广东省2024--2025学年九年级下学期第2周数学复习 综合训练

2025年春季九年级第1周广东省数学复习 综合训练 说明： 1．全卷共6页，满分120分．测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选选项． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作（   ） A． B． C． D． 2．中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织，是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校，是中国共产党的助手和后备军，年龄在十四周岁以上，二十八周岁以下的中国青年，承认团的章程，愿意参加团的组织并在其中积极工作，执行团的决议和按期交纳团费的，可以申请加入中国共产主义青年团，团中央公布的统计数字显示，现有学生团员约人，数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．估计的值为（        ） A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4 4．《海底两万里》是法国著名作家儒勒·凡尔纳的一部著名作品，他在小说中塑造了尼摩船长这个反对沙皇专制统治的高大形象，赋予其强烈的社会责任感和人道主义精神，以此来表达对现实的批判．如图所示是《海底两万里》中尼摩船长所发明的潜水头盔的示意图．这种头盔具有良好的抗水压性能，能使潜水工作者在水下数百米深处作业而行动自如．现将其抽象为图示的立体图形，则该头盔的俯视图为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，，，O，E分别为AC，OD的中点，连接AE，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49 7．自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达18亿元，若将增长率记作x，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知函数图象与轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或； ②当时，有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大； ④若点，在函数图象上，则的值只有3个． 上述四个结论中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图,AB为半圆O的直径,C是半圆上一点,且∠COA=60°,设扇形AOC,△COB,弓形BmC的面积分别为S1,S2,S3,则它们之间的关系是 (　　) A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S1<S3<S2 D．S3<S2<S1 10．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为 （    ）    A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分. 11．因式分解：x2+2x= ． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则 ． 13．关于x的方程无解，则反比例函数图象在第 象限． 14．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点分别是的中点，则的最大值是 ． 15．小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽cm，杯柄高cm，当葡萄酒液面宽cm时，液面与杯口的距离cm，则杯子的高为 cm． 三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题8分，共24分. 16．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 17．如图，是的外接圆，切于点，与的延长线相交于点，为半圆的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 18．小明遇到这样一个问题：如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度米，最高处到地面的垂直距离米，两侧的墙高米．今有宽为米的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 小明为了解决这个问题，以的中点为原点，米长为一个单位长度，建立平面直角坐标系，并设隧道顶的抛物线表达式为． 请帮助小明解决以下问题： (1)写出点、、的坐标； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题10分，共30分. 19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长． 20．某中学为了解学生参加家务劳动的情况，从全体学生中随机抽取部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后按劳动时间分为五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ，将频数直方图补充完整； (2)这次抽样调查中某个休息日做家务的劳动时间的中位数落在 组； (3)该校共有1800名学生，请你估计该校学生某个休息日做家务劳动的时间超过的学生人数． 21．问题探究： （1）如图1，在中，，，O是的外接圆的圆心，则的长为__________． 问题解决： （2）如图2，矩形是一个公园，其中米，米，P为的中点．现计划在公园中修建两座雕塑M，N，要求M，N的间距为40米，且．为便于灯光布置，还要求M，N的位置满足．同时计划从入口处A到雕塑M之间建一条小路，为节约建设成本，小路应尽可能短．请求出小路长的最小值．（点M，N，P与矩形在同一平面内，道路的宽度与雕塑M，N及入口A的大小均忽略不计，结果保留根号） 五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分. 22．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形 （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） （2）请应用这个公式完成下列各题 ①计算： ②计算： 23．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 参考答案 1．B 解：如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作， 故此题答案为B． 2．C 科学记数法的表示形式为，确定值的方法，当原数的绝对值时，把原数变为，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 解：， 故此题答案为C ． 3．A 先计算二次根式的乘法运算，再化简，再利用不等式的基本性质判断结果的范围即可得到答案． 解： ＜＜ ＜＜ ＜＜ 故选： 本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 4．D 解：根据俯视图是由从上往下看得到的图形可得，该头盔的俯视图为 故选D． 5．A 过点E作交于点G，过点O作交于点H，利用三角形中位线的性质得出，结合图形即可求解． 解：过点E作交于点G，过点O作交于点H， O，E分别为的中点， ，分别为和的中位线， ， 则． 故选：A． 题目主要考查三角形中位线的性质，作出相应辅助线是解题关键． 6．C 根据众数和中位数的定义求解． 解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48， 将这组数据从小到大排序为47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故选C． 【知识归纳】中位数：也就是中间的数，是一种衡量集中趋势的方法. 计算有限个数的数据的中位数的方法：把所有的同类数据按照大小的顺序排列．如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数. 众数：是指在统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平．也是一组数据中出现次数最多的数值，有时众数在一组数中有好几个． 7．D 第一天为2，根据增长率为x得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程． 解：根据题意得：． 故此题答案为D． 8．C 根据函数图象结合选项进行解答即可． 解：根据函数图象可知： ①当时，指的是图象在x轴下方时对应点的横坐标的取值范围， ∴或，正确； ②当时，图象有最低点，且向上无限延伸， ∴有最小值，没有最大值，正确； ③当时，图象先下降，再上升 ∴随的增大而增大，错误； ④根据点可得点P在直线上，画出直线，得到直线与原函数图象有3个交点， ∴的值有3个，故④正确． 故上述四个结论中正确的有3个． 故此题答案为C． 9．B　 【解析】作OD⊥BC交BC于点D,如图.∵∠COA=60°,∴∠COB=120°,则∠COD=60°.设半径OA=R,∴S扇形AOC==,S扇形BOC==.在Rt△OCD中,∠COD=60°,∴OD=,CD=,∴BC=R,∴S△OBC=,∴S弓形BmC=-=.∵>>,∴S2<S1<S3.故选B. 10．A 证明，可得，由此求出，，再利用勾股定理求出即可． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．x(x+2)． 解：原式=x（x+2）. 12． 利用位似的性质得到，然后根据比例的性质求解． 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 13．一、三 根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 解：∵关于x的方程无解， ∴， 解得， ∴反比例函数图象在第一、三象限 14． 由题意可知当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，连接并延长交于点，连接，根据三角函数进行计算，即可得到答案. 解：点分别是的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接并延长交于点，连接， 是的直径， ． ， ， ， ． 故答案为． 本题考查三角函数，解题的关键是熟练掌握三角函数. 15． 设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据已知确定点坐标，再利用待定系数法求出解析式，求出点B坐标即可解答． 设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系， 依题意得：，，，，， ，， 设葡萄酒杯的抛物线解析式为，将、代入得： ，解得 ∴，杯子的高为 16．（1）；（2） （1）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法计算即可； （2）根据不等式的性质，分别解出不等式的解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 解：（1）, 去分母得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 经检验，当时，原分式方程有意义， ∴原方程的根为． （2）， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 17．(1)见解析； (2). （1）连接，，由切线的性质得，则，由垂径定理可知，则，根据题意可知，，进而证得，即可证明； （2）根据，，可知，，得，则，，求得，，可知，则根据阴影部分的面积为即可求解． （1）证明：连接，， ∵切于点， ∴，则， ∵为半圆的中点， ∴，则， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ， ∴， 则阴影部分的面积为． 18．(1)，， (2) (3)米 （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． （1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴米时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 19．（1）见详解；（2） （1）由题意易得，然后根据菱形的判定条件可进行求证； （2）由（1）可得，则有，然后易证四边形ACED是平行四边形，进而问题可求解． （1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC， ∴， ∵OD＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵， ∴四边形ABCD是菱形； （2）由（1）可得四边形ABCD是菱形， ∴， ∵∠BAD＝60°， ∴， ∵AB＝2， ∴， ∴， ∴， ∵DE⊥BD，， ∴， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴． 【关键点拨】本题主要考查菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 20．(1)60；；补全频数直方图见解析 (2)C (3)1290人 （1）结合频数直方图和扇形统计图，利用D组占比即可求出样本容量；用乘以E组所占百分比即可求出E组所在扇形圆心角度数；先借助样本容量求出B组的人数，然后补充即可． （2）根据中位数的定义可得答案． （3）根据用样本估计总体，先表示出做家务劳动的时间超过所占百分比，再乘以1800即可求出． （1）解：（人） B组的人数为：（人） 补全频数直方图如图所示： （2）将这次抽样调查中学生在某个休息日做家务的劳动时间按照从小到大顺序排列， ∵，C组有20人 ∴第30人和第31人做家务的劳动时间位于C组 ∴这次抽样调查中某个休息日做家务的劳动时间的中位数落在C组． （3）（人） 答：该校学生某个休息日做家务劳动的时间超过的学生有1290人． 21．（1）；（2） （1）连接，，过点O作于点D，由点O是的外接圆的圆心得到，，根据垂径定理得到，，进而根据解直角三角形即可解答； （2）作的外接圆，连接，，由圆周角定理得到，因此是等腰直角三角形，米，即的直径为米．连接，根据勾股定理求出米．又，因此当为直径，有最小值，即可解答． 连接，，过点O作于点D， ∵O是的外接圆的圆心，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）作的外接圆，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 即的半径为米，即直径为米. 连接，∵四边形是矩形， ∴米，， ∵P是的中点，∴米， ∴米. ∵， ∴当取得最大值，即为直径，时，有最小值，为米． 22．（1）；（2）①；②5050． （1）分别由图①、②求出阴影部分的面积，即可得出结论； （2）①利用添括号法则将b-c看成一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可； ②利用平方差公式计算即可． 解：（1）由图①可知：阴影部分的面积为； 由图②可知：阴影部分的面积为 ∴ 故答案为：； （2）① ； ②原式 ． 此题考查的是平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键． 23．（1）， （2）证明见解析 （3）或 （1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$