1.3 勾股定理的应用课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 第3课 勾股定理的应用 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.经历分析问题-建立模型-解决问题的过程，将现实问题转为勾股定理数学模型，提高自己利用有限工具解决复杂测量问题的能力，体会古代数学智慧与现在科技的贯通. 2.尝试辨析几何问题中的隐藏条件. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 亲爱的同学们，经过前面课程的学习，我们已经知道了勾股定理及其逆定理，今天我们接到了三个“几何侦查团”的任务，帮助求助者破解难题，你要挑战吗？ 一把卷尺定垂直 神秘折叠算长度 古题新作测水深 问题构建 一把卷尺定垂直 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.李叔叔随身带了卷尺， 问题1：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 现实情境：地板砖边缘垂直问题 数学问题：直角判定问题 实际操作：测量线段长度 （2）李叔叔测得边AD长30cm,边AB长40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？ 问题构建 解：因为AD=30cm，AB=40cm，BD=50cm 在△ABD中， 所以△ABD是直角三角形，BD是斜边. 所以∠DAB=90° 所以AD⊥AB. 借助勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，进而验证直角或两条直线的垂直关系. 一把卷尺定垂直 （3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm 的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 问题构建 一把卷尺定垂直 解：因为AE=3cm，AF=4cm，EF=5cm 在△AEF中， 所以△AEF是直角三角形，EF是斜边. 所以∠EAF=90°,AE⊥AF. 问题2：由于刻度尺长度小于砖的边长，不方便直接测量，思考解决问题的本质是什么？ 验证直角 追问：你有怎样的思路？ 构造边长小于20cm的直角三角形 协作破冰 正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？ 神秘折叠算长度 问题3：阅读文本你得到了哪些信息？产生了哪些结论？ 点E是边AD的中点 AE=DE=4cm 正方形纸片翻折 FE=FC 追问1：你会选择哪个直角三角形解决问题？理由是什么？ △DEF，包含所求线段DF 协作破冰 正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？ 神秘折叠算长度 追问2：在直角三角形DEF中，计算DF长度你遇到怎样的问题？ 只知道DE的长度，DF和EF长度都不知道 追问3：能否借助转化思想解决问题？ EF可以转化为CF，CF+DF=8 追问4：解决未知量的问题，你的方法是什么？ 方程思想 协作破冰 正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？ 神秘折叠算长度 解：∵点E是AD的中点，AD=8cm ∴AE=DE= ×8=4cm 由折叠可得：EF=CF 设DF=则CF=(8-)cm ∴EF=(8-)cm 在Rt△DEF中，由勾股定理得： 解得：=3 因此，DF的长为3cm. 教师示范 神秘折叠算长度 问题4：在解决DF长度以后，小明进行了深度反思，经过研究，他向大家提出问题，能否计算BG的长度呢？ 小明提示： 延长FE,BA交于点M…… 你能根据小明的提示画出对应的图形吗？ 教师示范 神秘折叠算长度 问题5：观察图形，添加辅助线之后，你发现哪些可能成立的新结论？ △DEF≌△AEM ME=FE=5cm， AM=DF=3cm 折叠 轴对称 ∠MFG=∠CFG ∠MGF=∠CFG BD∥CF ∠MGF=∠MFG MG=MF=10cm, AG=7cm,BG=1cm 教师示范 方法总结与反思 对比项 模型 结论 直角三角形 勾股定理 方程思想 全等三角形 +平行线 辅助线 等腰三角形 角平分线+平行线 转化思想 巩固拓展 古题新作测水深 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：如图,有一个水池,水面是一个边长为 1 丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 问题6：阅读文本，能得到哪些线段的长度？ AB=1尺，AC=5尺，OC=OB 巩固拓展 古题新作测水深 解：设水池的深度OA为，则芦苇的长度OB为(+1)尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理得： 解得：=12 +1=12+1=13 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 解决上述问题时使用了方程思想. 勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）阅读文本，分析已知量、未知量间的关系； （2）寻找或构造直角三角形； （3）勾股定理等列方程； （4）解决实际问题并反思结果的合理性 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 决解 模建 转化 方程 巩固拓展 当堂检测 1.若要将一块不能弯曲的正方形（厚度忽略不计）搬进室 内，需要通过一扇如图所示的高为，宽为 的门， 以下边长的木块中哪块可以通过此门( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 C 本题比较大小需要实用线段的平方比较. 当堂检测 2.如图，在三角形纸片中， ,,, 折叠三角形纸片，使点与 的中点重合，折 痕为,求 的长. 【思路点拨】 由 的三边长满足勾股定理 可知是直角三角形， .先求得 的长， 由折叠的性质可知，设， 则，在 中， 由勾股定理列出关于 的方程求解即可. 当堂检测 解： 在 中， ,, ， . . 为 的中点， . 设,则 . 在 中，由勾股定理，得 当堂检测 ，解得 . 故的长为 . 解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是 一个含有平方关系的等式,求线段的长时,可利用勾股定理直接计算, 也可设未知数,由勾股定理列出方程,运用方程思想解决问题. 当堂检测 3.如图，有一台环卫车沿公路由点向点行驶，已知点 为一所学校，且点与直线上两点， 的距离分别为 和，且，环卫车周围 以 内为受噪声影响区域. （1）学校 会受噪声影响吗？为什么？ 当堂检测 解：学校 会受噪声影响. 理由如下：过点作于点 . ，， ， . . . . 环卫车周围 以内为受噪声影响区域， 学校 会受噪声影响. 当堂检测 （2）若环卫车的行驶速度为 ，环卫车的噪声影响该学校持 续的时间为多少分钟？ 解：如图，当， 时，正好影响 学校 . ， . . . 答：环卫车的噪声影响该学校持续的时间为 . 反思总结 1.借助勾股定理解决实际问题的一般步骤什么？ 2.本节课使用了哪些数学思想方法？ 3.回顾本章学习过的知识，尝试制作思维导图？. 作业设计 一、基础巩固作业： P14-15 习题1.3 1,2,3 二、素养类作业 P15第4题. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$