3.2 平面直角坐标系 课件　 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

过教材　要点概览 1.平面直角坐标系 在平面内,两条互相垂直且有　 　的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于　 　位置与　 　位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴称为　 　或横轴,铅直的数轴称为　 　或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为平面 直角坐标系的　 　.  2　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系的有关概念 公共原点 水平 铅直 x轴 y轴 原点 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 2.点的坐标 对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别称为点P的横坐标、纵坐标,有序数对　 　称为点P的坐标.  3.象限 在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四个部分,　 　的部分称为第一象限,其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.  (a,b) 右上方 2 4.平面直角坐标系内的点与坐标的关系 在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面内唯一的一点与它对应. 3 精讲练　新知探究 探究点一　平面直角坐标系与点的坐标 例1　如图所示的是一只鸭子的图案,请写出顶点A,B,C,D,E,F的坐标. 解:A(-1,0),B(0,1),C(1,1),D(1,-1),E(5,1),F(4,-2). 4 重点必记 写点的坐标时,横坐标写在前面,纵坐标写在后面;横、纵坐标的位置不能颠倒. 5 巩固训练 1.已知点P(3,-2),下列说法正确的是( ) A.在第一象限 B.到x轴的距离为3 C.到y轴的距离为2 D.到x轴的距离为2 D 6 2.如图所示,点A的坐标是　 　,在点A,B,C,D中,横坐标和纵坐标都是负数的点是点　 　,坐标是 (-2,2)的点是点　 　.  (3,3) C D 7 探究点二　由点的坐标确定位置 例2　在如图所示的平面直角坐标系中分别描出点 A(-3,0),B(2,0),C (1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来. 解:如图所示. 8 巩固训练 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点P的坐标为( ) A.(3,-2) B.(-2,3) C.(-3,2) D.(2,-3) A 9 知识点一　平面直角坐标系 1.下列关于平面直角坐标系的画法正确的是( ) A B C D 基础巩固练 01 2　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系的有关概念 B 2.(2024广西)如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为( ) A.(3,0) B.(0,2) C.(3,2) D.(1,2) C 11 3.下列说法正确的有　 　.(填序号)  ①在平面直角坐标系中,两条数轴是互相垂直的;②在指定的平面直角坐标系中,坐标轴上的点没有唯一对应的有序数对;③点(-1,6)和点(6,-1)不是同一点. 4.开放性题　已知点P(x ,y)位于第四象限,则点P的坐标可以是　 . .  ①③ (1,-1) (答案不唯一) 12 题组　点的坐标与距离 5.易错题　(2025青岛期中)在平面直角坐标系内有一点P,若点P位于第四象限,并且点P到x轴和y轴的距离分别为3,4,则点P的坐标是( ) A.(-3,4)　　　　　B.(4,-3) C.(-4,-3) D.(3,-4) 6.已知点P(a,4)到x轴的距离小于到y轴的距离,则a的值可以是( ) A.1　　　　　　　 B.-2 C.3 D.-5 B D 13 知识点二　由点的坐标确定位置 7.(2023盐城)在平面直角坐标系中,点A(1,2)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(2024宿迁)点P(a2+1,-3)在第　 　象限.  A 四 14 9.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点,并将各点用线段依次连接. (-5,2),(-1,4),(-5,6),(-3,4),(-5,2). 解:如图所示. 15 能力提升练 02 10.(2024广元)若单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中,点(m,n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.(2023大庆)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是( ) A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b) D D 16 12.数经历了从自然数到有理数,到实数,再到复数的发展过程,数学中把形如a+bi(a,b为实数)的数叫作复数,用z=a+bi表示,任何一个复数z=a+ bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a,b)表示,如:z=1+2i表示为Z(1,2),则z=2-i可表示为( ) A.Z(2,0) B.Z(2,-1) C.Z(2,1) D.Z(-1,2) 13.新定义　易错题　如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为“和谐点”.若“和谐点”P到x轴的距离为3,则点P的坐标为 　 　.  B 17 14.如图所示建立的平面直角坐标系中,标明了小刚家附近的一些地方. (1)学校和文具店的坐标分别是　　　　,　　　　.  (2)某一天早晨,小刚从家里出发,沿(1,-2),(-1,0), (-2,-1),(-2,2),(1,2),(0,1)的路线转了一圈,又回 到家里,写出他路上经过的地方. 解:(1)(-2,-2)　(-1,0) (2)他路上经过的地方有副食店、汽车站、二姨家、娱乐中心、公园、文具店. 18 (3)连接他在(2)中路过的地点,你能说出它像什么吗? 解:(3)如图所示,此图形像一个箭头. 19 素养培优练 03 15.已知点A,B都是x轴上的点,若点A的坐标为(4,0),且AB=5,点C的坐标为(2,5),请写出点B的坐标,并在如图所示的平面直角坐标系中画出符合条件的△ABC. 解:点B的坐标为(-1,0)或(9,0), △ABC有两种情况,如图所示. 20 谢谢观赏！ 21 (,3)或(,-3) $$ 过教材　要点概览 1.各象限内点的坐标特征 第一象限内点的坐标符号为　 　,第二象限内点的坐标符号为　 　,第三象限内点的坐标符号为　 　,第四象限内点的坐标符号为　 　.如图所示.  第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征 (+,+) (-,+) (-,-) (+,-) 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 2.特殊位置上的点的坐标特征 (1)平行于坐标轴的直线上点的坐标特征:平行于x轴的同一直线上,各点的　 　坐标相同;平行于y轴的同一直线上,各点的　 　坐标相同.  (2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点的　 　坐标为0;y轴上的点的 　 　坐标为0.  (3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征:若点P(x,y)在第　 　象限的角平分线上,则x与y相等;若点P(x,y)在第　 　象限的角平分线上,则x与y互为相反数.  纵 横 纵 横 一、三 二、四 2 精讲练　新知探究 探究点一　特殊位置上的点的坐标特征 例1　在如图所示的平面直角坐标系中(每个小正方形的边长都为1个单位长度),描出下列各点:A(-2,-1),B(2,-1),C(2,2),D(3,2),E(0,3),F (-3,2),G(-2,2).并依次将各点连接起来,观察所连出的图形,它像什么? 3 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上? (2)线段AB和x轴有什么位置关系?点A和点B的坐标有什么共同特点? 解:如图所示,连出的图形像“房子”. (1)点E(0,3)在y轴上. (2)线段AB平行于x轴,点A和点B的纵坐标相同. 4 巩固训练 1.已知点A(3a+5,a-3)在第一、三象限的角平分线上,则a的值为( ) A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 2.若点A(-2,n)在x轴上,则点(n+1,n-3)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,1),B(2,3),C(a,b),若BC∥x轴,AC ∥y轴,则点C的坐标为( ) A.(-2,1) B.(2,-3) C.(2,1) D.(-2,3) B D D 5 探究点二　各象限内点的坐标特征 例2　(1)在平面直角坐标系中,点A(-1,-2)在第　 　象限.  (2)若点A(-a,b)在第一象限,则点B(a,b)在第　 　象限.  三 二 6 巩固训练 4.A(5,-3),B(-2,6),C(-3,-6),D(-3,4)四点在第二象限的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B A 三 7 知识点一　坐标轴上点的坐标特征 1.在平面直角坐标系中,点(0,-4)在( ) A.x轴上 B.y轴上 C.第二象限 D.第三象限 2.若点P(m+3,m+1)在x轴上,则点P的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,2) C.(4,0) D.(0,-4) 基础巩固练 01 第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征 B A 知识点二　象限内点的坐标特征 3.若点P在第二象限,点P到x轴的距离是7,到y轴的距离是3,则点P的坐标是( ) A.(-7,3) B.(7,-3) C.(-3,7) D.(3,-7) 4.(2024高青期末)已知点A(m,n),且有mn≤0,则点A一定不在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.坐标轴上 C A 9 5.已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m+1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.在平面直角坐标系中,已知点P(a,b),且ab>0,a+b>0,则点P在第　　 . 象限.  知识点三　平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 7.已知点A(a-2,2a+7),点B(1,5),直线AB∥y轴,则a的值是( ) A.1 B.3 C.-1 D.5 A 一 B 10 8.(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点(小方格的边长为1): A(1,2),B(-3,3),C(1,3),D(-1,3),E(1,-4),F(3,3).由描出的点你发现了什么规律? 解:(1)如图所示,发现的规律: 纵坐标相同的点在平行于x轴的直线上,横坐标相同的点在平行于y轴的直线上. 11 (2)应用:已知点P(m,-2),Q(3,m-1),且PQ∥x轴,求线段PQ的长. 解:(2)因为PQ∥x轴,所以m-1=-2, 所以m=-1,所以P(-1,-2),Q(3,-2), 所以PQ=|-1-3|=4. 即线段PQ的长为4. 12 能力提升练 02 9.(2024砀山期中)若点 P(x,y) 的坐标满足 xy=0,则点P( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.是坐标原点 D.在x轴上或在y轴上 D 13 C A 14 12.易错题　若点M(x,y)的坐标满足(x+y)2=x2+y2+2,则点M所在象限是 　 　.  13.易错题　在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,4),B(-2,-1),C(a-3, 2a+1),CD⊥AB于点D,且CD=3,则点C的坐标是　 　.  14.如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形边长为1,点O,A,B在方格的顶点(格点)上,在第四象限内的格点中找点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有　 　个.  第一象限或第三象限 (-5,-3)或(1,9) 3 15 15.在平面直角坐标系中,已知点A(-a,3a+2),B(1,a-2). (1)若点B在第一象限的角平分线上,则a=　 　;  (2)若点A到x轴的距离是到y轴的距离的4倍,则点A的坐标为　 . 　;  (3)若线段AB∥x轴,则线段AB的长为　 　.  3 (-2,8)或 1 16 16.已知点M(3a-8,a-1),分别根据下列条件求出点M的坐标. (1)点M在x轴上; (2)点M在第二、四象限的角平分线上; 解:(1)因为点M在x轴上,所以a-1=0. 所以a=1,所以3a-8=3-8=-5. 所以点M的坐标是(-5,0). 17 (3)点N的坐标为(1,6),并且直线MN∥y轴. 解:(3)因为直线MN∥y轴,N(1,6), 所以3a-8=1,解得a=3. 所以a-1=3-1=2. 所以点M的坐标为(1,2). 18 素养培优练 03 17.新定义　对于平面直角坐标系xOy中的点 P(a,b),若点P′的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+2×4,2×1+4),即P′(9,6). (1)点P(-2,3)的“3属派生点”P′的坐标为　 　;  (2)若点P(a,b)在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为点P′,且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍,则k的值为　 　.  (7,-3) ±2 19 谢谢观赏！ 20 5.如果点A(m-4,1-2m)在第三象限,那么m的值满足( ) A.<m<4 B.m> C.m<4 D.m>4 6.若点P(m,n)在第二象限,则点Q(m,-n)在第　 　象限.  10.(青海中考)如图所示,A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点C的坐标为( ) A.(3,0) B.(,0) C.(-,0) D.(-3,0) 11.在平面直角坐标系中,点P(m,2-2m)在第二、四象限的角平分线上, 则m的值是( ) A.2 B.- C. D.-2 (,) (2)因为点M在第二、四象限的角平分线上,所以3a-8+a-1=0,解得a=. 所以3a-8=3×-8=-,a-1=-1=.所以点M的坐标为(-,). $$ 过教材　要点概览 1.根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 根据已知点,先推算出原点的位置,画出横轴和纵轴,再利用所建立的平面直角坐标系,确定出其他位置点的坐标. 2.根据图形特征建立平面直角坐标系的方法 (1)选择特殊点作为坐标原点(如正方形的顶点、等边三角形一边的中点等); (2)选择特殊边(或线段)所在的直线为坐标轴(如三角形或长方形的边、 等腰三角形的底边等). 第3课时　建立适当的坐标系描述图形的位置 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 例1　如图所示的是小明所在学校的平面示意图,已知宿舍楼的位置是(3,4),艺术楼的位置是(-3,1). (1)根据题意,画出相应的平面直角坐标系; 解:(1)如图所示. 2 (2)分别写出教学楼、体育馆的位置; (3)若行政楼的位置是(-1,-1),在图中标出行政楼的位置. 解:(2)由平面直角坐标系,知教学楼的位置是(1,0),体育馆的位置是(-4,3). (3)行政楼的位置如图所示. 3 巩固训练 1.如图所示,如果“仕”所在位置的坐标为(-1,-2),“相”所在位置的坐标为(2,-2),那么“炮”所在位置的坐标为( ) A.(-3,1) B.(1,-1) C.(-2,1) D.(-3,3) A 4 2.如图所示的一枝玫瑰花,将其放在平面直角坐标系中,表示花瓣两侧A,B两点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,3),则茎部“底端”点C的坐标是 　 　.  (1,-2) 5 探究点二　根据图形特征建立平面直角坐标系 例2　如图所示,已知直角梯形上底为3,下底为5,一个底角为45°,请建立适当的平面直角坐标系,写出图形中四个顶点的坐标,并求出梯形的 面积. 6 7 巩固训练 3.若以点B为原点建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(3,4).若以点A为原点建立平面直角坐标系,则点B的坐标为( ) A.(-3,-4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(3,4) 4.长方形ABCD的长和宽分别为4和3,其中三个顶点在坐标轴上,第四个顶点在第二象限,并且它的一条长和一条宽在坐标轴上,若平面直角坐标系的单位长度为1,则第四个顶点的坐标可能为　 　.  A (-4,3)或(-3,4) 8 5.在例2中,若以顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系,请直接写出直角梯形四个顶点的坐标. 解:A(-3,-2),B(-3,0),C(0,0),D(2,-2). 9 知识点一　根据已知点的坐标求其他点的坐标 1.如图所示,在长方形ABCD中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D的坐标为 ( ) A.(-2,-1) B.(4,-1) C.(-3,-2) D.(-3,-1) 基础巩固练 01 第3课时　建立适当的坐标系描述图形的位置 D 2.(2025青岛期末)如图所示是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的坐标为( ) A.(2,-2) B.(2,-3) C.(3,-2) D.(3,-3) B 11 3.(2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 12 4.如图所示是一足球场的半场平面示意图,已知球员A的位置为(-1,-1),球员C的位置为(0,1),则球员B的位置为　 　.  (2,0) 13 知识点二　根据图形特征建立平面直角坐标系 5.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=6,底边BC=4. (1)建立适当的坐标系,写出各顶点的坐标; 解:(1)如图所示,以底边BC所在直线为x轴,BC上的高所在直线为y轴,BC的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(答案不唯一). 14 (2)求△ABC的面积. 15 能力提升练 02 6.有甲、乙、丙三人,他们所在的位置不同,他们三人都以相同的单位长度建立不同的坐标系,甲说:“如果以我为坐标原点,乙的位置是(4,3);”丙说:“以我为坐标原点,乙的位置是(-3,-4);”如果以乙为坐标原点,甲和丙的位置分别是( ) A.(3,4),(-3,-4) B.(4,-3),(3,-4) C.(-3,-4),(4,3) D.(-4,-3),(3,4) D 16 7.如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标. 17 8.如图所示是某台阶的一部分,各台阶的宽与高均相等,其中点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,1). (1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点C,D,E,F的坐标; 解:(1)如图所示,以A点为原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立 平面直角坐标系. C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4), F(5,5). 18 (2)如果点A所在平面为地面,台阶有10级,你能求得该台阶的水平长度 (包括点A)和高度吗? 解:(2)每级台阶高为1,宽也为1,所以10级台阶的高度为 10,水平长度 为11. 19 素养培优练 03 9.如图所示,在一次“寻宝”游戏中,已知寻宝图上两个标志点A(-3,0)和点B(5,0),宝藏分别埋在C(3,4)和D(-2,3)两点.请你首先建立平面直角坐标系确定宝藏的位置,然后在图上标出“宝藏”的位置并计算出四边形ABCD的面积. 20 21 谢谢观赏！ 22 解:(答案不唯一)建立平面直角坐标系如图所示,点A的坐标为(0,0),过点C作CE⊥AD,垂足为E,则AE=BC=3. 因为∠EDC=45°,∠CED=90°, 所以∠ECD=45°. 所以∠ECD=∠EDC.所以CE=ED. 所以CE=ED=5-3=2. 所以B(0,2),C(3,2),D(5,0). 梯形的面积为×(3+5)×2=8. 因为AB=AC=6,底边BC=4, 所以OB=OC=BC=2. 所以OA===4. 所以A(0,4),B(-2,0),C(2,0). 解:(2)由题意,得 S△ABC=BC×OA=×4×4=8, 即△ABC的面积为8. 解:答案不唯一.如图所示,以D为坐标原点,分别以OC和AD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,则D(0,0),A(0,4),B(6,4),C(6,0). 过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点F. 因为AE=BE,所以AF=AB=×6=3. 在Rt△AEF中,EF===4,则EG=4+4=8. 故点E的坐标是(3,8). 解:如图所示,建立平面直角坐标系, 因为点A(-3,0),点B(5,0),点C(3,4),点 D(-2,3),所以四边形ABCD的面积是++=23. $$