精品解析：安徽省六安市善新高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

六安善新高级中学2024-2025学年度第二学期 高一年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 已知复数z满足，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内 6. 已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分），则这15人成绩的第80百分位数是（ ） A. 92 B. 92.5 C. 93 D. 91.5 8. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、多选题 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 10. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________． 13. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为______． 14. 为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 四、解答题 15. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数a的值； （2）若是方程的根，求实数b，c的值. 16. 如图，在正方体中，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线和平面所成的角. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 18. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 19. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安善新高级中学2024-2025学年度第二学期 高一年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：. 故选：D. 2. 已知复数z满足，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求，故可判断其对应的点所在的象限. 【详解】由题意可得， 其在复平面内所对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 3. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 4. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为5，所以该圆锥的侧面积为. 故选：B. 5. 如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可. 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 6. 已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分），则这15人成绩的第80百分位数是（ ） A. 92 B. 92.5 C. 93 D. 91.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解. 【详解】将15人的成绩从小到大排列为：， 由，所以第80百分位数为第12个数与第13个数的平均数，即. 故选：B 8. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 二、多选题 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 的实部为1，虚部为1，故B正确； ，故A正确； 的共轭复数为，故C不正确； 在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 11. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 前三组的频率和为，因此这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，B正确； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出，再求其虚部即可. 【详解】由可得. 故z的虚部为. 故答案为：. 13. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱及圆锥的体积计算公式即可得出结果. 【详解】由题可知，， ∴该模具的体积为， 故答案为：. 14. 为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 【答案】240 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征即高一年级抽取人数占比即为高一学生人数所占总学生人数占比，列式即可求解. 【详解】因为三个年级学生人数之比依次为，所以高一年级抽取的比例为，得. 则高三年级抽取的人数为. 故答案为：. 四、解答题 15. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数a的值； （2）若是方程的根，求实数b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再结合纯虚数的定义即可求出； （2）将代入方程中，利用复数相等的概念即可求出. 【小问1详解】 因为， 因为是纯虚数，所以解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因是方程的根，则， 即， 则，得. 16. 如图，在正方体中，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线和平面所成的角. 【答案】（1）证明: 因为在正方体中，可知,而平面，平面，所以平面. （2）证明： 因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角形，因此， 又，且平面， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定可证明； （2）先证明线线垂直，从而可得线面垂直； （3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形，， 设正方体棱长为2，可得， 所以，因此直线和平面所成的角为. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：方法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 方法二：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 方法二：取的中点，连接，分别证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，求得，以及，及，设点到平面的距离为，结合体积列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 且， ， 所以． 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离为． 【点睛】 18. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 【答案】（1）50，8； （2）42，55 （3）49，50 【解析】 【分析】（1）由平均数和标准差计算公式即可求解； （2）由百分位数的计算公式即可求解； （3）由即可求解； 【小问1详解】 平均数， 方差， 所以标准差为8 【小问2详解】 ，所以20%分位数为， ，所以分位数是第8个数，为55， 【小问3详解】 第一组：， 第二组：， 所以， . 19. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数． 【答案】（1）人， 人， 20人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先先确定分层抽样的比例，进而可求得样本中老年、中青年、少年的人数. （2）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得的值. （3）根据百分位数的概念进行求解即可. 【小问1详解】 老年、中青年、少年的人数比例为 抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为20人. 【小问2详解】 由题意可得，. 解得：. 【小问3详解】 设当天游客满意度分值的分位数为，因为， ． 所以位于区间内，则 解得：，所以估计当天游客满意度分值的分位数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $