精品解析：安徽省合肥市庐江县2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

庐江县2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 命题人：夏友才 毕光胜 审题人：杨新生 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 集合，，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知，（为虚数单位），则等于（ ） A. －1 B. 1 C. －4 D. 3 3. 已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 5. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为 A. B. C. D. 8. 函数的定义域为R,，当时，；对任意的，.下列结论：①；②对任意，有；③是R上的减函数.正确的有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多选题：本题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分. 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为4 11. 已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，为BD的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 在任何位置，都存在 B. 若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，当二面角为时，三棱锥的体积为 D. 若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为______. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________ 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与向量的夹角为，且，，. （1）求的值； （2）记向量与向量的夹角为，求. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 17. 2024年安徽省首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：，其中，分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，，分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，表示某等级内考生的原始分，表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五入”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表： 等级 A B C D E 比例 赋分区间 （1）我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分； （2）现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示.求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”. （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庐江县2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 命题人：夏友才 毕光胜 审题人：杨新生 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 集合，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集和并集的定义直接求解. 【详解】集合，， 则，. 故选：B 2. 已知，（为虚数单位），则等于（ ） A. －1 B. 1 C. －4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等的条件列式即可求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：C 3. 已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数. 【详解】由图得样本容量为， 抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户． 故选B. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则，故A正确； 若，，，则或，故B错误； 由，，推不出，故C错误； 由，，，推不出，故D错误； 故选：A 5. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以. 故选：D. 6. 我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合勾股定理可求得灯光带的最小长度. 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 7. 定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果. 【详解】由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件， 所以恰好为“凸数”的概率为. 故选D 【点睛】本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型. 8. 函数的定义域为R,，当时，；对任意的，.下列结论：①；②对任意，有；③是R上的减函数.正确的有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由赋值法可得再由，得即可得②成立；由单调性的定义对任意的，不妨设，判断的正负可得③错误. 【详解】令，则，又因为，所以，故①正确； 当时，，当时，，即当时，； 当时，，则， 由题意得，则，故②成立； 对任意的，不妨设，故存在正数使得，则 ， 因为当时，，所以， 因为对任意的，有，所以， 故，即，所以是上的增函数，故③错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的赋值法，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分. 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40， 这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确； C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数， 这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确； D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动， 所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误； 故选：ABC. 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，，则，解得， 则，，假设存在实数使得，则，方程无解， 则不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，为BD的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 在任何位置，都存在 B. 若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，当二面角为时，三棱锥的体积为 D. 若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线垂直可得线面垂直，进而可判断A，根据直二面角，利用线线平行即可利用三角形的边角关系求解B，根据三棱锥的体积公式即可求解C，利用勾股定理，结合二面角的平面角即可求解半径，由体积公式即可求解D. 【详解】连接，则， 对于A,平面， 平面平面,，故A正确； 对于B：由题目条件可知，，为二面角的平面角， 平面平面所以，取的中点的中点， 连接，，则， 且， （或其补角）为异面直线与所成的角，， 在中，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C：由上面的推导可知为二面角的平面角， ，由（2）可知，当时，， 又平面三棱锥的体积为，故C正确； 对于D：由上面的推导可知为二面角的平面角， 所以， 且平面， 外接圆的半径为. 设为外接圆的圆心，则， 所以三棱锥的外接球的球心在过点且与平行的直线上， 设，则由得，得， 所以，所以外接球的体积为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断D选的关键是：利用勾股定理，结合二面角的平面角即可求解半径，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值． 【详解】解：已知， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 13. 公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求解． 【详解】3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的情况有 甲乙完成丙未完成、甲丙完成乙未完成、乙丙完成甲未完成、甲乙丙都完成， 所以3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率 . 故答案为：. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】令AF=1，延长AD交BC于M，求出AB，BM，DM，再借助平面向量基本定理即可作答. 【详解】因，令AF=1，则有，中，， 由余弦定理得，延长AD交BC于M，如图， 由正弦定理得，则有，， ， 中，由正弦定理得，而， 因此得，，于是有，， ，， 因，由平面向量基本定理得，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与向量的夹角为，且，，. （1）求的值； （2）记向量与向量的夹角为，求. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知等式，结合数量积的定义可求得结果； （2）先求出，，然后利用向量的夹角公式可求出，再利用余弦的二倍角公式可求得结果. 【小问1详解】 由，所以 【小问2详解】 因为， ， 所以， 所以. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理将化为，再利用余弦定理可求,则得到； （2）由，利用基本不等式可得，又，则利用三角形的面积公式，即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由余弦定理得， 化简得， 所以在中由余弦定理可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，，，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 故面积的最大值为. 17. 2024年安徽省首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：，其中，分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，，分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，表示某等级内考生的原始分，表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五入”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表： 等级 A B C D E 比例 赋分区间 （1）我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分； （2）现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示.求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）. 【答案】（1）73分 （2）87分 【解析】 【分析】（1）将数据代入题设转换公式即可解出； （2）根据小矩形面积和为1求出，再设第85百分位数为，列出方程，解出即可. 【小问1详解】 依题意： ， ， 代入转换公式， 即：，解得：. 所以该生政治科目今年高考的原始分为73分. 【小问2详解】 ∵，∴. 设化学原始成绩等级中的最低分为x，即第85百分位数， ∵，， ∴，得， 综上，估计我省化学原始成绩等级中的最低分为87分. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设AC交BD于M，连接ME，则利用三角形的中位线定理得，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知得，，则由线面垂直的判定定理可得平面PAC，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）找到线面角即为，再根据三角函数定义即可得到答案. 【小问1详解】 设AC交BD于M，连接ME. ∵ABCD为正方形， ∴M为AC中点，又E为PA的中点， ∴ME为的中位线，则， 又平面，平面BDE， ∴平面. 【小问2详解】 ∵ABCD为正方形， ∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又，平面， ∴平面. ∵平面BDE， ∴平面平面. 【小问3详解】 连接， ∵平面， ∴PM是PB在平面PAC上的射影， 为直线与平面所成的角， ∵，易知， ∴，， ∴. 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”. （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明； （2）恒成立，从而，根据得到，得到答案； （3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案. 【小问1详解】 证明：任取正常数T，存在，即， ∵，即不恒成立， ∴不是“T同比不减函数”. 【小问2详解】 ∵函数是“同比不减函数”， ∴恒成立， 即恒成立， ， 故， 因为，，所以， ∴， ∴k的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 当，， 当，， 当， 由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示： 根据图象易得：要使对任意的x恒成立， 只需，对任意的恒成立， ∴即可， ∴. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $