天津市南开中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

南开中学2022-2023学年度第二学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：100分钟 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 3. 已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m//α，α∩β=n，则m//n B. 若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D. 若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β 4. 从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ） A. 事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B. 事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C. 事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D. 事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 5. 为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方体的棱长为1，点在棱（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面内不存在直线与垂直； ②平面与平面所成的锐二面角为； ③当点运动到棱的中点时，线段上存在点，使得平面； ④设点为线段的中点，则三棱锥的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 Ⅱ卷（共68分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 9. i为虚数单位，若复数，则______ 10. 已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______． 11. 已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为______． 12. 在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为______． 13. 设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为______. 14. 为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则______，______． 三、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，，过作底面的垂线，垂足在线段上．点分别为棱和的中点． （1）证明四点共面，且平面； （2）证明直线与平面不垂直； （3）若平面，求的大小． 南开中学2022-2023学年度第二学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：100分钟 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小题，每小题4分，共32分． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C Ⅱ卷（共68分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）人 （3）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）； 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $