《1.3全等三角形的判定（二）--ASA》导学案 暑假预习手册5－2025－2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册5-《1.3全等三角形的判定（二）--ASA》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法 “ 角边角 ” （ASA），能准确表述其内容。 2.学会运用 “ 角边角 ” （ASA）判定定理证明两个三角形全等。 3.通过预习，提高对图形的观察、分析能力，以及逻辑推理能力。 ) ( 一、 预习内容 （一）探究SAS判定方法 【活动】 （1）用纸板挡住两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?果能，你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗? 2.如图，给定 △ ABC，在透明纸上用直尺和圆规作 △ A'B'C'，使得 ∠ B'= ∠ B, ∠ C = ∠ C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 通过实践，人们得到了如下基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “ 角边角 ”“ ASA ” ) . 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. ) ( 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中 ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （ASA）. （二） .  “ 角边角 ” （ASA）判定定理的应用 例1. 已知：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. 例2. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC = CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？ 例3 .如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC， ∠ B = ∠ C. 求证：（1）AD = AE；（2）BD = CE. ) ( 例4. 已知：如图，AB=AE， ∠ 1= ∠ 2， ∠ B= ∠ E. 求证：BC=ED． 例5 ．如图已知，EC=AC， ∠ BCE= ∠ DCA， ∠ A= ∠ E．求证：BC=DC． 例 6. 如图1在 △ ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB， AC上，且DE ‖ AC,DF ‖ AB.求证: △ EBD ≌△ FDC 例7. 如图,点B,D在线段AE上, ∠ C= ∠ F,AC=EF,AC ∥ EF.求证:△ABC ≌△ EDF. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．下列各组条件中，能确定 △ ABC ≌△ DEF 的是 ( 　　 ) A ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， ∠ C ＝ ∠ F B ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ DF C ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ EF D ． AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， ∠ A ＝ ∠ D 2 ．如图 1 所示，已知 △ ABC 的六个元素，则图 2 中甲、乙、丙三个三角形中与 △ ABC 全等的图形是 ( 　　 ) 图 1 　　　　 图 2 　　 A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙 D ．只有丙 3 ．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以 ( 　　 ) A ．带 ① 去 B ．带 ② 去 C ．带 ③ 去 D ．带 ① 和 ② 去 4 ．如图 AD ， BC 相交于点 O ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ CAB ＝ ∠ DBA ，下列结论中，错误的是 ( 　　 ) A ． ∠ C ＝ ∠ D B ． AC ＝ BD C ． OC ＝ OB D ． OA ＝ OB （二）填空题 5 .如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是 　　 .  6． 如图 ， 已知AD是△ABC的角平分线 ， 在不添加任何辅助线的前 提下，要使 △ AED≌△AFD ， 还需添加一个条件________ ， 并给予证明． （三）解答题 7. 如图点A ，C，B，D 在同一条直线上 ，BE ∥ DF， ∠ A ＝∠F ，AB ＝FD.求证：AE＝FC. 8. 如图所示 ， 在 Rt △ ABC 中 ，AB ＝AC ， ∠ BAC ＝90 ° ，BD 垂直于过点A的一条直线于D ，CE ⊥ AN 于E.求证：DE＝BD－CE. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 如图所示 ， 已知AB＝A′B′ ， ∠ A ＝∠A′ ， 若使△ABC≌△A′ B′C′ ， 还 需要(　　) A． ∠ B ＝∠B′ B ． ∠ C ＝∠C′ C．AC ＝A′C′ D ．以上都对 2 ． 如图所示 ， 已知AB∥DE ，CD ＝BF ， 若△ABC≌△EDF ， 还需补充的条件可以是( 　　) A．AC ＝EF B ． AC ∥ EF C． ∠ B ＝∠E D ．不用补充 3 ．下列各组条件中，能确定 △ ABC ≌△ DEF 的是 ( 　　 ) A ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， ∠ C ＝ ∠ F B ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ DF C ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ EF D ． AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， ∠ A ＝ ∠ D 4 . 根据下列已知条件 , 能画出唯一 △ ABC 的是 ( 　　 ) A. ∠ A=50°, ∠ B=70°,AB=6 B. ∠ C=90°,AB=10 C.AB=10,BC=4,AC=4 D.AB=5,BC=8, ∠ A=40° 5 . 如图 AB 平分 ∠ CAD, 若要用 “ASA” 判定 △ ACP ≌△ ADP, 则需增加的一个条件是 (　　) A.CP=DP B. ∠ APC= ∠ APD C.AD=AC D. ∠ ACP= ∠ ADP 6. 如图 , ∠ C= ∠ D, ∠ 1= ∠ 2,AC 与 BD 相交于点 E, 则有下列结论 : ①△ ABD ≌△ BAC; ②∠ DAE= ∠ CBE; ③△ DAE 与 △ CBE 不全等 ; ④ CE=DE. 其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7 .如图,由AB=AC,∠B=∠C便可证得△BAD≌△CAE,其全等的依据是(　　) A.SSS　　　　B.SAS　　　　C.ASA　　　　D.SSA 8. 如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 9. 如图 , 在△ DEC 和△ BFA 中 , 点 A,E,F,C 在同一直线上 , 已知 AB ∥ CD, 且 AB=CD, 若利用“ ASA ”证明△ DEC ≌△ BFA, 则需添加的条件是 (　　) A.EC=FA　　　　 B. ∠ A= ∠ C C. ∠ D= ∠ B D.BF=DE ) ( 1 0 . 下列条件能判定△ ABC ≌△ DEF 的是 (　　) A.AB=DE,BC=EF, ∠ A= ∠ D B.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F C. ∠ A= ∠ D,AB=EF, ∠ B= ∠ E D. ∠ A= ∠ D,AB=DE, ∠ B= ∠ E 二．填空题（30分） 11 .如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件: 　　　　　 ,使△ABC≌△DEF.  12 .如图所示,要测量河两岸相对的点A、B之间的距离,在与AB垂直的直线l上取两点C、D,使BC=CD,过D作l的垂线与AC的延长线交于点E,若测得DE的长为20米,则AB的长为 　　　　 米. 13 . 如图 , 在△ ABC 中 ,BF ⊥ AC 于点 F,AD ⊥ BC 于点 D,BF 与 AD 相交于点 E. 若 AD=BD, BC=8,DC=3, 则 AE= 　　　　 .  14 . 如图 , 在△ ABC 中 ,CP 平分∠ ACB,AP ⊥ CP 于点 P, 已知△ ABC 的面积为 2 cm 2 , 则阴影部分的面积为 　　　　 cm 2 .  15 . 如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠1,BD=CF=3,BE=2,则BC= 　　　　 .  1 6 .如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3. 则 DC =_________ . 17 . 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是 　　　　 m.  18 ． 如图 ， ∠ B ＝∠DEF ，AB ＝DE.要证明△ABC≌△DEF ， 若以“ASA”为依据 ， 则需添加的条件是 ___________ ． ) ( 19. 如图 ，AD 是△ABC的高线 ， ∠ DBE ＝∠DAC ，BD ＝AD ， ∠ AEB ＝120 ° ， 则∠C＝ ___ ． 20. 沛沛沿一段笔直的人行道行走,边走边欣赏风景,在由C走到D的过程中,通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语,具体信息如下:如图,AB∥PM∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD,垂足为D.已知CD=16米,则标语AB的长度为 　　　　 .   三．解答题（60分） 21 .如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3.求DC的值. 22. 已知,如图,在△ABC中,∠ABC=60°,△ABC的角平分线AD、CE交于点O. 求证:AC=AE+CD. 23 ． 如图 ， △ ABC 的两条角平分线BD ，CE 交于点O ， ∠ A ＝60 ° . 求证：CD＋BE＝BC. 24 ． 如图 ， 在△ABC中 ， ∠ A ＝90 ° ，AB ＝AC ， ∠ ABC 的平分线BD交AC于点D ，CE ⊥ BD， 交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系 ， 并说明理由． ) ( 25 .如图所示,点M是线段AB上一点,ED经过点M,连结AE、BD,过点B作BF∥AE交ED于F,且EM=FM. (1)若AE=5,求BF的长; (2)若∠AEC=90°,∠DBF=∠CAE,求证:CD=FE. 26 .如图,小刚站在河边的点A处,在河对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处,接着再向前走了20步到达D处,然后他左转90°继续行走,当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线上时,他共走了100步. (1)根据题意,画出示意图; (2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由. 27 .【推理能力】点D在△ABC的边AB所在直线上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180°. 【提出问题】(1)如图1,若点D在边BA的延长线上,求证:AD+BC=BE; 【类比探究】(2)如图2,若点D在线段AB上,请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系,并证明; 【拓展延伸】(3)如图3,若点D在线段AB的延长线上,请直接写出线段AD,BC与BE之间的数量关系. 　 图1 图2 图3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册5-《1.3全等三角形的判定（二）--ASA》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法 “ 角边角 ” （ASA），能准确表述其内容。 2.学会运用 “ 角边角 ” （ASA）判定定理证明两个三角形全等。 3.通过预习，提高对图形的观察、分析能力，以及逻辑推理能力。 ) ( 一、 预习内容 （一）探究SAS判定方法 【活动】 （1）用纸板挡住两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?果能，你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗? 【答案】 第一个图形不可以画出与其他同学画的完全重合的三角形；第二个图可以画出与其他同学画的完全重合的三角形。 【解析】 对于第一个被纸板挡住一部分的三角形，我们仅能看到它的一个角。在三角形中，只知道一个角的度数，其他边和角的情况有无数种可能性。例如，我们可以以这个角为基础，随意改变另外两条边的长度和角度，都能构成不同的三角形。所以仅根据这一个角的信息，不能唯一确定这个三角形，也就不能画出与其他同学画的完全重合的三角形，即不可以画出。对于第二个被纸板挡住一部分的三角形，我们看到了两个角以及这两个角的夹边。根据三角形全等的角边角（ASA）判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。也就是说，当我们知道一个三角形的两个角以及它们的夹边时，这个三角形的形状和大小就被唯一确定了。所以我们可以根据这两个角和夹边画出唯一的一个三角形，并且这个三角形与其他同学依据同样条件画出的三角形是完全重合的，即可以画出。 2.如图，给定 △ ABC，在透明纸上用直尺和圆规作 △ A'B'C'，使得 ∠ B'= ∠ B, ∠ C = ∠ C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 作法 1.作 B'C' =BC; 2.在 B'C'的同侧分别作 ∠ MB'C'= ∠ B, ∠ NCB'= ∠ C,B'M,C'N 相交于点A'. △ A'B'C'即为所求. 通过叠合发现 △ A'B'C'和 △ ABC可以完全重合. 通过实践，人们得到了如下基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “ 角边角 ”“ ASA ” ) . 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. ) ( 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中 ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （ASA）. （二） .  “ 角边角 ” （ASA）判定定理的应用 例1. 已知：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°，∴ ∠C = 180°-∠A-∠B. 同理∠F = 180°-∠D-∠E.又 ∠A =∠D，∠B =∠E，∴ ∠C =∠F. 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF( ASA ). 例2. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC = CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？ 解： ∵ AB ⊥ BC，DE ⊥ BF， ∴ ∠B =∠EDC = 90°.在△ABC和△EDC中， ∴ △ABC≌△EDC( ASA ).∴ AB = DE . 例3 .如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC， ∠ B = ∠ C. 求证：（1）AD = AE；（2）BD = CE. 证明：（1）在 △ A CD 和 △ A BE 中， ∴ △ACD≌△ABE( ASA ).∴ AD = AE， （2）∵ AB = AC，AD = AE，∴ AB-AD = AC-AE，即BD = CE. ) ( 例4. 已知：如图，AB=AE， ∠ 1= ∠ 2， ∠ B= ∠ E. 求证：BC=ED． 证明： ∵∠ BCE= ∠ DCA， ∴∠ BCE+ ∠ ACE= ∠ DCA+ ∠ ACE，即 ∠ ACB= ∠ ECD在 △ ABC和 △ EDC中， ， ∴△ ABC ≌△ EDC (ASA)， ∴ BC=DC． 例5 ．如图已知，EC=AC， ∠ BCE= ∠ DCA， ∠ A= ∠ E．求证：BC=DC． 证明： ∵∠ BCE= ∠ DCA， ∴∠ BCE+ ∠ ACE= ∠ DCA+ ∠ ACE，即 ∠ ACB= ∠ ECD在 △ ABC和 △ EDC中， ， ∴△ ABC ≌△ EDC (ASA)， ∴ BC=DC． 例 6. 如图1在 △ ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB， AC上，且DE ‖ AC,DF ‖ AB.求证: △ EBD ≌△ FDC 证明： ∵ DE // AC,DF//AB, ∴∠ EDB= ∠ C, ∠ B = ∠ FDC(两直线平行,同位角相等). ∵ D是BC的中点， ∴ .BD=DC. 在 △ EBD 和 △ FDC中， ∴△ EBD ≌△ FDC(ASA). 例7. 如图,点B,D在线段AE上, ∠ C= ∠ F,AC=EF,AC ∥ EF.求证:△ABC ≌△ EDF. 证明　 ∵ AC ∥ EF, ∴∠ A= ∠ E. 在△ABC和△EDF中, ∴ △ABC ≌△ EDF(ASA). ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．下列各组条件中，能确定 △ ABC ≌△ DEF 的是 ( 　　 ) A ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， ∠ C ＝ ∠ F B ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ DF C ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ EF D ． AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， ∠ A ＝ ∠ D 【 答案】 B 　 【 解析】 A 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意； B 项，可利用 “ASA” 判定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项符合题意； C 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意； D 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意．故选 B. 2 ．如图 1 所示，已知 △ ABC 的六个元素，则图 2 中甲、乙、丙三个三角形中与 △ ABC 全等的图形是 ( 　　 ) 图 1 　　　　 图 2 　　 A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙 D ．只有丙 【 答案】 B 　 【 解析】 图甲中， 50 ° 角并不是 a ， c 边的夹角，没有基本事实支持图甲与 △ ABC 全等；图乙中，边 a ， c 及其夹角 50 ° 与 △ ABC 中边 a ， c 及其夹角 50 ° 对应相等，符合 “SAS” 基本事实，说明图乙与 △ ABC 全等；图丙中由三角形内角和为 180 ° 得到第三个角是 58 ° ， 58 ° ， 50 ° 角及其夹边 a 与 △ ABC 中 58 ° ， 50 ° 角及其夹边 a 对应相等，符合 “ ASA” 基本事实 ， 说明图丙与 △ ABC 全等．因此应选择 B. 3 ．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以 ( 　　 ) A ．带 ① 去 B ．带 ② 去 C ．带 ③ 去 D ．带 ① 和 ② 去 【 答案】 C 　 【 解析】 ① 仅保留了原三角形的一个角和部分边 ， 不符合全等三角形的判定方法； ② 仅保留了原三角形的一部分边 ， 所以此块玻璃也不行； ③ 不但保留了原三角形的两个角 ， 还保留了两角的夹边 ， 所以符合 “ASA” 判定方法 ， 所以应该带这块去．故选 C. 4 ．如图 AD ， BC 相交于点 O ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ CAB ＝ ∠ DBA ，下列结论中，错误的是 ( 　　 ) A ． ∠ C ＝ ∠ D B ． AC ＝ BD C ． OC ＝ OB D ． OA ＝ OB 【 答案】 C 　 【 解析】 在 △ ABC 与 △ BAD 中 ， ∵ ∴△ ABC ≌△ BAD.(ASA) ∴∠ C ＝ ∠ D ， AC ＝ BD. 进而可推出 △ ACO ≌ △ BDO ， ∴ OA ＝ OB. 故错误的是 C 选项． ) ( （二）填空题 5 .如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是 　　 .  【 答案】ASA 【解析】从图中可以看到，三角形露出了两个角以及这两个角的夹边。这意味着我们知道了原三角形的两个内角的度数以及这两个内角所夹的边的长度。所以小明画图的依据是ASA（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。 6． 如图 ， 已知AD是△ABC的角平分线 ， 在不添加任何辅助线的前 提下，要使 △ AED≌△AFD ， 还需添加一个条件________ ， 并给予证明． 【 解析】 解法一；添加条件：AE＝AF ， 证明： 在△AED与△AFD中 ， 因为AE＝AF ， ∠ EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ， 所以△AED≌△AFD( SAS )． 解法二 ； 添加条件：∠EDA＝∠FDA ， 证明：在△AED和△AFD中 ， 因为∠EAD＝∠FAD ，AD ＝AD ， ∠ EDA ＝∠FDA ， 所以△AED≌△AFD( ASA )． （三）解答题 7. 如图点A ，C，B，D 在同一条直线上 ，BE ∥ DF， ∠ A ＝∠F ，AB ＝FD.求证：AE＝FC. 证明：因为BE∥DF ， 所以∠ABE＝∠D.在△ABE和△FDC中 ， 所以△ABE≌△FDC.所以 AE＝FC. 8. 如图所示 ， 在 Rt △ ABC 中 ，AB ＝AC ， ∠ BAC ＝90 ° ，BD 垂直于过点A的一条直线于D ，CE ⊥ AN 于E.求证：DE＝BD－CE. 证明：因为∠BAC＝90 ° ，BD ⊥ AN， 所以∠BAD＋∠CAE＝90 ° . ∠ ABD ＋∠BAD ＝ 90 ° 所以∠CAE＝∠ABD.因为BD⊥AN ，CE ⊥ AN， 所以∠BD A＝∠AEC＝90 ° ， 所以∠BAD＝∠ACE. 在△ABD和△CAE中 ， 所以△ABD≌△CAE( ASA )．所以BD＝AE ，AD ＝CE(全等三角形对应边 相等)．因为DE＝AE－AD ， 所以DE＝BD－CE. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 如图所示 ， 已知AB＝A′B′ ， ∠ A ＝∠A′ ， 若使△ABC≌△A′ B′C′ ， 还 需要(　　) A． ∠ B ＝∠B′ B ． ∠ C ＝∠C′ C．AC ＝A′C′ D ．以上都对 【 答案】 D 　 【解析】 选项 A 可利用 ASA 得到△ABC≌△A′B′C′.选项 B 中 ， 因为∠B＝180 ° －∠A－∠C ， ∠ B ′ ＝180 ° －∠A′∠C′ ， 因为∠A＝∠A′ ， ∠ C ＝∠C′ ， 所以∠B＝∠B′ ， 即转化为选项 A. 选项 C 中可由 SAS 判定△ABC≌△A′B′C′. 2 ． 如图所示 ， 已知AB∥DE ，CD ＝BF ， 若△ABC≌△EDF ， 还需补充的条件可以是( 　　) A．AC ＝EF B ． AC ∥ EF C． ∠ B ＝∠E D ．不用补充 【 答案】 B 　 【解析】 因为AB∥DE ， 所以∠B＝∠D.若AC∥EF ， 所以∠ACB＝∠EFD.又CD＝BF ， 所以DF＝BC.根据 ASA 可得△ABC≌△EDF. 3 ．下列各组条件中，能确定 △ ABC ≌△ DEF 的是 ( 　　 ) A ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ B ＝ ∠ E ， ∠ C ＝ ∠ F B ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ DF C ． ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ F ， AC ＝ EF D ． AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， ∠ A ＝ ∠ D 【 答案】B 【 解析 】 A 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意； B 项，可利用 “ASA” 判定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项符合题意； C 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意； D 项，不能确定 △ ABC ≌△ DEF ，故此选项不符合题意．故选 B. 4 . 根据下列已知条件 , 能画出唯一 △ ABC 的是 ( 　　 ) A. ∠ A=50°, ∠ B=70°,AB=6 B. ∠ C=90°,AB=10 C.AB=10,BC=4,AC=4 D.AB=5,BC=8, ∠ A=40° 【 答案】 A 　 【 解析 】A.根据ASA可画出唯一三角形。B.只有一边一角，画出的三角形不唯一。 C.不能画出三角形。D.两边已知，但不是夹角，画出的三角形不唯一。故选: A 5 . 如图 AB 平分 ∠ CAD, 若要用 “ASA” 判定 △ ACP ≌△ ADP, 则需增加的一个条件是 (　　) A.CP=DP B. ∠ APC= ∠ APD C.AD=AC D. ∠ ACP= ∠ ADP 【 答案】 B 【 解析】因为AB平分 ∠ CAD，根据角平分线的定义，所以 ∠ CAP = ∠ DAP ，同时在 △ ACP和 △ ADP中，AP是公共边。根据 “ ASA ” 判定定理分析选项 选项A：CP = DP，这是两边相等，不满足 “ ASA ” 两角及其夹边相等的条件，所以A选项错误。选项B： ∠ APC = ∠ APD，此时在 △ ACP和 △ ADP中， ∠ CAP = ∠ DAP ，AP = AP（公共边）， ∠ APC = ∠ APD，满足两角及其夹边对应相等，符合 “ ASA ” 判定定理，所以B选项正确。选项C：AD = AC，这是两边相等，不满足 “ ASA ” 两角及其夹边相等的条件，所以C选项错误。选项D： ∠ ACP = ∠ ADP，这是两角相等，但不是两角及其夹边对应相等，不满足 “ ASA ” 判定定理，所以D选项错误。 ) ( 如图 , ∠ C= ∠ D, ∠ 1= ∠ 2,AC 与 BD 相交于点 E, 则有下列结论 : ①△ ABD ≌△ BAC; ②∠ DAE= ∠ CBE; ③△ DAE 与 △ CBE 不全等 ; ④ CE=DE. 其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【 答案】 C 　 【 解析 】 本题主要涉及全等三角形的判定与性质。通过已知条件判断三角形是否全等，再根据全等三角形的性质得出相应结论。 ①②④ 正确 . 7 .如图,由AB=AC,∠B=∠C便可证得△BAD≌△CAE,其全等的依据是(　　) A.SSS　　　　B.SAS　　　　C.ASA　　　　D.SSA 【 答案】 C　 【 解析】 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(ASA).故选C. 8. 如图,AC=DF,∠1=∠2,如果可以根据“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　) A.∠A=∠D　 B.AB=DE　 C.BF=CE D.∠B=∠E 【 答案】 A　 【 解析】 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA).故选A. 9 . 如图 , 在△ DEC 和△ BFA 中 , 点 A,E,F,C 在同一直线上 , 已知 AB ∥ CD, 且 AB=CD, 若利用“ ASA ”证明△ DEC ≌△ BFA, 则需添加的条件是 (　　) A.EC=FA　　　　 B. ∠ A= ∠ C C. ∠ D= ∠ B D.BF=DE 【 答案】 C 　 【 解析】 ∵AB ∥ CD,∴ ∠ A= ∠ C, 添加∠ D= ∠ B, 在△ DEC 和△ BFA 中 , ∴ △ DEC ≌△ BFA(ASA). 故选 C. 1 0 . 下列条件能判定△ ABC ≌△ DEF 的是 (　　) A.AB=DE,BC=EF, ∠ A= ∠ D B.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F C. ∠ A= ∠ D,AB=EF, ∠ B= ∠ E D. ∠ A= ∠ D,AB=DE, ∠ B= ∠ E 【 答案】 D 　 【 解析】 ∵SSA 不能判定两个三角形全等 , 故 A 、 B 不符合题意 ; 选项 C 中 ,AB 与 EF 不是对应边 , 故不符合题意 ; 选项 D 中 , 根据 ASA 能判定△ ABC ≌△ DEF, 故符合题意 . 故选 D. ) ( 二．填空题（30分） 11 .如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件: 　　　　　 ,使△ABC≌△DEF.  【 答案 】 　∠A=∠D(答案不唯一) 【 解析 】 　∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵AB=DE,∴当添加∠A=∠D时,根据ASA可判定△ABC≌△DEF(答案不唯一). 12 .如图所示,要测量河两岸相对的点A、B之间的距离,在与AB垂直的直线l上取两点C、D,使BC=CD,过D作l的垂线与AC的延长线交于点E,若测得DE的长为20米,则AB的长为 　　　　 米. 【 答案 】 　20 【 解析 】 　∵AB⊥BD,DE⊥BD,∴∠ABC=∠EDC=90°,在△ABC和△EDC中, ∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=DE=20米. 13 . 如图 , 在△ ABC 中 ,BF ⊥ AC 于点 F,AD ⊥ BC 于点 D,BF 与 AD 相交于点 E. 若 AD=BD, BC=8,DC=3, 则 AE= 　　　　 .  【 答案】 2 【 解析 】 　∵BF ⊥ AC,AD ⊥ BC,∴ ∠ BDA= ∠ ADC= ∠ BFC=90°,∵ ∠ DAC+ ∠ C+ ∠ ADC=180°, ∠ FBC+ ∠ C+ ∠ BFC=180°,∴ ∠ DAC= ∠ FBC, 在△ ADC 和△ BDE 中 , ∴ △ ADC ≌△ BDE(ASA),∴DE=DC=3,AD=BD,∵BD=BC-DC=5,∴AE=AD-DE=BD-DE=5-3=2. 14 . 如图 , 在△ ABC 中 ,CP 平分∠ ACB,AP ⊥ CP 于点 P, 已知△ ABC 的面积为 2 cm 2 , 则阴影部分的面积为 　　　　 cm 2 .  【 答案】 1 【 解析】 如图 , 延长 AP 交 BC 于 D,∵CP 平分∠ ACB,∴ ∠ ACP= ∠ DCP,∵AP ⊥ CP, ∴ ∠ APC= ∠ DPC=90°, 在△ ACP 与△ DCP 中 , ∴ △ ACP ≌△ DCP(ASA), ∴AP=DP,∴S △ ABP = S △ ABD ,S △ ACP = S △ ACD ,∴ 阴影部分的面积 = S △ ABC = ×2=1(cm 2 ). ) ( 15 . 如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠1,BD=CF=3,BE=2,则BC= 　　　　 .  【 答案】 5 【 解析 】 　∵∠BDE+∠1+∠CDF=180°,∠CFD+∠C+∠CDF=180°,∠C=∠1, ∴∠BDE=∠CFD.在△BED和△CDF中, ∴△BED≌△CDF(ASA),∴CD=BE=2, ∵BD=3,∴BC=BD+CD=3+2=5. 1 6 .如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3. 则 DC =_________ . 【答案】3 【 解析 】 　∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠ECD,在△ACB和△ECD中, ∴△ACB≌△ECD(ASA),∴CD=BC=3. 17 . 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是 　　　　 m.  【 答案】 120　 【 解析 】 ∵AC⊥BD,∴∠CAD=∠CAB=90°.在△ACD和△ACB中,∵ ∴△ACD≌△ACB,(ASA)∴AB=AD=120 m 18 ． 如图 ， ∠ B ＝∠DEF ，AB ＝DE.要证明△ABC≌△DEF ， 若以“ASA”为依据 ， 则需添加的条件是 ___________ ． 【 答案】 ∠ A ＝∠D 【解析】 “ ASA ” 判定定理要求两个三角形中有两组对应角相等，且这两组对应角所夹的边也相等。在 △ ABC和 △ DEF中，已经知道 ∠ B ＝∠DEF ，这是一组对应角，AB = DE是这组对应角所夹的边。为了满足 “ ASA ” ，还需要一组对应角相等，且这组对应角必须是AB与 ∠ B的另一个夹角和DE与 △ DEF的另一个夹角，即 ∠ A和 ∠ D。 19. 如图 ，AD 是△ABC的高线 ， ∠ DBE ＝∠DAC ，BD ＝AD ， ∠ AEB ＝120 ° ， 则∠C＝ ___ ． 【答案】60 ° 【解析】因为AD是 △ ABC的高线，所以 ∠ BDA= ∠ ADC = 90 ° 。在 △ BDE和 △ ADC中， ) ( 根据角 - 边 - 角（ASA）全等判定定理，可得 △ BDE ≌△ ADC。 因为 ∠ AEB = 120 ° ，而 ∠ AEB+ ∠ BED=180 ° （平角的定义），所以 ∠ BED = 180 ° - ∠ AEB=180 - 120=60 ° 。由于 △ BDE ≌△ ADC，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 ∠ C= ∠ BRD = 60 ° 。 20. 沛沛沿一段笔直的人行道行走,边走边欣赏风景,在由C走到D的过程中,通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语,具体信息如下:如图,AB∥PM∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD,垂足为D.已知CD=16米,则标语AB的长度为 　　　　 .   【 答案 】 　16米 【 解析 】 　∵AB∥CD,∴∠ABP=∠CDP,∵PD⊥CD,∴∠CDP=90°,∴∠ABP=90°,∵相邻两平行线间的距离相等,∴PD=PB,在△ABP与中, ∴△ABP≌△CDP(ASA),∴AB=CD=16米. 三．解答题（60分） 21 .如图,已知EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3.求DC的值. 解 ： ∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠ECD,在△ACB和△ECD中, ∴△ACB≌△ECD(ASA),∴CD=BC=3. 22. 已知,如图,在△ABC中,∠ABC=60°,△ABC的角平分线AD、CE交于点O. 求证:AC=AE+CD. 证明 ： 　在AC上取一点F,使AF=AE,连结OF, ∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO,在△AEO和△AFO中, ∴△AEO≌△AFO(SAS),∴∠AOE=∠AOF.∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∴∠ECA+∠DAC= ∠ACB+ ∠BAC= (∠ACB+∠BAC)= ×(180°-60°)= 60°,则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°,∴∠DOE=∠AOC=120°,∴∠COD=∠AOE= ∠AOF=60°,∴∠COF=60°,∴∠COD=∠COF,在△DOC和△FOC中, ∴△DOC≌△FOC(ASA),∴DC=FC,∵AC=AF+FC,∴AC=AE+CD. 三．解答题（60分） ) ( 23 ． 如图 ， △ ABC 的两条角平分线BD ，CE 交于点O ， ∠ A ＝60 ° . 求证：CD＋BE＝BC. 解 ： 在BC上取一点F ， 使BF＝BE ， 连结OF. ∵ BD，CE 分别平分∠ABC ， ∠ ACB， ∴∠ ABD ＝∠CBD ， ∠ ACE ＝∠BCE. ∵ BE ＝BF ， ∠ EBO ＝∠FBO ，BO ＝BO ， ∴△ EBO ≌△ FBO (SAS) ， ∴∠ EOB ＝∠FOB. ∵∠ A ＝60 ° ， ∴∠ ABC ＋∠ACB＝120 ° ， ∴∠ OB C＋∠OCB＝120 °÷ 2 ＝60 ° ， ∴∠ COB ＝120 ° ， ∴∠ E OB ＝∠DOC＝60 ° ， ∴∠ FOB ＝∠EOB＝60 ° ， ∴∠ FOC ＝∠COB－∠FOB＝60 ° ， ∴∠ FOC ＝∠DOC.又∵ OC＝OC ， ∠ FCO ＝∠DCO ， ∴△ OFC ≌△ ODC (ASA) ， ∴ CD ＝CF ， ∴ BC ＝BF＋CF＝BE＋CD. 24 ． 如图 ， 在△ABC中 ， ∠ A ＝90 ° ，AB ＝AC ， ∠ ABC 的平分线BD交AC于点D ，CE ⊥ BD， 交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系 ， 并说明理由． 解 ： CE＝ BD. 理由如下：延长CE交BA的延长线于点F. ∵ BE 平分∠ABC ， ∴∠ EBC ＝∠EBF. ∵ CE ⊥ BD， ∴∠ BEC ＝∠BEF＝90 ° . 又∵BE＝BE ， ∴△ BEC ≌△ BEF (ASA) ， ∴ CE ＝FE＝ CF. ∵∠ ABD ＋∠A DB＝∠ACF＋∠CDE＝90 ° ， ∠ ADB ＝∠CDE ， ∴∠ ABD ＝∠ACF.又∵AB＝AC ， ∠ BAD ＝∠CAF＝90 ° ， ∴△ BAD ≌△ CAF (ASA) ， ∴ BD ＝CF ， ∴ CE ＝ CF ＝ BD . 25 .如图所示,点M是线段AB上一点,ED经过点M,连结AE、BD,过点B作BF∥AE交ED于F,且EM=FM. (1)若AE=5,求BF的长; (2)若∠AEC=90°,∠DBF=∠CAE,求证:CD=FE. 解 ： (1)∵BF∥AE,∴∠MFB=∠MEA,在△AEM与△BFM中, ∴△AEM≌△BFM(ASA),∴BF=AE=5. （ 2） 证明:由(1)知BF=AE,∠MFB=∠MEA,∵∠AEC=90°,∴∠MFB=90°,∴∠BFD=90°, ∴∠BFD=∠AEC,在△AEC与△BFD中, ∴△AEC≌△BFD(ASA),∴EC=FD, ∴EF+FC=FC+CD,∴CD=FE. ) ( 26 .如图,小刚站在河边的点A处,在河对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处,接着再向前走了20步到达D处,然后他左转90°继续行走,当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线上时,他共走了100步. (1)根据题意,画出示意图; (2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由. 解 ： (1)所画示意图如下: (2)在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(ASA),∴AB=DE. ∵小刚共走了100步,其中走完AD用了40步,∴走完DE用了60步, ∵一步大约50厘米,∴DE=60×0.5=30米,∴AB=DE=30米. 答:估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米. 27 .【推理能力】点D在△ABC的边AB所在直线上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180°. 【提出问题】(1)如图1,若点D在边BA的延长线上,求证:AD+BC=BE; 【类比探究】(2)如图2,若点D在线段AB上,请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系,并证明; 【拓展延伸】(3)如图3,若点D在线段AB的延长线上,请直接写出线段AD,BC与BE之间的数量关系. 　 图1 图2 图3 解： (1)证明:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠BCD+∠DCF=180°,∴∠EAB=∠BCD, 在△EAB和△DCB中, ∴△EAB≌△DCB(ASA),∴BE=BD,AB=BC, ∵BD=AD+AB,∴AD+BC=BE. (2)BC-AD=BE.证明如下:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠BCD+∠DCF=180°,∴∠EAB=∠BCD, 在△EAB和△DCB中, ∴△EAB≌△DCB(ASA),∴BE=BD,AB=BC, ∵BD=AB-AD,∴BC-AD=BE. (3)AD-BC=BE.:∵∠EAB+∠DCF=180°,∠DCB+∠DCF=180°, ∴∠EAB=∠DCB,在△EAB和△DCB中, ∴△EAB≌△DCB(ASA), ∴BE=BD,AB=BC,∵BD=AD-AB,∴AD-BC=BE. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$