专题03 集合的运算六大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020高一必修第一册

专题03 集合的运算 题型一：并，交，补集的概念及运算 题型二：根据交集的运算结果求集合或参数 题型三：根据并集的运算结果求集合或参数 题型四：根据补集的运算结果求集合或参数 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 题型六：容斥原理 题型一：并，交，补集的概念及运算 1．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 题型二：根据交集的运算结果求集合或参数 6．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 7．设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 8．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围， 9．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围． 10．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 题型三：根据并集的运算结果求集合或参数 11．已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 12．已知集合，，且，求实数组成的集合为 13．已知集合，若，则 14．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 15．设，已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的取值范围. 16．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 题型四：根据补集的运算结果求集合或参数 17．若全集，，，则的值是 ． 18．设全集，集合，若，则实数 ; 19．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 20．设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 21．若全集，，，求实数的值. 22．设全集，，，求的值． 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 23．已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 24．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 25．设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 26．已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 27．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 题型六：容斥原理 28．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 29．求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 30．某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 31．2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合的运算 题型一：并，交，补集的概念及运算 题型二：根据交集的运算结果求集合或参数 题型三：根据并集的运算结果求集合或参数 题型四：根据补集的运算结果求集合或参数 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 题型六：容斥原理 题型一：并，交，补集的概念及运算 1．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与并集运算即可. 【详解】因为全集，， 所以，又， 则. 故选：A. 2．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合，再求出，最后根据补集的定义求出. 【详解】已知集合，解一元二次方程，可得或 所以集合. 已知，所以. 所以. . 故选：A. 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 4．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的补集和交集运算可得结果. 【详解】由题知，，则，故． 故选：B． 5．已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 【答案】 【分析】方法一：由题意分析集合和集合中元素，对于不能确定的元素分情况讨论即可得解；方法二：画韦恩图，把能确定的元素表示出来，逐步分析即可. 【详解】（方法一）由题意得， 由得，且， 由得，且， 由得，且． 下面讨论11和13． 情形一：，但，与矛盾． 情形二：，但，与矛盾． 情形三：，且，与矛盾． 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． （方法二）结合韦恩图（如图）， 将条件，所涉及的元素填入，得． 题型二：根据交集的运算结果求集合或参数 6．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知，应用集合的交补运算求； （2）由交集结果列不等式组求参数范围即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以或，则. （2）因为或，又，且， 所以，解得，故实数的取值范围为. 7．设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合的补集和并集运算求解； （2）根据题意可得，分和讨论求解. 【详解】（1）当时，， 或，又， ． （2），， 当，即，即时，符合题意； 当，即时，，无解． 实数的取值范围是． 8．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围， 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入化简集合B，再利用集合的交并补运算即可得解； （2）分类讨论与两种情况，利用集合交集的结果得到关于的不等式（组）解之即可得解. 【详解】（1）当时，， 又，， 所以或； （2）因为，， 当时，则，得； 当时，则或，无解， 综上，. 9．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意. （2）借助判别式及韦达定理化简即可. （3）根据集合元素情况分类求解即可. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，化简得，解得或， 当时，，满足， 当时，，满足， 所以或. （2）由集合中有两个元素，得方程有两个不等实根， 则，， 所以. （3）由，得，而且，， 当时，，解得； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解， 所以实数的取值范围为. 10．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【详解】（1）当时，又， 所以，； （2）当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 题型三：根据并集的运算结果求集合或参数 11．已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．已知集合，，且，求实数组成的集合为 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到或，解得，再代入检验. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或， 解得或或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 综上可得实数组成的集合为. 故答案为： 13．已知集合，若，则 【答案】1或2 【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解. 【详解】因为， ， 当时，，此时，，满足题意， 当时，，由可得，即. 综上，1或2. 故答案为：1或2. 14．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以，. （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 15．设，已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，分类讨论求解参数的值即可； （2）解出集合，由可知，求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， ∴或， 当时，，不符合，舍去， 当时，，，符合题意， 则. （2）或， ∵， ∴， ∴. 16．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）求得集合，利用并集与交集的定义可求，； （2）由题意可得，分或两种情况求解即可求得实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， ； ，或， 所以或或； （2）当，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为. 题型四：根据补集的运算结果求集合或参数 17．若全集，，，则的值是 ． 【答案】2或8 【分析】由即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得或. 故答案为：2或8. 18．设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 19．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 20．设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由补集运算求得集合，再根据子集的概念即得. 【详解】因为全集，，所以. 则M的子集有共4个. 故选：C. 21．若全集，，，求实数的值. 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，， 所以， 解得，或， 当时，，，不是的子集， 不成立，所以； 当时，，，，成立； 所以. 22．设全集，，，求的值． 【答案】6 【分析】由补集的概念列式求解． 【详解】解：∵全集，，， ∴∴． 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 23．已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，由并集运算即可； （2）由条件分别判断0，1是否属于集合即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以． （2）由，又，得， 由，得， 所以． 24．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再结合并集的定义即可求解； （2）分析可得，，进而得到，即可求出，进而根据真子集的定义写出所有的真子集即可. 【详解】（1）因为，， 则， 又，， 所以. （2）由题意，，，， 则，，即， 所以，此时， 所以集合的真子集为：. 25．设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 【答案】(1)；， (2) (3)，，，,． 【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与； （2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）找出所求集合的所有子集即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； （2）全集，， ； （3）的所有子集为，，，． 26．已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解； （2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可. 【详解】（1）， 所以，； （2）由（1）得， 又，所以， 所以，得. 27．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式后由交集的概念求解， （2）转化为集合间关系后列式求解． 【详解】（1），当时，， （2）若，则 ，∴，∴ 题型六：容斥原理 28．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 29．求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 30．某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 【答案】 【分析】利用韦恩图可求两科竞赛都参加的人数. 【详解】 设集合为参加物理竞赛的同学构成的集合，集合为参加化学竞赛的同学构成的集合， 由题意作出韦恩图如上图，设两科竞赛都参加的有人， 则，解得. 故答案为：. 31．2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 【答案】16 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$