵， ∴根据解析（1）可知：， ∴ ； ②根据解析（1）同理可证， ，， ∴， 四边形的面积为：； （3）如图所示，作轴于点D． ，， ，， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形面积计算，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$