山东省平邑第一中学2024-2025学年高二下学期数学考前练兵试题

2025年平邑一中高二（下）考前练兵(解析版） 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知函数，则　　 A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数，则线性相关程度最高的是　　 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（5分）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有　　 A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 4．的展开式中第4项的系数是　　 A．20 B．15 C．160 D．120 5．某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布．考试成绩140分及以上者可以进入决赛．本次考试可以进入决赛的人数大约为　　 附：，，． A．26 B．52 C．456 D．13 6．已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的值为　　 A．1 B． C．2 D． 7．已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，（2），则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．下列说法正确的有　　 A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B．已知一组数据，，，，的方差为2，则，，，，的方差为2 C．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则 D．若随机变量服从正态分布，，则 10．设，是一个随机试验中的两个事件，若（A），（B），，则　　 A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是　　 A．当时，在，（1）处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则， D．若恰有两个零点，则 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．若一个四位数（可以有重复数字）每一位都从1、2、3、4、5五个数字中选取，可以构成 　　个这样的四位数（用数字作答）． 13．在，，三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 　　 ；如果此人患流感，此人选自地区的概率是 　　 ． 14．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 　　 ． 四．解答题（共5小题，满分32分） 15．在的展开式中，第3项的二项式系数为28． （Ⅰ）求第5项的系数（要算出具体数值）， （Ⅱ）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由． 16．有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示． 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入（亿元） 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 商品销售额（万元） 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同． 参考数据：，，，，． 17．已知函数． （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 18．2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技，受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”．根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率． （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军．预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军．已知这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况． （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （Ⅰ）若是，上的“好函数”，求的取值范围； （Ⅱ）证明：是上的“好函数”． 设，证明：． 2025年平邑一中高二（下）考前练兵 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C A B B C 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知函数，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ，解得， ， ． 故选：． 2．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数，则线性相关程度最高的是　　 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】 【解答】解：越接近于1，两个变量的线性相关程度越高， ，则线性相关程度最高的是乙． 故选：． 3．（5分）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有　　 A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 【答案】 【解答】解：有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻， 则不同的站法共有种． 故选：． 4．（5分）的展开式中第4项的系数是　　 A．20 B．15 C．160 D．120 【答案】 【解答】解：因为的展开式中第4项为， 即系数是160． 故选：． 5．（5分）某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布．考试成绩140分及以上者可以进入决赛．本次考试可以进入决赛的人数大约为　　 附：，，． A．26 B．52 C．456 D．13 【答案】 【解答】解：统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布． 所以，， 所以， 所以， 故本次考试可以进入决赛的人数大约为． 故选：． 6．（5分）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，． 故选：． 7．（5分）已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由分布列性质可知：，即， 故． 故选：． 8．（5分）已知定义在上的函数满足，（2），则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于， 所以不等式的解集为． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）下列说法正确的有　　 A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B．已知一组数据，，，，的方差为2，则，，，，的方差为2 C．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则 D．若随机变量服从正态分布，，则 【答案】 【解答】解：5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，错； ，，，方差为2，设，则， 所以，则， 即，，，方差为2，正确； 将代入得，则，错； ，为分布曲线的对称轴，则， 由，则， 因此，，正确． 故选：． （多选）10．（6分）设，是一个随机试验中的两个事件，若（A），（B），，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，是一个随机试验中的两个事件，（A），（B），， （B），故正确； ，故正确； ， ，故正确； ，故错误． 故选：． （多选）11．（6分）已知函数，下列结论正确的是　　 A．当时，在，（1）处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则， D．若恰有两个零点，则 【答案】 【解答】解：对于，当时，，， 则（1），（1）， 故切线方程是，即，故正确； 对于，当时，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 故（1），故正确； 对于，令，则，记，则， 当，，单调递增，当，，单调递减， 故，又，，而，， 故当时，此时直线与有两个不相等的交点， 当或，时，直线与有1个交点，故错误，正确． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若一个四位数（可以有重复数字）每一位都从1、2、3、4、5五个数字中选取，可以构成 　　个这样的四位数（用数字作答）． 【答案】625． 【解答】解：若一个四位数（可以有重复数字）每一位都从1、2、3、4、5五个数字中选取， 则可以构成个这样的四位数． 故答案为：625． 13．（5分）在，，三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 　　 ；如果此人患流感，此人选自地区的概率是 　　 ． 【解答】解：记事件：选取的这个人患了流感，记事件：此人来自地区，记事件：此人来自地区，记事件：此人来自地区， 由题意可得，，，，，， 由全概率公式可得（D）（E）， 所以． 故答案为：0.0485；． 14．（5分）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】，， 【解答】解：函数恰好有三个单调区间， 有两个不相等的零点， 则只需满足：，解得且． 故答案为：，，． 四．解答题（共5小题，满分32分） 15．在的展开式中，第3项的二项式系数为28． （Ⅰ）求第5项的系数（要算出具体数值）， （Ⅱ）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由． 【答案】（Ⅰ）第5项的系数1120． （Ⅱ）展开式中没有常数项，理由见解答． 【解答】解：（Ⅰ）因为多项式的展开式第3项的二项式系数为28． 可得，即， 解得或（舍去）， 故的值为8． 第5项的系数：． （Ⅱ）因为的展开式中，展开式通项， 当时，解得，所以展开式中没有常数项． 16．（15分）有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示． 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入（亿元） 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 商品销售额（万元） 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同． 参考数据：，，，，． 【答案】图象详见解析，可以推断居民年收入与商品销售额正相关，即居民年收入越高，商品销售额也越大． 【解答】解：画出散点图如下．从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性相关关系． ． 可以推断居民年收入与商品销售额正相关，即居民年收入越高，商品销售额也越大． 17．已知函数． （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 【答案】（1）在，，上单调递增，没有单调递减区间； （2）的单调递增区间是和，单调递减区间是，最大值为1，最小值为． 【解答】解：（1）由得，， 当时，，， 则恒成立， 故在，，上单调递增，没有单调递减区间； （2）由得，， 由题意知， 所以， 故，，， 当或时，，当时，， 因此，的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以在区间，上的最大值是， 又因为当时，，所以是的最大值， 同理可知，是的最小值． 18．（17分）2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技，受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”．根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率． （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军．预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军．已知这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况． （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率． 【答案】（1）分布列见解析，； （2）（ⅰ）； （ⅱ）． 【解答】解：（1）由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为， 随机抽取3人，表示3人中学过围棋的学生人数， 则可能的取值为0，1，2，3，且， 所以；； ； ． 则的分布列为： 0 1 2 3 所以． （2）（ⅰ）由题意得：八名运动员各自夺冠的概率之和为1，夺冠概率相同， 夺冠的概率为，即最终夺冠的概率为． （ⅱ）记事件 “获得亚军”，事件 “与对弈过”， 事件 “与在第轮对弈”， ，2， 则． 不妨设在①号位，则 ．在第1轮能与对弈的位置编号为②， 则； ．在第2轮能与对弈的位置编号为③或④， 则； ．在第3轮能与对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧ 则； 综上所述：． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （Ⅰ）若是，上的“好函数”，求的取值范围； （Ⅱ）证明：是上的“好函数”． 设，证明：． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）证明详见解析； 证明详见解析． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，任意，，， 且，都有， 即， 即， 又，所以， 即， 令，则对恒成立， 等价于对恒成立， 设，则，， 所以在单调递减，所以（2）， 故的取值范围为，； （Ⅱ）证明：设，，且， 则， 令，且，记， ，则在上单调递增， 所以（1），即， 故是上的“好函数”； 证明：由可知，当，， 且时，， 令，，，则， 即， 所以，， ，，， 累加，得， 化简可得． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年平邑一中高二（下）考前练兵（原卷版） 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知函数，则　　 A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数，则线性相关程度最高的是　　 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（5分）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有　　 A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 4．的展开式中第4项的系数是　　 A．20 B．15 C．160 D．120 5．某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布．考试成绩140分及以上者可以进入决赛．本次考试可以进入决赛的人数大约为　　 附：，，． A．26 B．52 C．456 D．13 6．已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的值为　　 A．1 B． C．2 D． 7．已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，（2），则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．下列说法正确的有　　 A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B．已知一组数据，，，，的方差为2，则，，，，的方差为2 C．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则 D．若随机变量服从正态分布，，则 10．设，是一个随机试验中的两个事件，若（A），（B），，则　　 A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是　　 A．当时，在，（1）处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则， D．若恰有两个零点，则 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．若一个四位数（可以有重复数字）每一位都从1、2、3、4、5五个数字中选取，可以构成 　　个这样的四位数（用数字作答）． 13．在，，三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 　　 ；如果此人患流感，此人选自地区的概率是 　　 ． 14．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 　　 ． 四．解答题（共5小题，满分32分） 15．在的展开式中，第3项的二项式系数为28． （Ⅰ）求第5项的系数（要算出具体数值）， （Ⅱ）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由． 16．有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示． 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入（亿元） 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 商品销售额（万元） 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同． 参考数据：，，，，． 17．已知函数． （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 18．2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技，受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”．根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率． （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军．预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军．已知这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况． （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （Ⅰ）若是，上的“好函数”，求的取值范围； （Ⅱ）证明：是上的“好函数”． 设，证明：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$