河南省商丘市2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

2023~2024学年度高一下学期期末联考试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚， 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.若复数=(-+4-，则= -1-月 B-3+号 -1+号 0-1-号 2.数据1,3,2,2,5,8,3,6,9,8的70%分位数是 A.5 B.6 c.7 D.8 3.已知与3共线的一个向量的坐标为2,1，b=0,2小，若点0为原点，点A在第三象限，·=一，则ab 的取值范围是 A.(0,4)】 B.(4,+∞) C.(-20j】 D.(4,01 4.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每 场比赛，甲胜的概率为乙胜的概率为则比赛6场后甲赢得比赛的概率为 N启 8 喘 0 729 5.在矩形ABCD中，AB=2AD,E,F分别为AB,CD的中点（如图(1）)，将矩形ABCD绕直线EF逆时针旋 转点A,B,C,D分别位于Q,P,N,M处（如图(2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为 (1) (2) c 吲 【高一下学期期末联考试卷·数学第1页（共4页）】 6.一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差 均为6左右，某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为1 11分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其 成绩为 A.112分 B.113分 C.115分 D.119分 7.在正方体。 111中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的 直线平行于平面ACB1的概率为 A号 B品 c喝 8.在△ABC中，若对任意∈，/-/≥//恒成立，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知虚数b2,则下列结论正确的是 A.若2-1>1，则2>1+1 B.若2=1，则1-2为纯虚数 C若子+3=0，则2=或2= D若=6+8，则//=1可 10.在△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 A若=2，=3，=。则解此三角形有两解 B.若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB>cosA+cosB C.sinA>sinB的充要条件为A>B D.若acosA-bcosB:=sin(A+B+C),则△ABC为等腰直角三角形 11.已知n(n=1,2,3,4)个半径为2的小球被封闭在一个正方体容器内（容器壁厚度忽略不计），则下 列结论正确的是 A.若n=1,则正方体容器的表面积的最小值为24 B.若n=2,则正方体容器的棱长的最小值为2姬 3 C.若n=3,正方体容器的棱长为10且3个球的球心b多共线(02在线段0103上)，则/12 的最大值为63-4 D.若n=4,且小球两两相切，其中3个小球与正方体容器的同一个面a均相切，则第4个小球的球 心到a的距离为4+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校高中部高一、高二、高三人数之比为5：4：3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中 学生中抽取容量为120的样本，若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为 个人：若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且m-n=10,则该校高 中部学生人数为 13.如图，在正方体 一111中，E为线段AB的中点，过点C,E,1 D 的平面把正方体 -111分成体积为力2(1<)的两个几何 体，则2= 14.在锐角△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,C,且2=2+，则±的 取值范围是 【高一下学期期末联考试卷·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 2024年5月3日中国第六个月球探测器嫦娥六号升空，6月2日嫦娥六号探测器成功着陆月球背面， 并完成世界首次月球背面月壤采样和起飞，受到世界广泛关注.某科技媒体在其网站举行中国探测 月球知识有奖测试，测试满分为100分，并随机抽取了200名参与者的测试成绩，经统计这200名 参与者的成绩均在[50,100]内，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 分组，得到如下频率分布直方图，其中成绩在[50,70)内的频率为0.3，成绩在[70,80)内的人 数为90. 组 0.020 05060708090100成绩/分 (1)求a,b: (2)估计这200名样本成绩的平均数： (3)若样本中成绩在[90,100]内的参与者中，94分的有4人，96分，100分的各占品估计这 些参与者的成绩大于94分的概率， 16.(本小题满分15分) 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1,2：白球有4个，编号分 别为3,4,5,6，不放回地随机摸出两个球. (1)求摸出的两个球中有红球的概率： (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事 件M,N是否相互独立. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点. (1)若c=1,2 sinAcos=sin-sin+号sin，=，且cos∠ =受，求△ABC的面积： (2)若∠=3BD=2DC,且AD=2,求△ABC的面积的最大值. 【高一下学期期末联考试卷·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC,ABLBC,PAL平面ABCD,AB=B=2,AD =3,二面角P-BC-A为45°. (1)若E为棱PD上一点，且PE=2ED,证明：CE//平面PAB; (2)求AD与平面PCD所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 由n个实数1,2,3，，所组成的有序数组(a,a2,a3,,an)称为一个n维向量，其中a=1,2,3, ,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对于一个n维向量=(a1,a2,a3,…,an),若lal=1(i=1,2, 3,,n,称a为n维信号向量.设=(a1,a2,a3,,an),=(b1,b2,b3,,bn),定义向量a与b的 数量积为·=1ab,且aLbea b=0. (1)写出3个6维信号向量，并证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量： (2)已知=(X1,X2)为2维非零向量，若X1≥0，X2≥0(=1,2，”，2025)， 1+0=12,,2024),=5x,且5x=1,求1b1的最小值. 【高一下学期期末联考试卷·数学第4页（共4页）】 2023~2024学年度高一下学期期末联考试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D=(-号+i)(4-iD=-2+2i计4i+1=-1+号i,所以=-1-号1故选D 2C把题中数据按照从小到大顺序排列为：1.22.38.5,6.88,9.因为10X70%=7.所以70%分位数是6士8=7.故 选C 3.A因为与a共线的一个向量的坐标为(2，一1)，所以可设a=(2以，一A),则a一b=(2x,一1一2)，因为点A位于第三 2A<0, 象限，所以 解得-2<A<0,a·b=-2λ∈(0,4)，故选A. -1-2<0. 4B设“第i次比赛甲胜"为事件A(=1,2,…,6),“比赛6场甲赢”为事件A,则P(A)=P(A.AA.AiA:A.)=号× (1-)×号×(1-号)×号×号-7故选B 5.D设AD=1,则AB=2,QM=PN=MF=FN=1,作PG∥QF交MN的延长线于点A G,连接CG,则异面直线PC与QF所成角为∠CPG或其补角.易求得PG=QF=√2，由 题意知∠NFC-吾，所以CN=1,所以PC-2,CG-3,os∠CPG=2+2-3= 2×√2X24· 故选D. 6.C设甲同学的成绩为10十5a,则5人的平均分x=1+114+17+118+10+5c 14+a,故其方差=吉[(-3-a)2+(-a)+(3-a)2+(4-a)2+(4a-4)2]=4d2-8a+10=6,解得a=1,故 可估计甲同学的成绩为115分.故选C 7.D连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外还有每个面上各有两条面对角线，共2×6=12，还有4条体对角线，共 28条线段，其中它们所在的直线与平面ACB,平行的有3条，故所求概率为8·故选D 8.B设tAC-AD.则点D在直线AC上，且A苏-1AC=|A市-AD1=|D,又|D苏表示直线AC外的点B与直线 AC上的点D间的距离，且|D|≥BC,所以BC⊥AC,故△ABC为直角三角形.故选B 9.BCD若=2+i,x1=i,则2一=2>1，但>1十不成立，故A错误：设1=a十i(a,b∈R),由1是虚数，得 -0,又=-口一优，所以一=2i,所以一为纯虚数，故B正确：由题意知≠0，由十-0，得等-1一 ,所以4=±i,故C正确：因为好=6+81，所以||=|6+8i|=10,又||=|2，所以|1|=/10，故D正确. 故选BCD. 10.ABC因为sinA<a<b,所以有两解，故A正确：因为△ABC为锐角三角形，所以A十B>交，所以A>变-B,又A, BE(0,受)，所以sinA>sim(受-B）=cosB,同理sinB>cosA,所以sinA十sinB>cosA+cosB,故B正确：sinA >sin Ba.>A>B,故C正确：由acos A一cos B=sin(A+B+C),得acos A=bosB,所以sin Acos A=sin Bcos B,所 以sin2A=sin2B,又A,BE(0,x),所以2A=2B或2A+2B=元，所以A=B或A+B=产，所以△ABC为等腰三角形 或直角三角形，故D错误.故选ABC 11.BC若n=1,则正方体容器的棱长的最小值为4，表面积的最小值为6×4=96，故A错误：若n=2,则当两小球的球 心均在同一条对角线上，两小球外切，且每个小球均与正方体的3个面相切时，正方体容器的校长最小，此时正方体的 对角线长为2十2+23+23=4+4V3,所以正方体容器的棱长为12+45，故B正确：若n=3,正方体容器的棱长为 3 10且3个小球的球心O,O2.O共线(O在线段OO上).则|OO|的最大值为103-43-4=6w3-4,故C正 【高一下学期期末联考试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 A 确：若=4，其中3个小球与正方体容器的同一个面均相切，则四个球心的连线构成棱长为4的正四面体，易求该四面 体的高为雪，所以第4个小球的球心到。的距离为2+4，放D错误.故述比 121800设该校高中部高一，高二高三人数分别为5k,4k,3k,由恶意可得×120-瓷×120=10，k=150.12k= 3k 1800,所以该校高中部人数为1800. 13.立如图，取AA的中点F,则过点C,ED的平面就是平面CEFD,几何体AEF-DCD,是 三棱台，设正方体ABD-ABCD的棱长为2，则该正方体的体积为8，则三棱台AEF-DCD,A B 14.(√2+1√3+2)由余弦定理？=a2+2-2 accos B,又=2十ae,所以ac=a2-2 accos B. 所以c=a一2 ccos B,由正弦定理可得sinC=sinA-2 sin Ceos B,故sinC=sin(B+C)-2 sin Ccos B=sin Bcos C+ cos Bsin C.-2 sin Ccos B=sin Beos C.-sin Ccos B=sin(B-C),又B,C∈(0，π)，则-x<B-C<π，所以C=B-C或 0CK受， C=x-(B一C),所以B=2C或B=x(舍)，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B=2C<受，解得否<C<平，所 0<A=x-3C<5, 以号<csC<停.由正弦定理，得血A0B_血红S2±2C=os20+2sC+2asC=4osC+ sin C sin C 2sC-1=4(sC+)广-号，因为y=4(osC+)广-号在（凭，开）上单调递减，所以其值域为(2+15+2)，即 a+也的取值范围为(2+1,3+2). 5.解：)因为成绩在[70,80)内的人数为90，所以频率为=0.45，……2 所以0.3十0.45十10X(0.020十a)=1,解得a=0.005,…4分 由10(a十b)=0.3,得h=0.025。…6分 (2)由(1)得各组频率依次为0.05,0.25,0.45,0.20,0.05，… …7分 所以平均数为55×0.05十65×0.25十75×0.45十85×0.20十95×0.05=74.5.…9分 (3)由题意知样本中成绩在[90,100]内的人数为0.05×200=10， 其中94分的有4人，96分，100分的各有3人，即大于94分的有6人，…10分 故成绩高于94分的领率为品品· 044444444404040440400400444444040 …11分 估计这些参与者的成绩高于94分的概率为忌 …13分 16.解：(1)从这6个球中随机摸出两个，样本空间2={(1,2).(1,3)，(1,4).(1,5)，(1.6)，(2,3).(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},包含15个基本事件，…3分 记事件A为“摸出的两个球中有红球”，则 A={(1,2).(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5).(2,6)},包含9个基本事件，…5分 所以p(小)号=号，… …7分 (2)由题意得M={(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},包含6个基本事件， 故P(M0=号=号， …9分 N={(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6)},包含6个基本事件，MN={(3,5),(4,6)},包含2个基本事件， …11分 【高一下学期期末联考试卷·数学参考答案第2页（共4页）】 A 故PN)=-号，PM=所以PMP(N) 13分 PMN)=号≠PMP(N 所以M,N不相互独立.… 15分 17.解：(1)因为2 sin Acos B-=asin A-bsin B+-bsin C, 由正弦定理，得2 ucos B=ad2-仔+c, 1分 由余孩定理，得2a1十公-心-+， 2a 所以1=b,所以=4.… 2分 因为D为BC的中点，所以AD=号(A苏+AC),设∠BAC=a, 所以1Ai|=VAB+AC+2AB·AC-号C++2bos0=7+8os, 2 …3分 又A.Ai-A成.(A+AC)-之A+A.AC)=+s0_1+400, 2 2 …4分 所以牙=os∠BAD= A3·AD=1+4cos ABI |AD 17F8cos 0 =,即28cos20+8cos0-11=0. 解得ms0=专或oms=一贵又1十4os>0,所以as0=了，又6长（0，x.所以血0= 2 …6分 所以△ABC的面积为分X4X1Xsin0=原.… …7分 (2)设DC=1,∠ADC=,则BD=2,BC=3L,∠ADB=x一a, 在△ADC中，由余弦定理，得AC=AD十DC9一2AD·DCcos a,即？=4十产一4 teos a,…8分 同理在△ABD中有c2=4十4十800sa,… …9分 两式联立消去c05a,得2十2疗=12十6f. 10分 在△ABC中，由余弦定理，得9r=+2-2co0s号=+2-c,所以r=+。-位 9 11分 所以2+2%=12+6×±。-c,即2+4h+2kc=36. 9 12分 因为2+46≥4bc,所以36=2+4+2x≥66， 所以bx≤6，当且仅当c=2b=23时等号成立， 14分 所以SA=sn∠BAC<3罗，即△ABC的面积的最大值为号 15分 18.Q)证明：在棱PA上取点F,使得PF=2FA,连接EF,BF,则片ED PF PE 所以EF/AD,且需器-号 2分 又AD=3,所以EF=2. 因为BC∥AD,且BC=2,所以EF∥BC,EF=BC,… …4分 所以四边形CEFB为平行四边形，所以CE∥BF,…5分 又CE过平面PAB,BFC平面PAB, 所以CE∥平面PAB.… …6分 (2)解：因为PA⊥平面ABCD,AB,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,PA⊥AB, 又AB⊥BC,PA,ABC平面PAB,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,…7分 因为PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 【高一下学期期末联考试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 A 所以∠PBA为二面角P-BC-A的平面角，故∠PBA=45°.… …8分 所以∠APB=45°，所以PA=AB=2,又AD=3,所以PD=√13， 连接AC.则AC=2E,则△ACD的面积Sm=号X3X2=3, 所以三棱锥P-ACD的体积sm=号Sm·PA=号X3X2=2.…10分 在直角梯形ABCD中，易求CD=√5， 因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC,又PA=2,AC=22,所以PC=2W3,·11分 所以cos∠PCD=PC+CD-PD_=12+5-13_1 2PC·CD 2×23×5√/15 所以∠D√-(（)√ =瓜 所以△PCD的面积SAm=号PC.CDsin∠PCD-=之X23×,5X√凭 …13分 设点A到平面PCD的距离为h, 因为Vm=Vrw=2,所以号Smh=2,即号×Vh=2, 所以h=6=3 147 ,…15分 314 设AD与平面PCD所成的角为0，则sin0=A h 7 14 3 7 即AD与平面PCD所成角的正弦值为 7 ，小…17分 19.解：(1)(1,1,1,1,1,1)，(1,1,1，一1，一1，一1)，(1,1，一1，一1，一1,1)，…1分 证明：假设存在6个两两垂直的6维信号向量，设为少，2，y,,%,y4, 因为将这6个向量的某个分量同时变号或某两个位置的分量同时互换位置，其内积不变， 不妨设=(1,1,1,1,1,1)，为=(1,1,1，一1，-1，-1)，…3分 因为y为⊥，所以⅓·少=0，所以⅓有3个分量为一1.…4分 设为的前3个分量中有k个一1，在后3个分量中有(3一k)个一1(k=1,2,3),…5分 又⊥y,所以2·=(-1)×1×k+(3-k)×1X1+(3-k)×(-1)×(-1)+k×1×(-1)=0, 所以=多与=1,23不盾。 所以不存在6个两两垂直的6维信号向量，…… …7分 (2)因为x=(x)(i=1,2,,2025),x⊥x+1(j=1,2,2024), 所以x1x21十2.x2=0,…,xg+11十x212=0(j=1,2,…,2024),…9分 因为x≥0，x2≥0(i=1,2,…,2025),所以x1x+11=x2x+12=0(j=1,2,…,2024)，…10分 又x≠0(i=1,2,…,2025),所以x与x+的坐标中一个为0，另一不为0，且交替出现，不妨设x=(xm,0),则 x,…,2的横坐标不为0，纵坐标为0，，x…,22的横坐标为0，纵坐标不为0。…12分 设=(m:).则m>0>0,因为6-驾，驾x=1所以m十=1 所以m+㎡≥Cm十n)2=⊥ 2 分， …15分 所以1=V示+示≥号，当且仅当m=n时等号成立， 所以1的最小值为号 …17分 【高一下学期期末联考试卷·数学参考答案第4页（共4页）】 A