精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量检测数学试题

庐江县2024/2025学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由得 故选：C 2. 设的内角所对边的长分别为，若,则角= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 3. 已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义结合已知条件求出、的值，即可求得的值． 【详解】解：甲组数据25，27，36，，43，57共6个数， 乙组数据23，，32，43，47，54共6个数， 由，则甲组数据的分位数为27，可知； 由，则乙组数据的分位数为，可知，． 则． 故选：B． 4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面的平行及垂直进行判断． 【详解】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【详解】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：D. 6. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：A. 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由，同时平方可得，故可判断C正确；由，，可得，，进而可得，即，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误； 对于B，在上的投影向量的坐标为，故B正确； 对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确； 对于D，因为，，，所以，， 所以，所以，所以不是锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶点 B. 共有32条棱 C. 表面积为 D. 体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图知该多面体有24个顶点，36条棱，AB错误； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 则该多面体的表面积为，C正确； 正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为， 过作平面于，连接，如下图： 由平面，且平面，得， 正方形中，由边长为，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为，D正确． 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为300、300、400、500件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品抽取____________件． 【答案】20 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义进行求解即可. 【详解】应从丁种型号的产品抽取件. 故答案为：20. 13. 在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 14. 已知点为内一点，且，则的面积之比等于_______． 【答案】​ 【解析】 【分析】先由构建平行四边形，确定O、A、B、C的位置，再结合三角形面积公式，结合边长的比例关系得出与或的比例关系，即可得出所求面积之比 【详解】由可作图如下，、不共线，，以为边构成平行四边形MOAP，， 则由三角形面积公式易得 ， ， ， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知m为实数，设复数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出关于的不等式组，解出即可； （2）先得z在复平面内对应的点的坐标，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以； 【小问2详解】 复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为. 16. 庐江县某中学高一年级有1500名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1500名学生的数学平均分（保留到整数）； （2）已知样本中成绩在内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率． 【答案】（1），1050，126 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和1除以组距10，再减去其它四个矩形的高，求出不低于分的频率再乘以总人数即可，直接利用每个小矩形底边中点的横坐标乘上面积的累和即可； （2）计算出在的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，利用古典概型来求解概率即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为： ， 成绩不低于120分的频率为：； 所以高一年级不低于120分的人数为：人． ； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人中抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种．其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为． 17. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由和差角公式可得求解， （2）根据同角关系可得，进而由面积公式得，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; 【小问2详解】 由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得， 则， 所以的周长为. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角为， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点M，连接，，因为F为的中点，则且， 又由于E为的中点，且，∴四边形是平行四边形， ∴．又平面，而平面，∴平面； （2）①证明：连接，，因为，，而E为的中点，故，， 所以为二面角的平面角，在中，由，，可得， 在中，由，，可得， 在中，由，由余弦定理的，所以为直角， ，又，从而，且， 所以，平面，又平面，所以，平面； ② 【解析】 【分析】（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可； ②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②连接，由①可知，平面，所以为直线与平面所成的角， 由以及已知，得到为直角， 而，可得，又， 故在直角三角形中，． 19. 已知，是的中点． （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若点是内一点，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【解析】 【分析】 （1）根据向量数量积等于，可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据向量加法、减法以及数量积的坐标表示即可求向量的夹角. （2）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示即可求解. （3）设，可得，利用向量的数量积可得，，再将平方，根据向量数量积定义以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系． 令，则， 所以， 设向量，与向量的夹角为， ， （2）因为，所以， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系． 因为，则， 设 ， 当且仅当时，的最小值是． （3）设， ， 同理：， 当且仅当时，所以． 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量数量积的定义、利用向量数量积求向量的夹角，考查了运算求解能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庐江县2024/2025学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设的内角所对边的长分别为，若,则角= A. B. C. D. 3. 已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 32 D. 48 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶点 B. 共有32条棱 C. 表面积为 D. 体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为300、300、400、500件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品抽取____________件． 13. 在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 14. 已知点为内一点，且，则的面积之比等于_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知m为实数，设复数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 16. 庐江县某中学高一年级有1500名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1500名学生的数学平均分（保留到整数）； （2）已知样本中成绩在内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率． 17. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角为， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知，是的中点． （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若点是内一点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $