1.2.3 反证法（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

1.2.3 反证法 第一章 集合与逻辑 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，了解反证法的思想以及反证法的表达方式. 会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题. 在问题解决的过程中，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性. 课题引入 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游． 道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动． 人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李．取之，信然.” 所以“树在道旁而多子，此必苦李” 王戎的推理方法 假设“李子甜” 树又在道旁，则李子必被人摘走 与“树在道旁而多子”矛盾 “李子甜”的假设不成立 新知探究 乙 引例 求证：两直线相交，有且只有一个交点. 分析：假如两条直线相交不止一个交点 设其中的两个不同交点分别为P、Q 这样，过不同的两点P、Q就有两条直线 这与“过两点有且仅有一条直线”公理矛盾 所以两条直线相交不止一个交点是不可能的 所以两条直线相交有且只有一个交点 新知探究 乙 问题1 如何理解反证法？ 在推理过程中，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论β的对象就行了. 但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β. 有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 新知探究 乙 1.反证法 首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出 矛盾，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的.这样 的证明方法叫反证法. 典例分析 例1 设n∈Z.证明：若n2是偶数，则n也是偶数. 证明 假设是奇数, 设n=2k+1,k∈Z， 因为 n² = 4k² + 4k +1 = 4(k² +k) + 1, 这说明n²是奇数， 与已知条件n²是偶数矛盾, 所以，假设不成立, 即n是偶数. 一个陈述句不能构成矛盾，两个分别表示完全相反的含义的陈述句叫做一对矛盾. 这里，在n²是整数的前提之下，n²是奇数与n²是偶数就是一对矛盾！ 根据逻辑学上的规定，真命题经过正确的推理得到的是真命题.经过正确的推理，能够得到假命题，那么推理的起点不会是真命题. 因此假设“n是奇数”就是一个假命题，换言之，n是偶数. 典例分析 问题2  运用反证法证明问题的步骤是怎样的？ 第一步：假设命题的结论不成立； 第二步：从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 新知探究 乙 问题3 如何表述一个陈述句的否定形式？ 陈述句的否定形式就是和它的含义完全相反的陈述句，非此即彼. 一些常见的否定形式 【说明】对于陈述句α，可以用集合语言表述为：A={x|x满足α} 我们可以借助集合语言帮助理解. 一个陈述句的否定形式的否定形式是它本身. 例“x>1或y>1”的否定形式是“x≤1且y≤1"; “x≤1且y≤1”的否定形式是“x>1或y>1" 典例分析 例2 设x,y∈R.证明：若x+y>2，则x>1或y>1. 证明 假设x≤1且y≤1 则x+y≤ 2， 这与已知条件x+y>2矛盾. 所以假设不成立， 所以x>1或y>1. 在反证法中，所谓“得到矛盾”是指发现了某个命题既是真命题又是假命题. 这个命题可以是假设（假设为真，随后推理得到它假的），也可以是前提条件或其他已知为真的命题，如定理、性质等. 问题4 运用反证法证明问题的第二步如何导出矛盾？ 典例分析 例3 证明：是无理数. 证明：假设是有理数 设=,其中m与n是互素的正整数，于是m=n. 两边平方得m²=2n²，所以m²是偶数, 由例1知m也是偶数, 于是设m=2k，k 为正整数. 将其代入m²=2n²，得2n²=4k² 即n²=2k²，故n²是偶数 再由例1知n也是偶数 于是m、n有公因数 2, 这与m、n互素的假设矛盾, 所以假设不成立， 即是无理数. 命题的否定 题型一 题型探究 1.用反证法证明命题“设n∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时， 应假设 . 写出命题“存在实数x、y、z，使x≠y或y≠z.”的否定： . 已知n2是偶数，则n是奇数. 对任意的实数x,y,z,有x=y=z. 反证法证明 题型二 题型探究 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c， 求证：A,B,C中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设结论不成立， 即0<A<60°,0<B<60°,0<C<60°， 则A+B+C<180°，这与A+B+C=180°相矛盾， 所以假设不成立， 所以A,B,C中至少有一个角大于或等于60°. 课堂小结 反证法 组成 集合 逻辑推理 假设结论不成立（陈述句的否定形式） 导出矛盾（条件、公理、定理等） 推理（说理充分 推理严谨） 假设不成立，则结论成立 感谢聆听! $$