精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期期末考试考前模拟数学试题

2025年春期六校期末考试考前模拟 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则m=（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合实部与虚部的概念即可求解. 【详解】由，因为的实部与虚部相等， 所以， 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案. 【详解】. 故选：C. 3. 在平行四边形ABCD中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 4. 若，则(1-tanα)(1-tanβ)=（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干，将换成，再根据进行化简即可. 【详解】 故选：. 5. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数，根据复数的模长公式即可求解. 【详解】设，，由， ∴，解得， ∴，∴. 故选：D. 6. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱柱特点，则（或其补角）为异面直线与所成的角，再在中，应用余弦定理求解即可. 【详解】 在正三棱柱中， ，则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设，在中， ，， 由余弦定理得 故选：D. 7. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【详解】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B 8. 如图，三棱锥S-ABC形的容器（忽略容器的器壁）内部装满了水，在三条侧棱上各凿出一个小洞D，E，F（将三个小洞视为质点D，E，F），且，则这个容器最多可装原来水的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应成比列得出，再结合三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，连接， 当平面平行于水平面时，容器可盛水最多． 因为，所以 又，所以点F到平面的距离是点C到平面的距离的 故 ，即这个容器最多可装原来水的 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 经过3个点的平面有且只有一个 B. 若直线平面，则平面内有无数条直线与a平行 C. 若平面满足，，则 D. 若直线满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用线面平行的性质推理判断B；利用面面垂直的性质判定、面面平行的性质推理判断C. 【详解】对于A，经过同一条直线上的3个点的平面有无数个，A错误； 对于B，直线平面，经过直线有无数个平面与平面相交，每条交线都与平行，B正确； 对于C，令，在平面内作直线，则，过直线作平面， 而，则，，因此，C正确； 对于D，直三棱柱的侧棱垂直于底面三角形两条边所在直线，而底面的这两条边所在直线相交，D错误. 故选：BC 10. 下列结论错误的是（ ） A. 若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B. 若非零向量，满足，则与的夹角为60° C. 若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D. 若向量与的夹角为，，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据夹角为锐角得到且不反向共线，从而得到A错误；B选项，将和两边分别平方得，从而得到，得到夹角；C选项，计算出，利用投影向量的模长公式得到答案；D选项，利用向量数量积公式得到，从而求出最小值. 【详解】A选项，， 且，解得且，A错误； B选项，将和两边分别平方得， ，，即 则， 所以与的夹角为30°，B错误； C选项，，又，所以， 所以在方向上的投影向量的模为，C正确； 对于D，， 当时，有最小值，所以的最小值为，D错误． 故选：ABD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的图象关于直线，对称 C. 函数的一个周期为 D. 函数在，上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B验证；C求证；D分类讨论求出的解析式，再分段研究其单调性. 【详解】对于A，因为，， 因，所以不是奇函数，A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于直线，对称，B正确； 对于C，因为，所以的一个周期为，C正确； 对于D，由， 得，得， 此时，在上单调递增； 由，得，得， 此时，在上单调递增， 又，， 故在，上单调递增，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 【答案】4 【解析】 【分析】借助扇形周长公式与面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，母线为， 则， 依题意，得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：4. 13. 已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则_________，的最小正值为_________ 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】由周期求出，利用图象平移后关于y轴对称求出. 【详解】由题意得的最小正周期，得， 则． 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，得的最小正值为. 故答案为：①4；②. 14. 已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且是边长为3的正三角形，P 为球O的球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用球的截面小圆性质求出球心到平面的距离，再求出点P到平面ABC的距离的最大值即可. 【详解】依题意，外接圆半径为，则点O到平面的距离为， 因此点P到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若关于的方程在内有两个不相等的实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角和辅助角公式，得到，再利用的性质即可求解； （2）根据题意，将问题转化成函数与的图象在内有两个交点，再数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 由，得 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 由题知，函数与的图象在内有两个交点， 由，得，令，则， 所以函数与的图象在内有两个交点， 当时，单调递增，当时，单调递减， 函数与的图象如图所示，则， 所以的取值范围为． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知的面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）①，或，；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化为边后计算即可得； （2）①借助面积公式计算即可得；②借助余弦定理可得，则可得，再借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 得； 【小问2详解】 ①由题意得，则， 则有，解得或， 故，或，； ②由余弦定理得， 则， 设外接圆的半径为，由正弦定理得，得. 17. 如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． （1）证明：平面平面． （2）若，平面平面，求 【答案】（1）证明：平面是菱形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为四边形是矩形，则， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可求解； （2）根据题设条件得，利用面面垂直的性质可得，从而有，再利用，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，取的中，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以， 又，则面，又面，则， 在和中，， 所以，则，∵是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 因为平面，∴， 又是的中点，∴， 又易知，，所以. 【点睛】 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出； （2）用表示，再根据得出，再结合基本不等式即面积公式即可； （3）利用正弦定理得出，，进而化简得出，再结合锐角三角形的信息即可求出. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由题意得， 则，得， 即， 得，等号成立时， 的面积为，则的面积取得最大值. 【小问3详解】 由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 【答案】（1） ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. （2） 取的中点，连接，. ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，∴平面.∵平面，∴. ∵，分别为棱，的中点，∴.∵，∴. ∵，，平面，∴平面. ∵平面，∴. （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，.根据中位线定理及线面垂直的性质可得，.根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质即可证明； （3）根据线面垂直的性质可得.结合线面垂直的判定定理可得平面，故即为直线与平面所成的角，即.设，则可求得，，.连接，过点作，交的延长线于点，连接.根据线面垂直的性质及线面垂直的判定可得平面，进而，故即为平面和平面所成的角.过点作于点.证明与全等，所以.由等面积法可解得.在中求出即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴. ∵，，，平面，∴平面， ∴即为直线与平面所成的角，∴. 设，则，，. 如图，连接.易得平面和平面的交线为.过点作，交的延长线于点，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，，平面，∴平面. 又平面，∴，∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵，，，∴与全等，∴. 由可得，∴. ∴， 即平面和平面所成的角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期六校期末考试考前模拟 高一年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则m=（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则(1-tanα)(1-tanβ)=（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 5. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥S-ABC形的容器（忽略容器的器壁）内部装满了水，在三条侧棱上各凿出一个小洞D，E，F（将三个小洞视为质点D，E，F），且，则这个容器最多可装原来水的（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 经过3个点的平面有且只有一个 B. 若直线平面，则平面内有无数条直线与a平行 C. 若平面满足，，则 D. 若直线满足，则 10. 下列结论错误的是（ ） A. 若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B. 若非零向量，满足，则与的夹角为60° C. 若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D. 若向量与的夹角为，，则的最小值为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的图象关于直线，对称 C. 函数的一个周期为 D. 函数在，上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 13. 已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则_________，的最小正值为_________ 14. 已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且是边长为3的正三角形，P 为球O的球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若关于的方程在内有两个不相等的实数解，求的取值范围． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知的面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 17. 如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． （1）证明：平面平面． （2）若，平面平面，求 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $