1.2.2 充分条件与必要条件（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

1.2.2 充分条件与必要条件 第一章 集合与逻辑 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 通过具体实例，了解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，并能在简单的情形下作出正确的判断. 通 能借助推出关系判断充分条件、必要条件. 在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养. 课题引入 同学们，咱们来玩个小游戏。假如我说：“如果天下雨，那么地面湿。”大家想想，在什么情况下，能确定地面一定湿了呢?没错，就是天下雨的时候。那如果地面湿了，是不是一定是因为天下雨呢?这就是咱们今天要研究的内容——充分条件、必要条件和充要条件。 新知探究 乙 图（1） 问题1 如图（1）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 只要开关A闭合，灯泡S一定亮. 要使得灯泡S亮，开关A 闭合就足够了，充分了. 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一个充分条件，同理“开关B闭合”也是 “灯泡S亮”的一个充分条件. 来个数学中熟悉的例子！ 例“x=1 ”时“(x-1)(x+ 2)=0 ”一定 成立，所以“x=1”是“(x-1)(x+2)=0 ” 的一个充分条件； 同理“x=-2”也是(x-1)(x+2)=0”的一个充分条件. 新知探究 乙 问题2 如图（2）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 开关A闭合灯泡S不一定亮，但是开关A 不闭合，灯泡S一定不亮. 要使得灯泡S亮，开关A必须闭合，开关A闭合是灯泡S亮的不可或缺的条件，所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的必要条件，同理“开关B闭合也是“灯泡S亮”的必要条件 . 例“x≥0”时“x>0”不一定成立， 但“x≥0”不成立时“x>0”一定不成立， 所以“x≥0”是“x>0”的不可或缺的条件, 我们称“x≥0"是“x>0”的一个必要条件， 同理“x>-1”也是x>0”的一个必要条件. 图（2） 新知探究 乙 定义 对于两个陈述句α与β，如果就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件. 该定义中，“充分”二字说明α成立时β一定成立，而“必要”二字说明β不成立时α一定不成立．需要注意的是，这里的充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 根据定义，如果α推不出β，那么就称α不是β的充分条件，亦称β不是α的必要条件.  1.充分条件与必要条件 典例分析 例1 判断下列各组中的α分别是β的什么条件，并说明理由. （1）α：四边形ABCD是正方形， β：四边形ABCD的四个内角都是直角； （2）α：x2是有理数，β：x是有理数． 解（1）因为正方形的四个内角都是 直角，所以命题“若α，则β”是真命题， 即αβ，所以α是β的充分条件. 反之，因为四个内角都是直角的四边 形也可以是长宽不相等的矩形，所以命题 “若β,则α”是假命题，α不是β的必 要条件，所以α是β的充分非必要条件. (2）因为有理数(r、s∈Z)的平方 必是一个有理数，所以“若β，则α”是真命题,即βα，所以α是β的一个必要条件 反之,因为=2是有理数,但是无理数，所以“若α，则β”是假命题， α不是β的充分条件. 典例分析 要准确判断α是β的什么条件， 首先必须弄清楚“若α，则β”的命题的真假 如果是真，也就是αβ，则α是β的充分条件． 如果是假，也就是α推不出β，则α不是β的充分条件 其次，必须弄清楚“若β，则α”的命题的真假， 如果是真，也就是αβ，则α是β的必要条件， 如果是假，也就是β推不出α，则a不是β的必要条件 方法技巧 新知探究 乙 图（3） 问题3 如图（3）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 只要开关A闭合，灯泡S一定亮. 要使得灯泡S亮，开关A一定是 闭合的. 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一个充分条件，同理“灯泡S亮”也是 “开关A闭合”的一个充分条件. 新知探究 乙 定义对于两个陈述句α与β，如果既有，又有，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作“α与β等价”或 “α成立当且仅当β成立”. 2.充要条件 新知探究 乙 图（4） 问题5 如图（4）中的电路，开关A闭合与灯泡S亮不亮有没有关系？ 开关A闭合与灯泡S亮不亮没有任何关 联，这里“开关A闭合”是“灯泡S亮”的 既非充分又非必要的条件， 例“x>1”是“x-2<0”的既非充分 又非必要的条件，因为x>1推不出x-2<0， 反之x-2<0也推不出x>1. 典例分析 例2　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分非必要条件” “必要非充分条件”“充要条件”“既非充分又非必要条件”). (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； p是q的充分非必要条件. 解　∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， p是q的充要条件. 典例分析 (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4) p：a是自然数；q：a是正数. 方法技巧 解　由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要非充分条件. 解　0是自然数，但0不是正数，故p⇏q； 故p是q的既非充分又非必要条件. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若α，则β”以及“若β，则α”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由α1⇒α2⇒…⇒αn，可得α1⇒αn；充要条件也有传递性. 典例分析  例3 已知m是实数，集合M={2,3,m+6}，N={0,7}． 求证：“m=1”是“M∩N={7}”的充要条件. 如何证明充要条件问题？ 解先证充分性（即证m=1M∩N={7}）. 再证必要性（即证M∩N={7}m=1） 当m=1时，M={2,3,7}.又因为N={0,7}， 当M∩N={7}时， 由7∈M，得m+6=7 因此m=1. 所以M∩N={7} 综上所述，“m=1”是“M∩N={7}”的充要条件 要证β的一个充要条件是α，也就是α是β的一个充要条件. 先证充分性，即证α>β，α是β的一个充分条件； 再证必要性，即证β=α，α是β的 个必要条件. 方法技巧 充分必要条件的判断 题型一 题型探究 1.指出下列各组命题中，α是β的什么条件(“充分非必要条件” “必要非充分条件”“充要条件”“既非充分又非必要条件”). (1)α：x2>0，β：x>0； (2)α：a能被6整除，β：a能被3整除； 解　α：x2>0，则x>0或x<0，β：x>0， 故α是β的必要非充分条件. 解　α：a能被6整除，故也能被3和2整除，β：a能被3整除， 故α是β的充分非必要条件. 充分必要条件的判断 题型一 题型探究 (3)α：两个角不都是直角，β：两个角不相等； 解　α：两个角不都是直角，这两个角可以相等， β：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故α是β的必要非充分条件. (4)α：A∩B＝A，β：⊆. 解　∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔⊆， ∴α是β的充要条件. 充分必要条件的应用 题型二 题型探究 2.已知α：－2≤x≤10，β：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若α是β的充分非必要条件，则实数m的取值范围为________． 解：因为p是q的充分非必要条件，所以pq且qp 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集 解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 所以 充分必要条件的应用 题型二 题型探究 3.“a+b>0”的一个必要非充分条件是 . a+b>2（答案不唯一） 充分必要条件的证明 题型三 题型探究 4.　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2. 代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件是∠A＝90°. 课堂小结 充分条件与必要条件 推出关系 判断 α是β的充分非必要条件 (αβ且β推不出α) α是β的必要非充分条件 (α推不出β且αβ) α是β的充要条件 (αβ且αβ) α是β的既非充分又非必要条件 (α推不出β且β推不出α) 证明 α是β的充要条件 (1)充分性αβ (2)必要性αβ 推出关系 αβ α是β的充分条件； β是α的必要条件. 感谢聆听! 解　当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. (1)p：x＝1，q：x－1＝； 又是正数，但不是自然数，故q⇏p. 则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝， 将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， $$