【第三章 一次方程（组） 03讲 一元一次方程的解法】暑假小升初衔接训练2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 03讲 一元一次方程的解法 目录 【知识点1. 解方程】……………………………………………………………… 1 【题型1. 解一元一次方程】……………………………………………………… 6 【题型2. 一元一次方程求参数问题】…………………………………………… 9 【题型3. 一元一次方程解的关系】……………………………………………… 14 【题型4. 绝对值方程】…………………………………………………………… 18 【题型5. 一元一次方程新定义问题】…………………………………………… 22 【题型6. 一元一次方程新运算问题】…………………………………………… 29 【课后作业】………………………………………………………………………… 35 知识清单 1、对于只含有未知数x的一元一次方程，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项，然后再除以未知数的系数，从而将其化为x=a的形式。这实质上是求方程的解的过程。 求方程的解的过程叫作解方程。 巩固基础 1. 解下列方程 解：去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号得：， 移项得：， 合同同类项得：， 系数化为1得： 解：整理得： 去分母，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得： 解：去括号得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得 解：去分母，得去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解：移项得；， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解；合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得 解：去括号，得， 移项，得， 合并 同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得， 去括号 ，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：移项，得 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：方程两边乘以6得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 解：去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号得：． 移项得：． 合并同类项得：． 系数化为1得： 解：去括号得： 移项得： 系数化为1得： 解：去括号得： 移项得： 系数化为1得： 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 解：整理得： 合并同类项得： 系数化为1得： 解：合并同类项得到， 系数化为1得， 解：整理得， 系数化为1得， 解：去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 解：去分母得到， 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 直击考点 题型1. 解一元一次方程 1. 解下列方程 解：去括号得：，           移项得：，            合并同类项得：，                   系数化为1得： 解：去分母得：，        去括号得：， 移项得：，         合并同类项得：，             系数化为1得： 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得： 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得： 解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以3，得： 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以，得 解：去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1， 解：去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项， 解：整理得： 系数化为1，得： 解：去括号得： 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1，得 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解：去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得 去括号，得 移项及合并，得 系数化为1，得 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得 合并同类项，得． 系数化为1，得 解：，去括号，得， 移项、合并同类项， 将系数化为1，得 解：移项，合并同类项得， 系数化为1得， 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 解：移项得，， 合并同类项得， 解：移项得， 系数化为1解得 解：去括号得， 合并同类项得， 系数化为1解得 解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1解得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得 解：去分母，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：移项合并得，， 解得 解：去括号得， 移项合并得，， 解得 题型2. 一元一次方程求参数问题 例1．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：方程可化为，方程可化为， 根据题意，得， 解得． 故选：C． 例2．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 【分析】本题考查一元一次方程的解以及解一元一次方程，将代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：将代， ， ， 故选：A． 例3．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 例4．关于的方程，解为时，求的值． 【分析】此题主要考查根据一元一次方程的解求参数的值，把方程的解代入方程，即可得出k的值． 【详解】把代入原方程，得 ． 例5．已知关于的方程，小李由于粗心，把看成6，解得，小王正确解方程得．试求a、b的值． 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将，，代入可得a的值，再将代入可得b的值． 【详解】解：把，代入得：， 解得：， 所以原方程为：， 把代入得：， 解得：， 所以，． 变式1．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 变式2．一位同学在解方程时，把“”处的数字看错了，解得，这位同学把“”处的数字看成了（   ） A．5 B． C．-10 D．10 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．设括号处未知数为y，则，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：设括号处未知数为y，则， 将代入得，， 解得，． 故选：D． 变式3．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 变式4．（1）解关于x的方程； （2）若（1）中方程的解与关于x的方程 的解互为相反数，求a的值． 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，以及互为相反数的两数之和为0，是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）先解方程，根据两方程的解互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解，即可得到a的值． 【详解】解：（1）， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． （2）， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以7，得． 根据题意，得， 解得． 变式5．七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 题型3. 一元一次方程解的关系 例1．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 例2．如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 例3．若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先根据题意计算的解为，将代入，即可求出答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得， 故选A． 变式1．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 变式2．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 【分析】本题主要考查了一元一次方程，一元一次方程方程的解， （1）根据一元一次方程的定义计算即可； （2）解方程并将其解代入一元一次方程的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：关于x的方程是一元一次方程， 解方程， 解得， 将代入， 得， 解得． 变式3．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 题型4. 绝对值方程 例1．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 例2．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，得出且，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：． 故选：A． 例3．解方程 【分析】本题主要考查绝对值的应用、解一元一次方程和分类讨论思想的应用，根据题干已知的绝对值将x分为三种情况，分情况讨论使用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：若，则，化简得，解得（舍去）； 若，则，化简得，解得； 若，则，化简得，解得； 综上所述，或． 例4．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 变式1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值方程，绝对值的性质等；由绝对值及数的平方得或，，由绝对值的性质得，判断取值，代值计算，即可求解；能熟练利用绝对值的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：或， ， ， ， ， ， 当或时，，， 当时，，， 或或， 故选：A． 变式2．方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】本题考查了解绝对值方程，由得，分两种情况分别解方程即可． 【详解】解：因为， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得． 综上所述，方程的解是或． 故选：A． 变式3．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 变式4．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 题型5. 一元一次方程新定义问题 例1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴方程的解为：， ∴关于y的方程即：的解为：， ∴； 故选A． 例2．若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 例3．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程是“友好方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“友好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， ∴． 变式1．如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求出的解，根据“和谐方程”的定义，两个解互为相反数，可得，将代入可得，再根据无论取何值，等式都成立，可列，，分别求出，的值，进而得到的值． 【详解】解：∵， ∴方程的解为：； ∵两个方程互为“和谐方程”， ∴关于的方程的解为：， 将代入得：， 化简得：， ∵无论取何值，等式都成立， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 变式2．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：-5． （2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”， 即与互为“反对方程”， （3）的“反对方程”为， 由得，， 由，得， 由条件可知与都为整数，也为整数， 当时，，都为整数， 当时，，都为整数， 的值为． 变式3．阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 变式4．阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______； (2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，新定义运算，解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程． （1）根据题目中给出的信息进行计算即可； （2）根据“理想数对”的定义列出关于的方程，解方程即可； （3）先根据“理想数对”得出，整理得，然后代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为： 2 ； （2）解：∵是“理想数对”， 解得：； 故答案为： ； （3）解：∵， ∵是＂理想数对＂， 整理得：， 把代入得： ． 题型6. 一元一次方程新运算问题 例1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 例2．现规定一种新运算：，若，则 ． 【分析】本题考查了新定义的运算以及解一元一次方程，利用题中的新定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ 解得，， 故答案为：． 例3．现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为 ． 【分析】本题考查了新定义，以及解一元一次方程，理解题目中运算规则是解题的关键． 理解运算法则，进行分类讨论，逐个解出x的值，即可作答． 【详解】解：当，则， ； 当，则， ， 但，这与矛盾， 所以此种情况舍去． 即：若，则有理数的值为4， 故答案为：4． 例4．对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：，如：，． (1)计算：①_______； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，，，且，求的值． 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）分两种情况，根据新定义将转化为一元一次方程，再将代入方程即可． （3）根据新定义将转化为关于x的等式，然后整理即可． 【详解】（1）①； 故答案为：5． （2）∵若是关于x的一元一次方程． ∴当时，， ∵方程的解为， ∴， ∴，符合题意． 当时，方程为：． ∵方程的解为， ∴， ∴，不合题意，舍去． ∴． （3）∵，且， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．阅读材料：对于任意有理数，，规定一种特别的运算“”：．例如：． (1)小明说：“无论取何值，的值都不变．”他的说法 （填“”或“”）； (2)若，求的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有结合律？ 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算的运算法则是解题的关键； （1）根据新定义写出即可求解； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意将和分别计算，即可求解； 【详解】（1）解：， 他的说法错误； 故答案为： （2）解：由题意，得 解出； （3）解：由题意，得 而 可得 所以新运算对于结合律仍然适用成立； 变式3．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键． （1）先根据新定义变形，再用作差法比较； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， ∵为有理数， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 变式4．我们来定义一种运算：．例如；再如： ．按照这种定义，当时，x的值是多少？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是理解题中的新定义运算；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得． 变式5．已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算表示出，再利用作差法解答即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 解得； （3）解：，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∴． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键．先把把代入方程右边的忘记乘以6的方程，求出，再正常解原方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：A． 2．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则． 根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 故选C． 3．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（   ） A． B．1 C．或1 D．5或1 【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据题意列方程，解得x的值即可． 【详解】解：当时， 解得：， 当时， 解得：， ∵， ∴， 综上，输入的x值为或1， 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期中）小马虎在解决关于的方程时，误把“”看成了“”，得到方程的解为． 则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入7a+5x=16得出方程，求出，得出原方程为，求出方程的解即可． 【详解】解：将代入得： ， 原方程为， ， 原方程的解为， 故选：A． 5．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 把代入，得，求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程， 得，解得． 故选：A． 6．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的方程有整数解，则满足条件所有整数的和为（   ） A． B．2 C．7 D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件所有整数的和为， 故选：D． 7．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）有一道解方程的题：．“□”处被油墨盖住了，查答案可知这个方程的解是，那么“□”处的数字是（   ） A．7 B．2 C．5 D． 【分析】本题主要考查了含参数的整式方程．熟练掌握方程的解的性质，解一元一次方程，是解题的关键． 利用方程的解，把解代入方程，就可以得到关于参数的一元一次方程，解这个一元一次方程即可． 【详解】解：设方框处的数字为m， 则这个方程为， ∵它的解为， ∴将代入中， 得， 解得． 故选：C． 8．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）定义：若，则称M与N是关于m的关联数．例如：若，则称M与N是关于3的关联数．若与是关于2的关联数，则x的值是（    ） A．1 B．3 C． D．1.5 【分析】本题主要考查行定义运算、解一元一次方程等知识点，读懂题意、理解关联数定义是解题的关键． 根据关联数的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得∶． 故选A． 9．（22-23七年级上·重庆酉阳·期末）从这六个数中任选一个数作为a的值，使关于x的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次方程．先把原方程变形为，依次代入a的值，解关于x的方程，找到符合条件的所有整数a，求和即可． 【详解】解：∵， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 当时，，解得，符合题意； 当时，，无解，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； ∴符合条件的所有整数a的和是， 故选：D． 10．（24-25七年级上·天津·阶段练习）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及知道一元一次方程的解求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解得，根据方程无解，可知，从而求得答案． 【详解】解： 关于的方程无解 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若与互为负倒数，则 ． 【分析】此题考查解一元一次方程，倒数，解题关键在于掌握运算法则，列出一元一次方程．根据互为负倒数的两数之积为可得出方程，解出即可． 【详解】解：∵与互为负倒数， ∴， 解得： 故答案为：5． 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：方程可变形为， 设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海金山·期中）我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，理解新定义，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴ 解得． 当时， ∵ ∴ 解得． 故答案为：20或． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是解一元一次不等式的过程，请补全步骤，并写出注意点或依据： 第一步变形为，这一步变形叫 ，需注意 ； 第二步变形为，这一步变形叫 ，依据是 ； 第三步变形为，这一步变形叫 ，需注意 ． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】第一步变形为，这一步变形叫移项，需注意移项要变号； 第二步变形为，这一步变形叫合并同类项，依据是合并同类项法则； 第三步变形为，这一步变形叫化系数为1，需注意不等式两边同除以一个负数时不等号方向改变． 故答案为：移项；移项要变号；合并同类项；合并同类项法则；化系数为1；不等式两边同除以一个负数时不等号方向改变． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先求出方程的解为，易得的解为，然后代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解比关于的方程的解大5， ∴方程的解为． 将代入方程得到， ∴，解得． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆·自主招生）设，满足，则 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义计算出，再根据可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解．根据解为负整数，则当为整数时，即可求出答案． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程移项，合并同类项后根据题意求得，的值，将其代入中计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵该方程有无数个解， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，▲处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字应是 ． 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴． 故答案为：1． 20．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为 ． 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据绝对值方程的计算方法即可求解． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵是“差解方程”， ∴， 整理得，， ∵为正数， ∴等式两边同时除以得，， ∴， ∴或， 解得，或， ∴的值为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 21.解下列方程 解：去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 解得 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 解得： 解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得： 解：去括号得：， 整理得：， 解得： 解：去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 解：移项：， 合并同类项：， 解得： 解：去括号得：， 移项合并得： 解：去分母：，    移项：， 合并同类项：，    解得： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 解：去分母得：， 移项合并得：， 解得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得： 解：去分母得： ， 系数化为1得： 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解；去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1： 解：方程可化为：， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1： 解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 22．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到中，可求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴a的值为3，原方程的解为． 23．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． （1）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于的方程，解方程求出即可； （2）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于，的等式，求出，再代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ， ． 24．（2025六年级下·山东·专题练习）【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）首先解关于x的方程，求得x的值，再分别解关于y的方程求得y的值，进一步根据“友好方程”的定义判断即可； （2）首先解关于y的方程求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 解方程得或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）解：解方程得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”， ∴当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 25．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)求该方程的解． 【分析】本题考查一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．梳理掌握一元一次方程的定义，以及解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，列式即可求出的值； （2）由（1）得到原一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴； （2）解：将代入方程中得，则， 解得． 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，由题意可知是方程的解，然后可求得，然后将代入原方程得，再进行求解即可，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴ 将代入， 得， ∴ ∴ 解得：， ∴ 方程去分母得， ∴ ∴ 解得． 27．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 28．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解的3倍，求k的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟知一元一次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，据此求出得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求得到关于x的方程的解为，据此把代入对应的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得 （2）解：由题意得，关于x的方程的解为， ∴， 解得． 29．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 30．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： (1)求； (2)若，求； (3)当满足等式的是正整数时，求整数的值． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 03讲 一元一次方程的解法 目录 【知识点1. 解方程】……………………………………………………………… 1 【题型1. 解一元一次方程】……………………………………………………… 4 【题型2. 一元一次方程求参数问题】…………………………………………… 6 【题型3. 一元一次方程解的关系】……………………………………………… 7 【题型4. 绝对值方程】…………………………………………………………… 8 【题型5. 一元一次方程新定义问题】…………………………………………… 10 【题型6. 一元一次方程新运算问题】…………………………………………… 13 【课后作业】………………………………………………………………………… 15 知识清单 1、对于只含有未知数x的一元一次方程，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项，然后再除以未知数的系数，从而将其化为x=a的形式。这实质上是求方程的解的过程。 求方程的解的过程叫作解方程。 巩固基础 1. 解下列方程 直击考点 题型1. 解一元一次方程 1. 解下列方程 题型2. 一元一次方程求参数问题 例1．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 例2．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 例3．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 例4．关于的方程，解为时，求的值． 例5．已知关于的方程，小李由于粗心，把看成6，解得，小王正确解方程得．试求a、b的值． 变式1．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．一位同学在解方程时，把“”处的数字看错了，解得，这位同学把“”处的数字看成了（   ） A．5 B． C．-10 D．10 变式3．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式4．（1）解关于x的方程； （2）若（1）中方程的解与关于x的方程 的解互为相反数，求a的值． 变式5．七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 题型3. 一元一次方程解的关系 例1．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 例3．若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 变式1．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 变式3．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 题型4. 绝对值方程 例1．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 例2．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或 例3．解方程 例4．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 变式1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 变式2．方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式3．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 变式4．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 题型5. 一元一次方程新定义问题 例1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 例2．若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 例3．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 变式1．如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 变式2．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 变式3．阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 变式4．阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______； (2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 题型6. 一元一次方程新运算问题 例1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 例2．现规定一种新运算：，若，则 ． 例3．现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为 ． 例4．对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：，如：，． (1)计算：①_______； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，，，且，求的值． 变式1．对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是 ． 变式2．阅读材料：对于任意有理数，，规定一种特别的运算“”：．例如：． (1)小明说：“无论取何值，的值都不变．”他的说法 （填“”或“”）； (2)若，求的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有结合律？ 变式3．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 变式4．我们来定义一种运算：．例如；再如： ．按照这种定义，当时，x的值是多少？ 变式5．已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（   ） A． B．1 C．或1 D．5或1 4．（24-25七年级下·河南新乡·期中）小马虎在解决关于的方程时，误把“”看成了“”，得到方程的解为． 则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的方程有整数解，则满足条件所有整数的和为（   ） A． B．2 C．7 D． 7．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）有一道解方程的题：．“□”处被油墨盖住了，查答案可知这个方程的解是，那么“□”处的数字是（   ） A．7 B．2 C．5 D． 8．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）定义：若，则称M与N是关于m的关联数．例如：若，则称M与N是关于3的关联数．若与是关于2的关联数，则x的值是（    ） A．1 B．3 C． D．1.5 9．（22-23七年级上·重庆酉阳·期末）从这六个数中任选一个数作为a的值，使关于x的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．3 B． C． D． 10．（24-25七年级上·天津·阶段练习）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若与互为负倒数，则 ． 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 13．（24-25七年级下·上海金山·期中）我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是解一元一次不等式的过程，请补全步骤，并写出注意点或依据： 第一步变形为，这一步变形叫 ，需注意 ； 第二步变形为，这一步变形叫 ，依据是 ； 第三步变形为，这一步变形叫 ，需注意 ． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 16．（24-25七年级下·重庆·自主招生）设，满足，则 ． 17．（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 19．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，▲处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字应是 ． 20．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为 ． 三、解答题 21.解下列方程 22．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 23．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 24．（2025六年级下·山东·专题练习）【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 25．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)求该方程的解． 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 27．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 28．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解的3倍，求k的值． 29．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 30．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： (1)求； (2)若，求； (3)当满足等式的是正整数时，求整数的值． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$