2.4平面向量基本定理及坐标表示 学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 2.4平面向量基本定理及坐标表示 知 识 梳 理 一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 注意：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量. 2．如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算． 二：平面向量的坐标表示 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 注意：如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2．平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 注意：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 三：平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2) =(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1) 实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y) 2．如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 四：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示 设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0. 注意：若，则∥不能表示成因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 =(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)， 若则A，B，C三点共线. 例题讲解 考法一 平面向量基底的辨析 例1、已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(    ) A．， B．， C．， D．， 考法二 平面向量的基本定理 例1、已知在中，点在边上，且，则(    ) A． B． C． D． 例2、如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 例3、已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则( )    A． B． C． D． 例4、如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点N与点C不重合)，设，则的值为(    )    A．3 B．4 C．5 D．6 例5、如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示． 例6、如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 考法三 线性运算的坐标表示 例1、已知向量，若，则实数m等于(    ) A． B．0 C．1 D． 例2、己知向量，且与共线，则(    ) A． B． C． D． 例3、已知向量，且，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 例4、 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标。 例5、已知，且求M、N及的坐标. 例6、已知三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2）并且，求证：。 例7、平面内给定三个向量 (1)若求实数k； (2)设满足且求. 例8、如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标． 举一反三 1．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 2．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 3．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A． 和 B．和 C． 和 D．和 4.已知在平行四边形中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 5．如图所示，在中，，，若，，则( ) A． B． C． D． 6．在中，点满足，点满足，若，则(    ) A． B． C． D． 7．如图，在中，满足条件，若，则(    ) A．8 B．4 C．2 D． 8.如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：（1）；（2）；（3）. 9.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量． 10.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.G 11．已知向量，，则( ) A． B．5 C．7 D．25 12．已知向量．若非零实数满足，则(    ) A．3 B． C． D． 13．已知点，，三点共线，则( ) A．0 B．1 C． D． 14．(多选)已知，，下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 15．(多选)已知向量，，则( ) A．若与垂直，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为 16. 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标. 17.向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？ 18.已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若为实数，（a+b）∥c，则=（ ） A． B． C．1 D．2 19.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标． 课 后 作 业 1． 单选题 1．设向量，不平行，向量与平行，则实数(    )． A． B． C． D． 2．已知平面向量，则向量（ ） A． （-2，-1） B．（-2,1） C．（-1，0） D．（-1，2） 3．已知向量且.则，的值分别为( ) A. –2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 4．若向量，则（ ）． A. B. C. D. 5．已知向量=（3，2），=（x，4），且∥，则x的值是（ ） A．―6 B．6 C． D． 6．在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则(    ) A． B． C． D． 7．是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则(    ). A． B． C． D． 8．如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点(不含端点)，CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为(    )    A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知向量=（1，2），=（x，1）且+2与2―平行，则x等于（ ） A．4 B．2 C． D． 10．若三点共线，则有（ ） A． B． C． D． 11．已知分别是方向与轴，轴正方向相同的单位向量，设（其中），则向量位于（ ）。 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知，且，则锐角等于（ ）。 A．45° B．30° C．60° D．30°或60° 13．（多选）下列结论正确的是(    ) A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 2． 填空题 14． 已知点M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上，且，则= 。 15． 设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 16． 16.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 3． 解答题 17．已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（―2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（―1，―2），求平行四边形的各个顶点的坐标。 18．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及 求：(1)t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 19．如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 20．在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于. (1)若. ①用表示. ②若，求的值. (2)若，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.4平面向量基本定理及坐标表示 知 识 梳 理 一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 注意：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量. 2．如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算． 二：平面向量的坐标表示 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 注意：如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2．平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 注意：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 三：平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2) =(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1) 实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y) 2．如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 四：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示 设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0. 注意：若，则∥不能表示成因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 =(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)， 若则A，B，C三点共线. 例题讲解 考法一 平面向量基底的辨析 例1、已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C. 考法二 平面向量的基本定理 例1、已知在中，点在边上，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，又点在边上，且， 则，故选：A.    例2、如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则，又是上一点，所以，解得.故选：A. 例3、已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则( )    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ AD为边BC上的中线，∴ ， 又BE为边AC上的中线，∴ ， 又，∴ ，∴，故选：B. 例4、如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点N与点C不重合)，设，则的值为(    )    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设，则 ， 又因为G是的重心，故，所以有.故选：A 例5、如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示． 【答案】 【解析】设（m，n∈R），则． ， ∵A、M、D三点共线，，∴，即m+2n=1． ① 而，， ∵C、M、B三点共线，，∴，即4m+n=1． ② 由，解得，∴． 例6、如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】在中 考法三 线性运算的坐标表示 例1、已知向量，若，则实数m等于(    ) A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意：；故选：D. 例2、己知向量，且与共线，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，又与共线，，化简得.故选：C. 例3、已知向量，且，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】，由于，所以.故选：C 例4、已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标。 【解析】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，2sin60°）, . 例5、已知，且求M、N及的坐标. 【解析】 设，则 同理可求，因此 例6、已知三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2）并且，求证：。 【解析】设点，依题意有： ，，即。 同理，。 例7、平面内给定三个向量 (1)若求实数k； (2)设满足且求. 【解析】(1) (2) 又且 例8、如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标． 【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，则． ，由与共线得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得， 所以．所以P点坐标为（3，3）． 方法二：设P（x，y），则， 因为，且与共线，所以，即x=y． 又，，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P点坐标为（3，3）． 举一反三 1．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误； 对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误； 对于C，，和共线，不能作为一组基底，C正确； 对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误. 故选：C. 2．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C 3．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A． 和 B．和 C． 和 D．和 【答案】B 【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以不共线；所以和不共线，和不共线，和不共线；所以选项A,C,D都可以作为基底；B中，，所以和共线，不能作为基底．故选：B 4.已知在平行四边形中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】结合图形，根据向量的线性运算即得. 【详解】因为，，，，四边形为平行四边形， 则，故选：D. 5．如图所示，在中，，，若，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选：B 6．在中，点满足，点满足，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点满足，所以为的中点，所以，又， 所以，所以，又， 因为，所以，即， 所以，解得，所以.故选：C 7．如图，在中，满足条件，若，则(    ) A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，,所以， 即，又，所以，故.故选：A. 8.如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：（1）；（2）；（3）. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）==== （2）= （3）在中，取 同理：，是的中点== 9.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量． 【答案】 【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足 ． 由C、E、M三点共线知存在实数n，满足． 所以． 即，解得，即． 10.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.G 【答案】4 【解析】设 又 …① 又，而 ………………② 比较①②，由平面向量基本定理得： 解得：或（舍） ，把代入得： . 11．已知向量，，则( ) A． B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】根据题意，向量，，则，故.故选：B． 12．已知向量．若非零实数满足，则(    ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，． 因为，所以，整理得，即．故选:A． 13．已知点，，三点共线，则( ) A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，，三点共线，所以可设， 因为，，所以，解得， 所以.故选：B. 14．(多选)已知，，下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，所以，故A正确； ，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB. 15．(多选)已知向量，，则( ) A．若与垂直，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】A：与垂直，则，可得，故错误； B：，则，可得，故正确； C：有，则，可得，故正确； D：时，有，所以，即与的夹角不为，故错误. 故选：BC 16. 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标. 【解析】设点C、D的坐标分别为， 由题意得 因为，所以有和，解得和 所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而 17.向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？ 【解析】 ，． ∵A、B、C三点共线，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0． 整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线． 18.已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若为实数，（a+b）∥c，则=（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 19.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标． 【解析】设． ∵，∴． 又，而与共线，∴4(10―11)+8(4+1)=0， 解之，得．设点P的坐标为（xP，yP），∴， ∴，即．故点P的坐标为（6，4）． 课 后 作 业 1． 单选题 1．设向量，不平行，向量与平行，则实数(    )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量与平行，得，而向量不平行， 于是，所以.故选：A 2．已知平面向量，则向量（ ） A． （-2，-1） B．（-2,1） C．（-1，0） D．（-1，2） 【答案】A 3．已知向量且.则，的值分别为( ) A. –2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 【答案】D 4．若向量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】令，，解得即． 5．已知向量=（3，2），=（x，4），且∥，则x的值是（ ） A．―6 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】 由∥3×4=2x，∴x=6． 6．在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平行四边形中,，则∽， 因为点是上靠近的四等分点，所以，所以，    故．故选：B． 7．是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设 ， 所以，即， 又，故.故选：A 8．如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点(不含端点)，CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为(    )    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设，则， 因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，故， 因为∽，所以， 设，则，， 故，故， 同理可得，， 因为∽，所以， 设，则，，， 故，，则 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故.故选：C 9．已知向量=（1，2），=（x，1）且+2与2―平行，则x等于（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】 +2=（1+2x，4），2―=（2―x，3），∴. 10．若三点共线，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 11．已知分别是方向与轴，轴正方向相同的单位向量，设（其中），则向量位于（ ）。 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 12．已知，且，则锐角等于（ ）。 A．45° B．30° C．60° D．30°或60° 【答案】A 【解析】 由，得，解得。又为锐角，。 13．（多选）下列结论正确的是(    ) A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 【答案】CD 【【解析】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误； 对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确； 对于D，由向量共线定理可知， 其中，若则，故D正确. 故选：CD. 2． 填空题 14． 已知点M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上，且，则= 。 【答案】 【解析】由，，又，。 15．设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【解析】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 16.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 3． 解答题 17．已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（―2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（―1，―2），求平行四边形的各个顶点的坐标。 【解析】设其余三个顶点的坐标分别为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）， 因为M是AB的中点，所以，， 解得x1=8，y1=―1， 设MN的中点O＇（x0，y0），则，，而O＇既是AC的中点，又是BD的中点， 所以，， 即，， 解得x2=4，y2=―3， 同理解得x3=―6，y3=―1， 所以B（8，―1），C（4，―3），D（―6，―1）。 18．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及 求：(1)t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【解析】(1) ，若P在x轴上，则2+3t=0，； 若P在y轴上，只需1+3t=0，； 若P在第二象限，则. (2)因为若OABP为平行四边形，则 无解，所以四边形OABP不能成为平行四边形. 19．如图，在中，是边上的中线． (1)取的中点，试用和表示； (2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意，为的中点，所以， 又为的中点， 所以． (2)由，，， 得，， 所以， 因为E，F，G三点共线，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 20．在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于. (1)若. ①用表示. ②若，求的值. (2)若，求的最小值. 【答案】(1)①；② (2). 【解析】(1)①因为，所以， 故在中， ； ②因为三点共线，设， 所以， 因为， 所以， 所以 又由①及已知，， 所以，解得. (2)因为，又三点共线，设， 所以， 又因为，所以， 所以，， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$