精品解析：云南省玉溪市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

玉溪市2024~2025学年春季学期期末高二年级教学质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，且，则（ ） A. 15 B. 10 C. 2 D. -3 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 10 B. 4 C. 或10 D. 2或4 6. 已知函数是减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，，设，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四面体中，，，，且，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 若四面体顶点都在某个球的球面上，则该球表面积为 11. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，则__________. 13. 已知函数，则函数在点处的切线斜率为__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则__________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2025斯诺克世锦赛中，中国选手赵心童获得冠军，创造了历史.为了解高二学生喜欢台球是否与性别有关，某学校随机抽取了200名高二年级学生进行统计，得到的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 60 女 90 合计 70 200 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）求，，，，； （2）依据小概率值的独立性检验，是否可以推断高二学生喜欢台球与性别有关？ 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上存在零点，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. （1）求四棱锥的高； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面夹角的正弦值. 19. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. （1）求； （2）若直线与交于点，求三角形的面积； （3）求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪市2024~2025学年春季学期期末高二年级教学质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根号的性质，求得集合，根据交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则，可得. 故选：C. 2. 已知等差数列满足，且，则（ ） A. 15 B. 10 C. 2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的定义以及通项公式，可得答案. 【详解】设公差为，由，则，得，. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 4. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 10 B. 4 C. 或10 D. 2或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模长公式，建立方程求得参数，利用向量数量积的坐标计算，可得答案. 【详解】因为，可得或，则或. 故选：D. 6. 已知函数是减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数以及一次函数与反比例函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数是减函数，则，解得. 故选：B. 7. 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及模长，可得对应点的轨迹，根据圆外一点到圆上点的距离，可得答案. 【详解】由，可知在复平面内对应点在以为圆心，为半径的圆上， 由可表示为复数对应的点到复平面原点的距离，且， 则，所以的取值范围为. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理，可得答案. 【详解】设，由二项式定理可得. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，，设，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推公式，可得数列的通项公式，可得答案. 【详解】由条件，故A正确； 可得，即，又，，故B，C不正确； ，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，在四面体中，，，，且，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 若四面体顶点都在某个球的球面上，则该球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得其正误；对于C，根据数量积的运算律，可得其正误；对于D，根据长方体的几何性质，确定球心与半径，可得其正误. 【详解】由为的中点，则，即，故A正确； 由，则，，故B不正确； 由，，，则，，， ，故C正确； 易知该球半径为，表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意构建函数，根据导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】令，由题可知在上可导，， 当时，，在上单调递增； 由，得，故A不正确； 由，得，故B正确； 由，得，故C正确； 由，得，故D正确， 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可得答案. 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知函数，则函数在点处的切线斜率为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，函数在点处的切线斜率为. 故答案为：1. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】 设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2025斯诺克世锦赛中，中国选手赵心童获得冠军，创造了历史.为了解高二学生喜欢台球是否与性别有关，某学校随机抽取了200名高二年级学生进行统计，得到的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 60 女 90 合计 70 200 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）求，，，，； （2）依据小概率值的独立性检验，是否可以推断高二学生喜欢台球与性别有关？ 【答案】（1），，， （2）可以推断高二学生喜欢台球与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表的相关概念，建立方程，可得答案； （2）提出零假设，根据独立性检验的计算方法，可得答案. 【小问1详解】 由表中数据可知， ，，，，. 【小问2详解】 由（1），得到列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 60 40 100 女 10 90 100 合计 70 130 200 零假设为：该校高二学生喜欢台球与性别有关 计算， 所以依据小概率值的独立性检验，可以推断高二学生喜欢台球与性别有关. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简计算即得. （2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，根据三角形面积公式得到面积最大值. 【小问1详解】 由题意得，， 由正弦定理，可得， ， ， ，. 【小问2详解】 ， 由余弦定理， 所以，当且仅当时取等号， 的面积的最大值为. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上为增函数； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论得的单调性； （2）利用导数，结合单调性和极值使在上存在零点，得到答案. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，由得，或，由，得； 当时，恒成立； 当时，由，得或，由，得. 综上可得，当时，在上为增函数； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 令，，即， 令，， ， 当时，由，单调递减， 当时，由，单调递增， ，，， 在上存在零点，即为，即， 综上可得，的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. （1）求四棱锥的高； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出的面积，利用锥体体积公式可求出四棱锥的高； （2）取中点，连接，分析可知平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 因为底面为矩形，，， 则， 设到底面的距离为， ，故四棱锥的高为. 【小问2详解】 取中点，连接， 为等边三角形，且，，平面， 又平面，， 又，，、平面，平面， 平面，平面平面. 【小问3详解】 因为平面，底面为矩形，且， 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量， ，取，得， 设直线与平面的夹角为， . 故直线与平面的夹角的正弦值为. 19. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. （1）求； （2）若直线与交于点，求三角形的面积； （3）求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 【答案】（1）2 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，设出直线方程，联立并写出韦达定理，根据中点坐标公式，可得答案； （2）联立直线方程求交点，利用三角形的面积公式，可得答案； （3）由题意作图，由图中的线段组合以及三角形三边关系，利用点到直线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 由题得的焦点为，设为， 设，，， 联立方程，化简得：， ，则，. 【小问2详解】 由（1）得， 联立方程，解得，. 【小问3详解】 由（1）得的方程为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立方程，化简得：， 由，得与相离， 设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足， 连接，， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $