精品解析： 江苏省宿迁市宿城区南京师范大学附属中学宿迁分校学院路校区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南京师大附中宿迁分校学院路校区 八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 C. 如果，那么 D. 将芝麻油滴在水中，油会浮在水面上 2. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的图象上有两点，，过这两点分别向轴引垂线交轴于，两点．连接，，与相交于点，记，梯形的面积分别为，，则有（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 8. 如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A. 1 B. C. 1.5 D. 二、填空题（共10小题，每题3分、共30分） 9. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 若，则分式的值为______． 11. 化简：__________． 12. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 13. 如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__． 14. 已知方程的两根分别为，则的值等于 __． 15. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为_______． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 17. 如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则_____． 18. 如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______． 三、解答题（共10小题，共计96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中x在﹣1，2，0中选一个你认为适当的数代入求值． 22. 某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）第一版=____%，“第四版”对应扇形的圆心角为________°； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 24. “你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 25. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）求证：； （2）若，求菱形的面积． 26. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 27. 我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 ， ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 28. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京师大附中宿迁分校学院路校区 八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 C. 如果，那么 D. 将芝麻油滴在水中，油会浮在水面上 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可； 【详解】解：车辆随机到达一个路，遇到红灯是随机事件，故A不符合题意； 掷一枚之地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故B不符合题意； 如果，那么a=b是随机事件，故C不符合题意； 将芝麻油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件可能性大小的判断，准确分析是解题的关键． 2. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0． 根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案． 【详解】解：选项A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误； b有可能为0，故选项B错误； 分式的分子和分母同乘，且，符合分式的基本性质，故选项C正确． 故选C． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 4. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，分别表示出慢马和快马所需的时间，进而根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设规定时间为天，则可列方程为 故选：B． 5. 如图，在的图象上有两点，，过这两点分别向轴引垂线交轴于，两点．连接，，与相交于点，记，梯形的面积分别为，，则有（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．根据图形、三角形的面积公式（反比例函数系数的几何意义）可得和的面积相等，都减去公共部分的面积可得，的大小关系． 【详解】∵，在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF= AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=7，由EF=DE-DF可得答案． 【详解】∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=8,D为AB中点, ∴DF=AB=AD=BD=4， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴AE=EC， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE−DF=3， 【点睛】此题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解题关键在于利用直角三角形斜边上中线的定理 8. 如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A. 1 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 二、填空题（共10小题，每题3分、共30分） 9. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 10. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的减法计算得到，再整体代入即可得到答案．熟练掌握分式的减法和整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为： 11. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用二次根式的除法法则计算后再进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 13. 如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__． 【答案】50°##50度 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴， ∴∠C=∠ABF． 又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°． ∵ EF⊥BF，∴∠F=90°， ∴∠BEF=90°﹣40°=50°． 故答案为50°． 14. 已知方程的两根分别为，则的值等于 __． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．由题意可得，由根与系数的关系可得：，，把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为， ∴，，， ∴ ． 故答案为：8． 15. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 根据旋转的性质和从而求得，从而求得． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 17. 如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，作轴于，轴于，利用反比例函数系数的几何意义得出，根据平行四边形的性质得出，的面积为，根据平行线分线段成比例定理证得，故设，则，即可得到，解得，正确表示出的坐标，得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图： ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵平行四边形的对角线相交于点， ， ， ， ∴设，则， 的面积为8， 的面积为2， ， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE＝， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 三、解答题（共10小题，共计96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质、零次幂、绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程-配方法，熟练掌握解题方法是解题的关键． （1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答 【小问1详解】 解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程增根，原分式方程无解； 【小问2详解】 ， ， ， 即， ∴， ∴， ． 21. 先化简，再求值：，其中x在﹣1，2，0中选一个你认为适当的数代入求值． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，2，0中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】， ＝ ＝ ＝ ＝﹣x（x+1）， 当x＝0时，原式＝﹣0×（0+1）＝0． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）第一版=____%，“第四版”对应扇形的圆心角为________°； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 【答案】（1）30%；120°； （2）如图； （3）320人. 【解析】 【分析】（1）设样本容量为x．由题意=10%，求出x即可解决问题，然后求出第一版的百分比，最后用第四版的百分比乘以360°求出其圆心角的度数． （2）求出第三版”的人数为60-18-6-20=16，画出条形图即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】（1）设样本容量为x．由题意=10%，x=60，则第一版===30%，第四版的圆心角=×360°=120° （2）第三版的人数为60-18-6-20=16人 （3）该校有1200名学生,估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为1200×=320人. 【点睛】本题考查条形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，扇形统计图，本题较基础，学生们须掌握以上概念. 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值有0，1，2． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 24. “你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【答案】件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 25. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）求证：； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； （2）96 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，，推出平行四边形是矩形，得到，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为：． 26. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴， ∴一次函数解析式为． 把代入，得． ∴． 把代入，得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 解：当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 27. 我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 ， ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1），； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． 【小问3详解】 解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 28. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） ， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于H，于W，作于G，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点P在与成的直线上运动，延长至R，使，作于V，连接，交直线于，当点P在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 作于H，于W，作于G，连接 ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形是矩形， ∴矩形正方形，， ∴ ∵射线绕点O逆时针旋转交于点F， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵O和P关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在与成的直线上运动， 延长至R，使，作于V，连接，交直线于， 当点P在处时，最小， ∵ ∴最小，最小值是的长度， 可得， ∵ ∴ ∴ ∴（负值已舍去） 解得 在中， ∴最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $