北京市朝阳区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 2025.7 (考试时间120分钟满分150分) 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)已知朵合A={-2,0,2,5},B={x∈N1x2<5},则AUB= (A){0,1,2} (B){-2,0,1,2} (C){0,1,2,5} (D){-2,0,1,2,5} (2)已知a,b为非罗实数且a<b,则 (A)片>活 (总>号 (C)a寸>b时 (D)3->3-b (3)2025北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展 区、出版梢品展销区、京津冀及其他地区文旅展示区、“旧书新知”专区、实体书店街区、 儿峦粉品阅读区、特价书展销区、潮卖场、阅读新场景区和动漫电竞区.某市民决定从这 些展区中选出两个不同展区分别安排在上、下午进行深度游览体验，则该市民不同的安 排种数为 (A)45 (B)90 (C)100 (D)180 (4)在(2-是)”的展开式中，女的系数是 (A)40 (B)-40 (C)10 (D)-10 (5)若存在实数x使得x2-2x+1<0成立，则实数k的取值范围是 (A)(-o,1) (B)(-0,0] (C)(0,1) (D)[0,1) 高二数学试卷第1页（共6页） (6)在某场半程马拉松比赛上，10位选手的完赛成绩（单位：小时）分别为：2.9,1.6,2.1， 1.3,2.5,1.9,2.3,3.0,2.8,2.6,则这组数据的第75百分位数是 (A)2.5 (B)2.6 (C)2.8 (D)2.9 (T)背少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一，已知某地区高中、初中、小学在校学 生数之比为9：11：20，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机 抽样方法，得到高中在校学生近视率为78%，初中在校学生近视率为66%，小学在校学 生近视率为30%，则该地区中小学生总体近视率估计为 (A)58% (B)51% (C)47% (D)44% (8)已知函数f(x)的定义域为(0，+)，其导函数为f'(x)=(ax-1)nx(aeR),则“a>0” 是“f代x)恰有两个极值点”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(2-1)=x,若f(m)=-2, 则f代m+4)= (A)2 (B)1og23 (C)1 (D)-1 (10)现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚 骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y, 下列结论中正确的是 (A)P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6) (B)P(X=51Y=4)=P(X=41Y=5) (C)E(X+Y)=10 (D)D(X+)=4D(X) 第二部分（非选择题 共100分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (11)函数)=+V中的定义城是 (12)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数， 则EX= (13)若a≥0，b≥0且2a+b=8,则ab的最大值为 ;a+b的最小值为 (14)某校数学建模社团共有10名成员，其中高一男生3人，女生2人，高二男生2人，女生3 人，现从中选出4人组成一支队伍参加建模比赛，要求队伍中至少有2名女生且所有女 生都来自同一年级，则不同选法共有 种 n(x+1) (15)设实数a≥0，函数f代x)= x+12,-1<x<a, 则f0)= :若存在实数k使 x2-ax,x≥a, 得方程f代x)=k恰有三个不同的实数解，则α的一个取值为 (16)对任意的keN,定义函数F4(:)=x-1)x-k+1山给出下列四个结论： k! ①对任意的xeN”,有F2(x)≥x-1; ②对任意的∈N°，有F(1-x)=-F3(x-1); ③当xeN'且x>k时，F(x)=F-(x); ④当x∈R且k>1时，F-(x)+F(x)=F(x+1). 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (17)(本小题13分) 已知集合A=∈R12->01,B=xeR1am<2引. (I)当a=-2时，求AnB; (Ⅱ)若CRA二B,求实数a的取值范围. (18)(本小题13分) 某鸟禽馆有A,B,C三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园.为了合理规划，该馆先建设 一个小型试验园，包括浆果植物区、昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取100只鸟放置在 小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表： 浆果植物区 昆虫丰富区 水体区 A类 30只 2只 18只 B类 2只 6只 2只 C类 5只 2只 33只 用频率估计概率 (I)从该馆内随机抽取1只鸟，估计这只鸟是A类鸟的概率； (Ⅱ)此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取3只鸟，设X为其中C类鸟的只数，求X的 分布列和数学期望EX; (Ⅲ)为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取m只鸟进行健康检查，要求其 中至少有1只B类鸟的概率大于0.5，根据表中数据，写出m的最小值.（只需写出结 论，参考数据：lg2≈0.301,1g3≈0.477) (19)(本小题15分) 已知函数f(x)=(2+a账+1)e的图象经过点(0，) (I)当a=0时，求曲线y=f代x)在点(1，f代1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间： (Ⅲ)若f代x)≥二对xe[0,+o)恒成立，求实数a的取值范围 (20)(本小题14分) 设函数f代x)和函数g(x)的定义域都是实数集D,对任意的实数a∈D,定义集合 M。={yly=f(x)-g(a),x≥a且x∈D}. (I)若f(x)=e+co8x-1,g(x)=x,D=R,求集合M。中元素的最小值； (Ⅱ)若f代x)=ln(x+1)-x2-x,g(x)=e(x-1)-x2+2,D=（-1,+o),求证：对任意的 a∈D,集合M。中不存在正数 (21)(本小题15分) 设n为正整数，已知集合S={a1,a2,…,a2n},其中a4eN“(i=1,2,…,2n).若存 在k∈N',使得S中存在三个不同的数x,y,z满足x+k,y+k,x+k∈S,则称集合S具有 性质n. (I)判断集合S={1,2,4,5,7,8}是否具有性质D?说明理由； (Ⅱ)若集合S={a1,a2,a,a4具有性质，且a1+2+a3+a4=20,求a1a2aa4的值； (皿)若集合S={a1,a2,…,a2n}满足a4∈N°且a4≤n2(i=1,2,…,2n),求证：集合S具有性 质n. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 北京市朝阳区2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学参考答案 2025.7 一选择题（共10小题，每小题5分，共50分1 (1)D (2)D (3)B (4)A (5)A (6)C (7)B (8)B (9)c (10)C 二、填题（共6小题，每小题5分，共30分】 (11)[-10)U(0,+) (12)27 (13)8:4 (14)45 (15)0:3(答案不唯一)(16)①国© 三解若题（共5小题，共70分】 (17)(本小题13分) 解：(1)不等式艺二片>0的解集与(x-4)(2:-l)>0的解染相同， (x-4)(2x-1)>0屏得x<分或x>4, 所以(-m,之U(4,+m). 当a=-2时，由-2x<2得x>-1,所以B=(-1,+0). 所以AnB=(-l,之U(4,+0) n46分 ()(1)可知M(分41. (1)当a=0时，a<2成立，所以B=R,摘足心4Sa. (2)当a>0时，x<2的你为x<径，所以B=(-。,). 因为4SB,所以4<名，即0<a<分 所似0<a<分 (3)当a<0时，m<2的俪为r>名，所以B(径+m). 因为子<0，所以滨足4SR. 综上，a的攻值花固是(-®，宁》， 13分 (18)(本小题13分) 锦：(I)银银题中数烟，在100个种本中，A类鸟的贝数为30+2+18=50， 故从该馆内脑机抽取1只马，这只鸟是人类鸟的概率估计为器-宁 …3分 (Ⅱ)由念可知，X的所有可德取值为0,1,2 Po0斋 P(1) p爱品哈 所以X的分布列为： 0 1 2 7 7 1 15 5 5 则x的数学期组欧=0×名+1×径+2×名-号 444年卡04车4年g00年s0用 10分 (直)7. 19分 (19)(本小题15分) 师：因为0)=心=。，所以b=-山 (I)当aa0时，八)=(d+1)。l, 所以'(x)=(2+2+1)d. 所以八1)2，∫'(1)=4 所以曲候y可八)在点(1(1)处的切候方盈为ym4x-2…5分 (Ⅱ)由题可知八)(2+aw+1)。-l,定义城为R, 所以/"()a[2+(a+2)x+a+1]▣(s+1)(s+a+1)e-l 令'()=0得x=-1或"=-1-a 当。0时，∫"(x)≥0，所以/八x)的单地增区间是以-0，+0)：无单词进诚区间. 当c>0时，f'(x)与f八)的变化梢况如下表： (-m,-1-) -1-a (-1-a,-1) -1 -1,+0 '() + 0 0 ) 极大值 极小值 所以，函数代x)的单调递增区间是(-∞，-1-a),（-1,+0)； 单调递球区间是(-1-4，-1). 当a<0时，f'(x)与代x)的凌化情况如下表： -0,-1) -1 (-1,-1-a) -1-a (-1-a,+∞） 0 0 X 八s) 极大值 极小值 所以，效/(x)的单调迎增区间是(-的，-1)，(-1-a,+m): 单闻递诚区问是(-1，-1-a). 0多行中中8444年中04中专华中男特85年车 1山分 (直)当0时，由（Ⅱ）可知，八x)在区间[0，+∞)上单逆增， 所以当=a[0,+如)时，)≥o)=。 当-1≤a<0时，-1-a0,由(I)可知，八x)在区间[0，+o)上单遵增， 所以当sa[0,+0)时，)≥0)=。 当a<-1时，-1-a>0,由（Ⅱ）可如，)在区间(0，-1-a)上单测造减， 所以-1-o)<0)=。矛盾. 悠上，a的取值花因是[-1，+0) 15分 (20)(本小题14分) 扉1(I)由题意得M▣lyly f(N)-g(0),x0. 设()/w)-g(0)ad+cox-lsa[0,+0), 则'(w)口d-t血s 当aa[0,+o)时，P'(w）=d'-ainw'-l>0, 所以函数F(x)在区间[0，+∞)上单词递增. 所以当e[0,+∞)时，P(x)>(0)▣1. 所以集合M。中元赏的0小值为L.…6分 (Ⅱ)设c()=/八x)-6(a)al(x+1)--s-。(a-1)+a2-2,xe(-1,+m), 剥6（克-24-12+） 用+】 当xa(-1,0)时，G()>0,G()单阀递增， 当ma(0,+∞)时，C(s)<0,G()单视通减， (1)当-1<a<0时，G(w)在区向[a,+m)上的最大值为G(0)▣-6(a-1)+d3-2 令(x)=-0(x-1)+x-2,w(-1,0], 则()=-+2x=-x(。'-2), 当se(-1,0]时，'（✉）≤0，函数A(x)单网递减， 所以h()<h(-1)=2-1<0. 所以G(0)<0. 因为当-1<a≤0时，C(0)貉合M,中元欺的最大做， 所以集合M,中不存在正数， (2)当a>0时，C(x)在区间[a,+∞)上的大值为G(a)血(a+1)-a-。(a-1)-2 令(x)口血(8+1)-x-d(g-1)-2,￥a(0,+m), 则r'(a倒-+)， 当s(0,+)时，u'(s)<0,面数u()单闭递诚， 所以(x)<u(0)=-1<0. 所以G(a)<0. 因为当a>0时，G(a)是集合M,中元资的最大值， 所以祭合M,中不存在正数. 悠上，结论成立· 14分 (21)(本小题15分) 解：(I)集合S具有性质D,理由如下： 令ka1,当e=1,ya4,=7时， s+k=2GS,y+k=5G3,+k=86S, 所以桑合S具有在质n 4分 (Ⅱ)不妨设a1<a<马<ar 对任意￥eN”,a,+￥>au,所以au+xeS. 因为员合S具有性质n,故存在keN”,使得4+k,4+k,马+kaS 又因为a1<a1+b<a+k<马+k, 所以a4+ka马，42+ka4,4tk=a4: 所以a4-马=a-42=4-41=k 又因为a+41+4+au=20, 所以4a1+6k=20,即2a1+3h=10. 7 当k1时，4=zN∵，矛盾 当k=2时，41=2，此时8=2,4,6,81 当k>3时，2a1G1,矛盾. 综上，Sm12,4,6,81. 所以41a401a=2×4x6×8=384 …9分 (Ⅱ)不坊没a1<a1<…< 假设鼻合S不具有性质n, 即对任意keN”,S中不存在三个不同的效s,y,:演足x+k,Y+k,x+keS 为84-41马-a-,",4--1 则不存在三个不同的正整数r,5,l词足4，-a,=4,-4-1=a,一a1, 即至多存在两个不同的正整败r,s潮足4，-a,-1=4,-4-1 因为41-4>0，=1,2，"2n-1, 所拟4-44-44-马…4-4中至多有两个1，两个2，…，两个n, 所以%-41=(a-4-i）+(aal-aa2）+…+(a-0) ≥2[1+2+…+(n-1)]+n=n2 于是≥41+2>m2,与a≤m2矛盾. 所以很设不成立，故跟合S具有性贤几…15分