精品解析：云南省玉溪市澄江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

云南省澄江市第一中学2023－2024学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与圆相交于，两点．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 4. 设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知直线为圆在点处的切线，点为直线上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 已知，则比多了几项（ ） A 1 B. C. D. 7. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数导函数的图象如图，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 11. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线斜率之积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为________. 13. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 14. 已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________ . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有关于x与y的5组数据，如下表所示. x 1 2 3 4 5 y 30 26 28 23 18 （1）依据表中的统计数据判断y与x是否具有较高的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） （2）求y关于x的线性回归方程，请预测当时，y的值. 参考数据：.附：样本相关系数，，. 16. 已知等差数列满足，，的前n项和为． （1）求及的通项公式； （2）记，求证：． 17. 已知. （1）求函数最小值； （2）若存在，使成立，求实数a的取值范围； 18. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省澄江市第一中学2023－2024学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与圆相交于，两点．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为2， 设圆心到直线的距离为d，则， 若，则， 即，解得． 故选：C 2. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D. 考点：椭圆的简单性质 3. 已知在四面体中，点是棱上点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 4. 设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是 A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）． 根据椭圆的定义： P到两焦点的距离之和等于 4×2=8 ， 又因为 P到两焦点的距离之差为2， 可求得，P到两焦点距离分别为 5，3. 所以三角形边长分别为3，4，5.所以是直角三角形选B. 考点：本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质． 点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状． 5. 已知直线为圆在点处的切线，点为直线上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质求出切线方程，再由圆的性质知：的最小值为点到的距离减去半径即可求出. 【详解】设切点，，则切线斜率， 切线为：，即：. 由圆的性质知：的最小值为点到的距离减去. . 故选：A 【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点的间的最小距离，需转化成点到直线的距离减去半径，主要考查了转化能力，属于中档题. 6. 已知，则比多了几项（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由写出，比较两个等式得多了几项. 【详解】由题意，则 ，那么： ， 又 比多了项. 故选：D. 【点睛】本题考查对函数的理解和带值计算问题，属于基础题. 7. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的系数关系解出，需要注意排除重合情况后即可判断. 【详解】根据直线方程，若，则需满足 解得或, 当时，两条直线重合，所以舍去.故得 反之亦可得 当时，因此“”是“”的充要条件. 故选：C 8. 在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合复合函数求导法则逐项计算即得. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B错误； 对于C，对给定等式两边求导得， 取，得，C错误； 对于D，取，得，则， 于，D正确. 故选：AD 10. 函数的导函数的图象如图，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】解：根据导函数图象可知当时，，在时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故B错误； 函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D错误. 故选：BD． 11. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线的斜率之积 【答案】AD 【解析】 【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D. 【详解】 易知， 对于A，设，易知， 则 ，故A正确； 对于B，易知四边形为平行四边形， 即，故B错误； 对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则相应弦长为，故C错误； 对于D，易知，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，分析可得为的中位线，结合、的周长关系可得，AB为双曲线的通径即，联立上式可得，则可由均值不等式求二次商式最大值. 【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故. 为的中点，，则为的中位线，故， 又的周长为，则的周长为 ①， ∵ ②， 故由①②可得，即，可得. 故，当且仅当即时取等号. 故答案为：4 13. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出结果. 【详解】设切点为， 因为，所以， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过，所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 14. 已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________ . 【答案】2 【解析】 【分析】 利用等比公式化为，从而求得公比. 【详解】数列是等比数列，则，所以， 而，，所以公比. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有关于x与y的5组数据，如下表所示. x 1 2 3 4 5 y 30 26 28 23 18 （1）依据表中的统计数据判断y与x是否具有较高的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） （2）求y关于x的线性回归方程，请预测当时，y的值. 参考数据：.附：样本相关系数，，. 【答案】（1）y与x具有较高的线性相关程度； （2）；14.2. 【解析】 【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解； （2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解. 【小问1详解】 由表中数据可得， ， 所以. 又， ， 所以，， 所以y与x具有较高的线性相关程度. 【小问2详解】 由（1）知，，，，， 所以， 则， 所以y关于x的线性回归方程为：， 当时，， 所以预测当时，y的值为14.2. 16. 已知等差数列满足，，的前n项和为． （1）求及的通项公式； （2）记，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， ， ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 即. 17. 已知. （1）求函数的最小值； （2）若存在，使成立，求实数a取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数即可求得的最小值； （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数即可得解. 【小问1详解】 依题意，的定义域是，，.. 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 因为存在，使成立， 即能成立，即能成立， 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，所以. 【点睛】结论点睛：有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． （4），，． 18. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 因为，E为的中点，所以； 在和中，因， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间； （2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上的单调性，即可得解. 【小问1详解】 当时, 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，则在上单调递增， 综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为对任意的，且，都有成立， 不妨令，则，即， 令，则当时， 即在上单调递增， 又， 当时，对称轴为， 若，即时在上单调递增， 若，即时，此时在上单调递增， 若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 令，解得，当时，当时， 若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续， 所以在上单调递增，符合题意； 当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续， 所以在上单调递增，符合题意； 当时，此时在上单调递增，符合题意； 综上可得或，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$