精品解析：2025年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学　中考数学模拟试卷（6月份）

2025年内蒙古呼和浩特二中中考数学模拟试卷（6月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 秦始皇出生于公元前年，我们记为年，则唐太宗出生于公元年，可记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知是一元二次方程的两根，则___________． 10. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 11. 投影仪是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备．如图1是屏幕投影仪投屏情景图，如图2是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平面距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，则光源投屏最高点与地面间的距离约为______（参考数据：，，，，结果精确到）． 12. 如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为_______． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 某校组织七年级学生进行了线上直播观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查的方式对部分学生进行问卷调查，对调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）学习此次被调查的学生总人数为______人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是______； （3）请你根据调查结果，统计该校七年级名学生中，观看“专家系统”有多少人？ （4）请用画树状图或列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 15. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为cm的柜子里她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表： 碗的个数（个） 这擦碗的总高度（厘米） （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，描述出这摞碗的总高度（）随碗的个数（个）的变化规律，并求出所对应的函数表达式； （3）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 16. 如图1，为的直径，为延长线上的点，为的切线，切点为，，垂足为，在上，连接，． （1）求证：为的切线； （2）如图2，是线段上一点，若平分，与线段交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 17. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古呼和浩特二中中考数学模拟试卷（6月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形为： ． 故选：B． 2. 秦始皇出生于公元前年，我们记为年，则唐太宗出生于公元年，可记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数在年份表示中的应用．根据题意，公元前年份记为负数，公元后年份记为正数． 【详解】解：秦始皇出生于公元前259年，记为年，说明公元前用负数表示，公元后用正数表示．唐太宗出生于公元599年，属于公元后年份，因此直接记作正数599年． 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算正确，故本选项符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，得，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：解：由数轴可知，， ∴，， A、由数轴可知，，那么的范围是 ，而的范围是，所以，该选项错误，不符合题意； B、因为，根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得 ，所以该选项错误，不符合题意； C、由于，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得 所以该选项错误，不符合题意； D、因为，所以的范围是，则的范围是；又因为，所以的范围是，则的范围是．所以，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知两个阶段都是匀速上升，且第二段的上升的速度高于第一段，进行判断得到答案即可 【详解】解：根据图象可知，后期的增长速度快，所以容器底部粗，上部细 故选A 【点睛】本题主要考查函数的图象，通过函数图象获取信息并解决问题的能力，能够读懂图象是解题的关键. 7. 如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及菱形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据菱形的面积，扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线，， ，，，， ， ∴圆的半径为：，且四个扇形组成半径为的圆， ． 故选：． 8. 已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知是一元二次方程的两根，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据直接求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：4． 10. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 设该函数的解析式为，将A点代入即可求得k，然后求得当动力为时的函数值即可． 【详解】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：， 解得：， ∴设该函数的解析式为， 当时，． 故答案为：10． 11. 投影仪是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备．如图1是屏幕投影仪投屏情景图，如图2是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平面距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，则光源投屏最高点与地面间的距离约为______（参考数据：，，，，结果精确到）． 【答案】##169.6厘米 【解析】 【分析】本题主要利用直角三角形的性质和三角函数来求解，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为点，根据三角函数的性质进行求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为点， 则， 在中，， ， ， 在中， ， ， 故答案为：． 12. 如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作交的延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，则． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的化简求值，掌握零指数幂的意义、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值、分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键． （1）根据零指数幂的意义、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， 当时，原式． 14. 某校组织七年级学生进行了线上直播观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查的方式对部分学生进行问卷调查，对调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）学习此次被调查的学生总人数为______人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是______； （3）请你根据调查结果，统计该校七年级名学生中，观看“专家系统”有多少人？ （4）请用画树状图或列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 【答案】（1）；补全条形统计图见解答 （2） （3）约人 （4） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次被调查的学生总人数；求出选择主题的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用乘以样本中的人数所占的百分比，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生总人数为人． 选择主题的人数为人． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：． 【小问2详解】 在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问3详解】 人． 答：观看“专家系统”有约人． 【小问4详解】 列表如下： 共有种等可能的结果，其中班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的结果有种， 班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率为． 15. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为cm的柜子里她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表： 碗的个数（个） 这擦碗的总高度（厘米） （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，描述出这摞碗的总高度（）随碗的个数（个）的变化规律，并求出所对应的函数表达式； （3）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】（1） 描点如图所示： （2）增加个碗，这摞碗的总高度增加厘米， （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断方法及待定系数法求一次函数的判断方法、一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据表格中的数据对描点即可； （2）将这些点连线，描述随的变化规律，判断函数类型并利用待定系数法求出函数关系式即可； （3）根据列关于的一元一次不等式并求其解集，从而求出的非负整数最大值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象可知，这些点分布在同一条直线上，增加个碗，这摞碗的总高度增加厘米， 与之间是一次函数的关系， 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，得， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 一摞最多能叠个碗可以一次性放进柜子里． 16. 如图1，为的直径，为延长线上的点，为的切线，切点为，，垂足为，在上，连接，． （1）求证：为的切线； （2）如图2，是线段上一点，若平分，与线段交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明，如下，连接， ∵为切线， ∴， ∵，且为直径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理，则垂直平分，根据垂直平分线的性质，则；再根据切线的性质，，根据等边对等角，等量代换，则，即可； （2）根据，，则，则，再根据角平分线的性质，，相似三角形的判定，即可；由得，，则，推出，即，根据等角对等边，则，过点作交于点，根据等腰三角形的三线合一，则，根据勾股定理求出，再根据和是直角三角形，，求出的值，根据勾股定理，，求出，最后根据，求出，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵和是直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定和性质，正切的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正切的运用． 17. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ② （3）． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $