精品解析：山西省运城市运康中学2024-2025学年七年级下学期期中考数学试卷

山西运城市运康中学2024-2025学年度 七年级下学期数学期中考试卷 考试范围：北师大版7下1--3章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 只手遮天 D. 水中捞月 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 3. 如图，小明在起跳线AB右侧的起跳点起跳，落在点P处，欲知小明的跳远成绩应测量（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 4. 电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（ ） A. 第3排和第3列所在的直线是平行关系 B. 第5排和第10排所在的直线是相交关系 C. 第2列和第18列所在的直线没有交点 D. 第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 5. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则a、b、c、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 8. 一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 9. 如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知，则（ ） A. 100° B. 125° C. 120° D. 135° 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是___________． 12. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是______． 13. 已知，则______． 14. 计算：______． 15. 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）（－a2）3＋a2·a3＋a8÷（－a）2； （2）（x－y）8÷（y－x）7·（x－y）． 17. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 18. （1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 19. 八年级（1）班共有4个小组，各组男、女生人数如下表： 性别 第一组人数 第二组人数 第三组人数 第四组人数 男 7 6 7 5 女 6 6 5 8 现决定从全班学生中随机选取一名代表参加学校郊游活动的前站准备工作．估计下列事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）代表是第二组的学生； （2）代表是第三组的女生； （3）代表不是第四组的男生也不是第三组的女生； （4）代表是男生． 20. 数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 21. 【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ． 李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 22. 某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米． （1）用多项式表示一个游泳池的面积； （2）当时，求两个游泳池的总面积． 23. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西运城市运康中学2024-2025学年度 七年级下学期数学期中考试卷 考试范围：北师大版7下1--3章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 只手遮天 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的判断，解题关键是明确一定发生的事件是必然事件即可． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件，符合题意； B. 守株待兔是随机事件，不符合题意； C. 只手遮天是不可能事件，不符合题意； D. 水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 3. 如图，小明在起跳线AB右侧的起跳点起跳，落在点P处，欲知小明的跳远成绩应测量（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点到直线的距离， 根据点到直线的距离即垂线段即可得出结论． 【详解】解：∵小明的真实成绩是点P到直线的距离， ∴欲知小明的跳远成绩应测量的长． 故选：A 4. 电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（ ） A. 第3排和第3列所在的直线是平行关系 B. 第5排和第10排所在的直线是相交关系 C. 第2列和第18列所在的直线没有交点 D. 第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，根据若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．一一判断即可． 【详解】解：．第3排和第3列所在的直线是垂直关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第5排和第10排所在的直线是平行关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第2列和第18列所在的直线没有交点，原说法正确，故该选项符合题意； ．第4排和第6列所在直线的交点一定是第4排的第6个座位，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 6. 若，，则a、b、c、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，计算每一项再比较即可，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：；；， ， ∴． 故选：A． 7. 两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 8. 一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，列出长方形面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．长方形的长为米，长方形的宽为米，长方形的面积为，根据平方差公式计算再比较即可得出答案． 【详解】解：长方形的面积为， ∴长方形的面积比正方形的面积小了100平方米， 故选：A． 9. 如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握多项式乘单项式乘法运算法则，是解题的关键．根据被除式除式商，求出结果即可． 【详解】解：被除式应该为： ． 故选：B． 10. 如图，当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知，则（ ） A. 100° B. 125° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】解：∵，在水中平行的光线在空气中也是平行的 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选C． 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是___________． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 12. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是______． 【答案】同角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，补角的性质，根据同角的补角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴和都是的补角， ∴依据同角的补角相等可得， 故答案为：同角的补角相等． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键，逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算与有理数的简便计算的结合，掌握同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15. 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是______． 【答案】512 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意可知各项系数之和为，然后把代入计算即可． 【详解】解：各行系数和：当时：所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， … 可知，当时，各项系数之和为：， 故答案为：512． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）（－a2）3＋a2·a3＋a8÷（－a）2； （2）（x－y）8÷（y－x）7·（x－y）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘除计算法则和完全平方公式进行计算求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 原式 ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘除法以及完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 17. （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 18. （1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】 （1）如图所示： （2）；（3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点， （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 19. 八年级（1）班共有4个小组，各组男、女生人数如下表： 性别 第一组人数 第二组人数 第三组人数 第四组人数 男 7 6 7 5 女 6 6 5 8 现决定从全班学生中随机选取一名代表参加学校郊游活动的前站准备工作．估计下列事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）代表是第二组的学生； （2）代表是第三组的女生； （3）代表不是第四组的男生也不是第三组的女生； （4）代表是男生． 【答案】（2）、（1）、（4）、（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，先求出总人数，然后再分别计算出各事件的概率，最后比较即可得出答案． 【详解】解：八年级（1）班的总人数为：（人）， （1）代表是第二组的学生的概率是：， （2）代表是第三组的女生的概率是；， （3）代表不是第四组的男生也不是第三组的女生的概率是； （4）代表是男生的概率是． 这些事件可能性从小到大的顺序为：（2）、（1）、（4）、（3） 20. 数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用， （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可； （3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ， ， ， ， ； （3）设，，则，， ． 21. 【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ． 李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ； （2）， 选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）第三个因式为 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）略 （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 22. 某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米． （1）用多项式表示一个游泳池的面积； （2）当时，求两个游泳池的总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积； （2）结合（1）的结论，将带入到整式并计算，即可得到答案． 【小问1详解】 根据题意得：； 【小问2详解】 两个游泳池的面积为， 将代入上式，得． ∴两个游泳池的总面积为． 23. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）；理由： 如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据阅读材料中得出的结论进行求解即可； （2）过点作，根据阅读材料提供的方法，进行求解即可； （3）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （4）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（3）中结论得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据阅读材料可知：， ∵，， ∴； （2）过点作， ， ， ， ， ． （3）略 （4）过Q作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $