6.1 平均数与方差教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第3课时　方差 课标摘录 1.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的方差。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解方差的定义及其统计学意义,掌握方差的计算方法。 2.能够通过方差分析数据的离散程度。 3.体会方差在实际生活中的应用价值,增强学习数学的兴趣。 教学重难点 重点:方差的概念及计算方法。 难点:理解方差的意义及其与数据离散程度的关系。 教学策略 本节课通过生活实例引入方差的概念,利用图和实例帮助学生理解方差的意义。通过小组讨论和实际问题分析,深化对方差的理解。设计不同难度的练习题,满足不同学生的学习需求。最后引导学生总结方差的特点及应用场景。 情境导入 某学校要选拔一名学生参加市级数学竞赛,两名候选人在最近的五次模拟测试中成绩(单位:分)如下, 甲:70,85,90,55,95;乙:78,82,80,79,76; 两人五次测试的平均分都是79分,如果只能选择1人参赛,你认为谁更合适?为什么? 新知初探 探究一　方差的概念 活动1:在本节一开始的射击问题中,甲与丁每次的射击成绩如图64所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击表现有什么评价? 　图64 (1)你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗?与同伴进行交流。 学生活动:学生先独立思考,然后再小组交流。各小组之间竞争回答,答对的加分,给予鼓励。 教师总结: 在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况。 在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和,即S=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+] 其中,是x1,x2,…,xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。 一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定。 意图说明 通过实例展示两组数据的分布图,帮助学生直观感受数据的离散程度,帮助学生初步理解方差的意义,加深对方差的概念及计算方法的理解。 探究二　方差或标准差的计算 活动2:计算图64中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环)。 解:=(6+7×3+8×5+9×3+10)=8(环), =[(6-8)2+(7-8)2×3+(8-8)2×5+(9-8)2×3+(10-8)2]=, =≈1.04(环)。 所以,甲射击成绩的标准差约为1.04环。 活动3:思考·交流 问题1:计算图61中丙射击成绩的方差,并对甲、丙的射击成绩进行比较。 解:=(6+7+8×2+9×6+10×3)≈8.69(环), =[(6-8.69)2+(7-8.69)2+(8-8.69)2×2+(9-8.69)2×6+(10-8.69)2×3]≈1.29 从平均数角度比较:=8(环)　=8.69(环),说明丙的平均射击水平比甲高; 从方差角度比较:=　=1.29,<,甲的射击成绩比丙更稳定; 综上,丙的平均射击水平比甲高,但甲的射击成绩比丙更稳定。 问题2:丁又进行了几次射击,这时,他所有射击成绩的平均数没变,但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点?与同伴进行交流。 意图说明 通过直接计算方差,让学生熟悉方差公式的运用,掌握方差的计算步骤。同时,引导学生对比两组数据的方差结果,直观地理解方差大小与数据离散程度的关系,即方差越大,数据越分散;方差越小,数据越集中。这有助于学生建立起对方差这一概念的初步认知,明确方差在描述数据特征方面的作用。 当堂达标 课堂小结 板书设计 方差 1.离差平方和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.方差 3.标准差 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　平均数与众数 课标摘录 1.理解平均数、众数的意义,能计算平均数、众数,知道它们是对数据集中趋势的描述。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解算术平均数、众数的概念,会求一组数据的算术平均数和众数。 2.经历用平均数描述数据集中趋势的过程,发展数据分析观念。 3.通过使用平均数和众数解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系。 教学重难点 重点:能求算术平均数和众数。 难点:能熟练求出一组数据的算术平均数和众数。 教学策略 为了帮助学生更好地理解概念、掌握计算方法并能够灵活应用,设计了以下教学策略。通过四人射击训练成绩引入概念,激发兴趣,利用图表、动画展示数据分布,帮助学生理解概念,该策略注重概念理解、实际应用和学生的主动参与,旨在提高教学效果。 情境导入 小松鼠对小马说:这条河平均水深1米,太危险了。小马说:我的身高已经长到1米5了,上一次都轻松过河了,这次就更没有问题了。 请问小马过河有危险吗? 新知初探 探究一　众数和算术平均数 活动1:在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁四人的成绩如图61所示。 图61 问题: (1)观察统计图,甲的哪个射击成绩出现次数最多?其他选手呢? (2)不计算,请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的? (3)算一算,验证你的判断是否正确。 学生活动:学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流。各小组之间竞争回答,答对的加分,给予鼓励。 预设学生答案:(1)甲8环射击成绩出现次数最多,乙7环射击成绩出现次数最多,丙9环射击成绩出现次数最多,丁6、10环射击成绩出现次数最多。 (2)观察统计图,丙的射击成绩中9环和10环的次数相对较多,且成绩分布相对集中在较高环数,所以初步判断丙的射击成绩最好。 (3)经过计算甲和丁的平均射击成绩是8环,乙的平均射击成绩小于8环,丙的平均射击成绩约为8.7环,所以丙的射击成绩最好。 归纳总结:一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数(mode)。例如,甲射击成绩的众数是8环,丁射击成绩的众数是6环和10环。 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数,就得到这组数据的算术平均数(mean),简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标,反映了一组数据的“中心”。 一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫作这n个数的算术平均数,简称平均数,记为。 活动2:思考·交流 问题: (1)一组数据的平均数一定在这组数据中吗? (2)如果甲又射击一次,意外脱靶,成绩为0环,那么这时甲的平均成绩会发生什么变化? (3)在某些比赛评分时,常常去掉一个最高分和一个最低分,然后计算平均成绩,你能说说这样做的好处吗?与同伴进行交流。 预设学生答案: (1)一组数据的平均数不一定在这组数据中。 (2)甲的平均成绩会降低,因为加入了一个数值为0的极端值,拉低了整体的总和,在数据个数增加的情况下,平均成绩变小。 (3)去掉最高分和最低分能减少异常评分对最终成绩的过度影响,使成绩更能反映选手的真实水平。 意图说明 通过让学生分组探究,竞争回答问题,进一步探索出算术平均数的概念,激发学生的积极性,让学生体会算术平均数的现实意义。 探究二　平均数、众数的应用 活动3:某店铺一种商品10天的销售量及顾客对店铺的评分如图62和图63所示。 图62　图63 (1)请你计算这种商品10天的平均销售量。 (2)顾客对店铺评分的众数是多少?顾客对店铺评分的平均数呢? 解:(1)根据平均数计算公式可得: (121+138+156+148+152+141+128+130+125+122)÷10=136.1(件) 所以,这种商品10天的平均销售量是136.1件。 (2)从图63可知,评分为3分的人数为836人,占比83.6 %,人数最多。所以,顾客对店铺评分的众数是3分。 由图63可知,评1分的有10人,评2分的有32人,评3分的有836人,评4分的有101人,评5分的有21人。总人数为10+32+836+101+21=1 000(人),根据算术平均数公式可得: (1×10+2×32+3×836+4×101+5×21)÷1 000 =(10+64+2 508+404+105)÷1 000 =3 091÷1 000 =3.091(分) 所以,顾客对店铺评分的平均数是3.091分。 活动4:回顾·反思 从统计图中获取众数、平均数,你有哪些经验? 意图说明 让学生理解众数和算术平均数的概念,能熟练计算出一组数据的众数和算术平均数,探究众数和算术平均数在实际生活中的应用。 当堂达标 课堂小结 板书设计 平均数与众数 1.众数的概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.算术平均数的概念 3.算术平均数的计算 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　加权平均数 课标摘录 1.理解平均数的意义,能计算加权平均数,知道它是对数据集中趋势的描述。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解加权平均数的概念及其与算术平均数的区别。 2.掌握加权平均数的计算方法。 3.体会加权平均数在生活中的应用价值,增强学习数学的兴趣。 教学重难点 重点:加权平均数的概念及计算方法。 难点:理解“权”的意义,并能根据实际问题确定权重。 教学策略 本节课通过生活实例引入加权平均数的概念,利用图表和实例帮助学生理解权重的作用。通过小组讨论和实际问题分析,深化对加权平均数的理解。设计不同难度的练习题,满足不同学生的学习需求。最后引导学生总结加权平均数的特点及应用场景。 情境导入 假设学生甲的平时成绩是80分,期中成绩是85分,期末成绩是90分,如果老师希望计算学生的期末总评成绩时,平时成绩占30 %,期中成绩占20 %,期末成绩占50 %,该如何计算? 新知初探 探究一　加权平均数 活动:某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗,虾仁鲜肉馄饨15元/碗,荠菜鲜肉馄饨12元/碗,玉米鲜肉馄饨10元/碗,香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨,其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理?你是怎么想的?与同伴进行交流。 尝试·交流 小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 15×+15×+12×+10×+10×=11.4(元)。 问题1:你认为他的算法合理吗?为什么?与同伴进行交流。 问题2:如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个,虾仁鲜肉馄饨3个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨 1个,香芹鲜肉馄饨 1个,那么该如何定价呢?若每种馄饨各2个,又该如何定价呢? 15×+15×+12×+10×+10×=13.4(元)。 若每种馄饨各2个,定价为15×+15×+12×+10×+10×=12.4(元)。 问题3:你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关? 归纳总结:在很多实际问题中,一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”。例如,在一碗“全家福”馄饨中,不同馅料的馄饨个数不同,影响着这碗“全家福”馄饨的定价,因此不同馅料馄饨的占比就是权,我们称15×+15×+12×+10×+10×为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数。 想一想,加权平均数和算术平均数有什么区别和联系? 意图说明 通过对加权平均数概念的解析,帮助学生理解“权”的意义,并能根据实际问题确定权重,使学生初步理解加权平均数的计算方法。 探究二　例题讲解 例题 某校进行广播操比赛,评分包括以下几项(每项满分10分):服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩分别如下: 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播操比赛成绩,那么哪个班的成绩最高? 解:一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分); 二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分); 三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分)。 所以,三班成绩最高。 在例题中,你认为哪个评分项更为重要?请按自己的想法设计一个评分方案,并与同伴进行交流。 思考·交流 问题1:已知A,B两家网站客户的日人均上网时间分别是2 h和1 h,这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2+1)÷2=1.5(h)吗?为什么?与同伴进行交流。 问题2:设A,B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h,A,B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人,你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗? 分析:A,B两家网站所有用户的日人均上网时间为,它不是两个网站各自用户日人均上网时间a和b的算术平均数,而是a,b的加权平均数a+b,权重,反映了两家网站用户的分布情况。这是分布式计算的最简单形式,对于多个网站也可以类似计算。在大数据时代,分布式计算具有广泛的应用。 意图说明 通过例题的讲解,让学生能根据实际问题确定权重,使学生熟练掌握加权平均数的计算方法。 当堂达标 课堂小结 板书设计 加权平均数 1.加权平均数的概念　　　　　　　　　　　　　2.加权平均数与算术平均数的区别 3.例题讲解 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　组内离差平方和 课标摘录 1.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的离差平方和、方差。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解方差的概念,掌握方差的计算公式。 2.理解组内离差平方和最小的含义,并能运用其解决实际问题。 3.能够运用方差分析数据,比较不同组数据的离散程度。 教学重难点 重点:方差的计算公式及其应用,组内离差平方和最小的含义及其应用。 难点:理解组内离差平方和最小的含义,并能灵活运用其解决实际问题。 教学策略 用生活实例引入,分析天气特点、球员成绩稳定性、产品质量波动,激发兴趣;结合图表直观展示数据离散程度,帮助学生理解方差概念;设置小组讨论,帮助学生掌握“组内离差平方和达到最小”的方法,巩固知识,锻炼思维,培养合作意识。 情境导入 某日,A,B两地的气温如图65所示: A地 B地图65 (1)不进行计算,说说A,B两地这一天气温的特点。 (2)分别计算这一天A,B两地气温的平均数和方差,所得结果与你刚才的看法一致吗? 新知初探 探究一　方差的应用 活动1:尝试·思考 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下。 甲:585,596,610,598,612,597,604,600,613,601; 乙:613,618,580,574,618,593,585,590,598,624。 (1)甲、乙的平均成绩分别是多少? (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少? (3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点? (4)历届比赛成绩表明,成绩达到5.96 m就很有可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明,成绩达到6.10 m就能打破纪录,那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢? 解:(1)=(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)÷10=601.6(cm), =(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)÷10=599.3(cm), (2)=65.84;=284.21。 (3)由上面计算结果可知:甲队员的平均成绩较好,也比较稳定,乙队员的平均成绩没有甲队员好,也不稳定。 (4)从平均数分析可知,甲、乙两队员都有夺冠的可能。但由方差分析可知,甲队员成绩比较平稳,夺冠的可能性比乙队员大。但要打破纪录,成绩要比较突出,因此乙队员打破纪录的可能性大,我认为为了打破纪录,应选乙队员参加这项比赛。 意图说明 针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识,课本设计了一个现实生活中的例子,旨在消除学生的这种片面的看法,从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响,体会数据的波动是广泛而有特点的。 探究二　组内离差平方和 活动2:思考·交流 10个苹果的直径如图66所示。 图66 问题1:若想把这10个苹果分成两组,使每组苹果的“个头”差不多,你想怎么分?说说你分组的理由。 问题2:一般情况下,如果想把一组数据分成若干组,使每组组内的数据差距不大,且组与组之间的数据差别明显,那么你认为应遵循怎样的分组原则?与同伴进行交流。 小结: 在统计学里,分组的方法有很多,其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 例题 按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把图66中的10个苹果按直径大小分成两组。 解:将10个数据由小到大排序: 65,69,70,75,76,76,78,80,80,81。 把10个数据分成两组,共有9种情况:第一组1个数据{65},第二组9个数据{69,…,81};第一组2个数据{65,69},第二组8个数据{70,…,81};……;第一组9个数据{65,…,80},第二组1个数据{81}。 以第2种分组情况为例,计算组内离差平方和。其中,第一组有2个数据{65,69},这2个数据的平均数是67,故第一组数据的组内离差平方和S1=(65-67)2+(69-67)2=8;第二组有8个数据{70,75,76,76,78,80,80,81},这8个数据的平均数是77,故第二组数据的组内离差平方和S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90 因此第2种分组情况的组内离差平方和:S=S1+S2=8+90=98。 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和,结果如下: 分组情况 组内离差平方和 第一组1个,第二组9个 146.889 第一组2个,第二组8个 98 第一组3个,第二组7个 48 第一组4个,第二组6个 74.25 第一组5个,第二组5个 98 第一组6个,第二组4个 107.583 第一组7个,第二组3个 136.095 第一组8个,第二组2个 182.375 第一组9个,第二组1个 218 计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65,69,70},{75,76,76,78,80,80,81}。 意图说明 通过例题讨论中学生的反应,使教师及时了解学生对“组内离差平方和达到最小”的方法的理解和掌握情况,以便教师及时对学生进行矫正。 当堂达标 课堂小结 板书设计 组内离差平方和 1.方差的作用　　2.利用方差解决实际问题 3.利用组内离差平方和最小对数据进行分组 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$